固定收益證券的數學原理1

05-30

固定收益證券的數學原理1

來自專欄生活中的經濟數學

通貨膨脹

紙幣是國家或地區強制發行並使用的，在貨幣流通的條件下，如果紙幣的發行量超過了流通中實際需要的數量，多餘的部分繼續在流通中流轉，就會造成通貨膨脹。造成通貨膨脹的直接原因是國家貨幣發行量的增加。政府通常為了彌補財政赤字，或刺激經濟增長，或平衡匯率等原因增發貨幣。造成能源、房價、食品、衣帽、交通等整體價格上漲，貨幣的實際購買力降低。貨幣主義的主要理論被總結在一個非常簡潔明了的方程裡面，即著名的貨幣量公式：MV=PT

其中M是貨幣的總量，V是貨幣的流通速度，P是物價水平也就是通貨膨脹的量度，T是總交換量也就是該經濟體內的總產出。貨幣主義的創始人、諾貝爾經濟學獎得主彌爾頓·弗里德曼認為這個方程是一個由左至右的方程，也就是說當貨幣總量增加並且貨幣的流通速度因此上升時，右邊的兩個參數的積會增加。如果P增長的百分比比T更多，物價水平就比產出上升地快，從而通貨膨脹產生。

假設通貨膨脹率為 $pi$ ，k年後所擁有的名義財富為 $W_{tk}$ ，判斷實際的購買力有沒有增加

Real Wealth: $W_{t+k}^{real}=frac{W_{t+k}}{(1+pi)^k}$

Real Return: $(1+r_{real})^k=frac{W_{t+k}^{real}}{W_{t}}=frac{W_{t+k}}{W_t(1+pi)^k}=frac{(1+r_{nominat})^k}{(1+pi)^k}$

$r_{real}=frac{1+r_{nominat}}{1+pi}-1$

$=frac{1+r_{nominat}-(1+pi)}{1+pi}=frac{r_{nominat}-pi}{1+pi}$

$approx r_{nominat}-pi$

實際利率=名義利率-通貨膨脹率

純折扣債卷

$P_0=frac{F}{(1+r)^T}$

對於一個T周期的純折扣債卷，每個周期的利率為R

$P_0=frac{F}{(1+R_1)(1+R_2)(1+R_3)(1+R_4)......(1+R_T)}=frac{F}{(1+r_{0,T})^T}$

$r_{0,T}$ 為 $R_T$ 的幾何平均，一般而言和 $R_T$ 的算術平均相差不大。

以30年美國國債的折扣債卷的價格曲線為例,如何計算出 $r_{0,T}$

$P_{0,1}=frac{F}{(1+R_1)} ightarrow r_{0,1}$

$P_{0,2}=frac{F}{(1+R_1)(1+R_2)} ightarrow r_{0,2}$

$P_{0,3}=frac{F}{(1+R_1)(1+R_2)(1+R_3)} ightarrow r_{0,3}$

$P_{0,3}=frac{F}{(1+R_1)(1+R_2)......(1+R_T)} ightarrow r_{0,T}$

如果把不同時期的 $r_{0,T}$ 利率繪製成圖

紅線說明未來利率的走勢再升高，藍線說明未來利率的走勢在降低。

即期利率，遠期利率

即期利率就是從現在開始的利率，遠期利率是從將來某一個時間點開始的利率。

現實生活中銀行啊什麼的都會給出即期利率的，也就是那個複利的利率，在上面的圖裡面，我們站在0這個時間點上，知道0到t1的利率，0到t2的利率，這是即期利率。那就可以計算出第1年到第2年的遠期利率

$frac{P_{0,1}}{P_{0,2}}=frac{frac{F}{(1+R_1)}}{ frac{F}{(1+R_1)(1+R_2)}}=1+R_2$

顯然有遠期利率

$frac{P_{0,t-1}}{P_{0,t}}=1+f_t=frac{(1+r_{0,t})^t}{(1+r_{0,t-1})^{t-1}}$

$f_t$ 稱為t-1和t之間的未來即期利率，或遠期利率。

例子

某公式預期下一年度會有一筆1000wd的進帳，當前1年即期利率為0.05，2年即期利率為0.07

可計算出第1年到第2年的遠期利率計算為

$frac{P_{0,t-1}}{P_{0,t}}=1+f_t=frac{(1+r_{0,t})^t}{(1+r_{0,t-1})^{t-1}}=frac{(1+0.07)^2}{1+0.05}=1.0903$

顯然第1年到第2年的遠期利率為0.09。

企業可在year0年發行952wd的1年債卷購買2年的債卷，第二年year1的進帳連本帶息還給債務人，year2年收到1090wd的現金流。如果year1年時1年的的即期利率小於0.09，則是划算的交易。但如果year1年時1年即期利率大於0.09，那這項交易非常之失敗。

付息債卷

假設year0購買的付息債卷從year1年開始每年得到利息C，一直持續到yeart年並返還最終現金F，此債卷估值有

$P_0=frac{C}{(1+R_1)}+frac{C}{(1+R_1)(1+R_2)}+......+frac{C+F}{(1+R_1)(1+R_2)......(1+R_T)}$

遠期固定利率用y表示

$P_0=frac{C}{(1+y)}+frac{C}{(1+y)^2}+......+frac{C+F}{(1+y)^T}$

借貸利率的波動非常大，當借貸利率很高接近20%時，說明市場流動資金很少，當借貸利率很低時，說明市場有大量的可利用現金。一般而言借貸的時間越久需要付出的利息也越高，比如3年期定期存款年化收益率必然要比1年期定期存款年化收益率高，市場一般而言厭惡資金被凍結。

長期債券的回報主要在於長期利息的下降。打個比方，你如果買了一個30年期的美國國債，利息5%，如果突然長期利息降到4%，那麼你馬上就會有大約 15%的回報。如果利息下降是在一年的過程中慢慢實現的，那麼你還有債券本身的一年的5%的利息，總共回報大約20%。

無息債券（zero coupon bond）槓桿效應就更強了，如果你買了這個30年期的zero coupon bond, 利息從 5%降到4%，你的回報將會達到多少呢？

假設有100wd的資金，在利息5%時購入

根據 $P_0=frac{F}{(1+r_{0,T})^T}$ ， $P_0=100$

$F=P_0*(1+r_{0,T})^T=100*1.05^{30}=432.19$

利息從 5%降到4%時

$P_0^1=frac{F}{(1+r_{0,T})^T}=frac{432.19}{(1+0.04)^{30}}=133.25$

利息從 5%降到4%，你的回報將會達到33.25%,美國國債的風險比股票小很多，但回報也可以做到不遜色於股票，這也是投資界許多人不知道的。