11.Inversion to Diversion：岩土工程的反問題

11.Inversion to Diversion：岩土工程的反問題

來自專欄岩土沿途Geotech

Nous entrons dans lavenir á reculons.

我們倒行進入未來。

——《Bibliothéque de la Pléiade》

Paul valéry

---

柏拉圖在他的《理想國》中，描述了一個「洞穴隱喻」：

看！人類居住在地下的洞穴中，他們從孩提起一直如此。他們的脖子和腿腳被鎖鏈束縛著，所以他們無法移動，也無法回頭，只能看到前方。在他們的後上方，火在遠處燃燒，在囚徒和火之間有一條小路，高出地面。如果仔細觀察，就會發現有一矮牆沿路而建，像表演木偶劇時位於操控者前方的那塊舞台。

在故事中，囚徒們只能通過觀察洞穴後方的投影來獲得有限的信息，藉此來認識洞穴外的世界。

事實上這是一則關於人類處境的寓言。人們礙於自身閱歷、思維的局限性，只能片面地認識世界。有限的閱歷和思維就像鎖鏈和背後的牆，阻礙了我們真實地認識世界。由於其他囚徒都處於同樣的困境，互相之間的交流也無補於事。

同時，這則故事也反映了反問題的一些特點。

如果我們預先知道被投影的物體是一匹馬，或者是一個水壺，當看到它們的投影時，我們立即就能辨別出來。這是一個常規的正問題，我們預先知道了原因（馬/水壺），通過過程處理（火光的映射），很容易就得到了惟一的結果（牆上的投影）；然而，若我們僅知道結果（牆上的投影）和過程處理（火光的映射），貌似像知道原因就沒那麼容易了。除了是一匹馬，牆上的投影還可能是一雙手。

僅知道結果和過程，反推出原因。這就是典型的反問題。

在我國古代，也有書籍記載過類似的反問題寓言。佛教經典《長阿含經》中，提到了為人熟知的「盲人摸象」寓言：

有王告大臣：「汝牽一象來示眾盲者。」……時彼眾盲各以手觸，大王即喚眾盲各各問言：「象類何物？」觸牙者即言「象形如蘿菔根」；其觸耳者言象「如箕」；其觸頭者言象「如石」；其觸鼻者言象「如杵」；其觸腳者言象「如臼」；其觸脊者言象「如床」；其觸腹者言象「如瓮」，其觸尾者言象「如繩」。

如果這些盲者腦海中有大象的概念，恐怕就不會如此美妙的想像力了。

怎麼來判斷反問題是否可以解決呢？

為了能更深入地說明反問題的可解性，在我們正式進入岩土工程的相關問題之前，先來看一個情景劇。

五一假期的某天，你青梅竹馬、從小玩到大的好朋友——大鎚，請你去他家吃飯。為了顯示熱情好客，大鎚親自下廚，為你做菜。

不消一會工夫，第一道菜上桌了。

朋友懷著滿臉的期待，說：「這是不才最近學會的新菜式，你猜猜看都用了些啥材料？」

顯然，只要稍有生活常識，都可以清楚地看出，這是中國人飯桌上典型的家常菜：西紅柿雞蛋。

同時，基於其獨特的烹飪手法（處理過程），你可以一目了然地看出，原料為西紅柿X2，雞蛋X4（原因）。

（入門級的反問題。一般人在很短時間內，都可以解決這條問題）

聽到你的回答後，朋友很滿意。馬上，第二道菜端上來了。

再一次迎著朋友期待的眼神，這次你陷入了較長時間的思索。

這道菜中，麵條和布丁X8都不難看出來。關鍵是在麵條底下，湯裡面，是否還有其他材料？在通過觀察無果後，可能還需要動手（筷子）去尋找一下才知道了。

（中級的反問題。隨著處理過程和原因的複雜性提高，有時候可能利用需要多種手段才能解決問題）

終於，最後一道菜也上來了。朋友邀你上座共進晚餐。

你徹底懵了。通過觀察和動手，根本找不出有多少種材料。你甚至不知道材料是什麼。或許要嘗嘗（根本不想嘗）？

（宗師級的反問題。事實上，在岩土工程中，大部分的反問題均是宗師級別。原因的變數眾多，各變數在通過處理過程後，已經變得相輔相成，難解難分。光從結果入手，甚至很難定量、清晰地去認識原因）

以上的菜系，從明朗到模糊的過程，其實就是一個邊界條件從明朗到模糊的過程。換句話說，反問題的可解性，取決於邊界條件的確定性。

以下我們用一個岩土工程反問題成功解決的案例作為說明。

---

Henry Darcy的砂濾實驗

19世紀的中葉，當時作為供水與道路部總監（Chief Director for Water and Pavements）的達西（Henry Darcy）受到委託，開始對第戎市（Dijon）的公共供水系統的改建計划進行研究。在此之前，第戎市的水源主要靠地下供水井系統供應，但供水能力仍不能滿足需求。

在1856年，針對此計劃，達西寫出了他的不朽名著《第戎市的公共水源》（Les Fontaines Publiques de la Ville de Dijon）.

在研究報告中，達西建立了一套全新的供水系統。新鮮的水源計劃從約13公里遠的Rosoir Spring引到第戎市附近的水庫，通過2.8萬米總長組成的供水管道輸送至城市的大部分角落。在這些供水管道中，砂被用作過濾材料形成砂濾裝置，以阻隔水中的多餘雜質。為了計算各個不同長度管道的水流量，似乎需要清楚地了解這些砂濾裝置的滲透特性。

當時，還沒有任何流體在多孔介質中流動的理論模型。為了研究這個問題，達西與他的搭檔Charles Ritter設計了一個測定水流過砂子的實驗裝置。

這個裝置的核心部分是一個2.5m高，0.35m內徑的圓筒，圓筒內最多可以填入最多2.5m高的砂。在圓筒的底部，設置了一個三腳鋼架，用來承托圓筒內砂的重量。在三角鋼架上面，分別墊有兩塊濾網——孔徑5mm的鋼絲網和孔徑2mm的鋼絲網，這樣，在水流過砂時，砂就不會從底部隨著水一起流出。

水通過連接在圓筒上方的供水管進行供給，在流過砂子後，最後通過底部的出水口流出。出水口設置了一個水龍頭，這樣就可以控制水的流量了。同時，在圓筒的上下兩端都設置了U型的測壓管，用於觀察水流過砂子之後的水壓變化。

如果我們預先知道砂的滲透特性（滲透係數k）和砂的高度（h），那麼從測壓管中水壓的變化，就可以輕易地得出水在砂中的流動速度或水流量。這是一個簡單的正問題。

然而，這個裝置重點是要解決一個反問題：如果我們知道水流速度或水流量的情況下，是否可以通過水壓變化和砂的高度來反求砂的滲透特性？

如果有在土力學中學過達西定律的朋友，可能認為這也是小菜一碟。現在，讓我們先忘記達西定律10分鐘，一步一步來跟隨達西的實驗過程，看看這個反問題，是否真的像它看上去那麼簡單。

達西選擇了來自法國索恩河畔（Sa?ne）的石英砂作為砂濾材料，它的顆粒組成如下：

如果按照我國的勘察規範，可能是屬於中粗砂的類別。砂的孔隙率為38%，換算可得孔隙比約0.6左右。

1、測試試驗

第一步要考慮的是怎麼填砂。天然的砂樣中，一般會包含有空氣。如果直接裝填，砂樣中則會殘留有空氣，水的流動則不會是均勻的。為此，達西在裝填之前，先將砂與水混合，然後將砂水混合體一起裝填進圓筒，這樣就可以儘可能避免砂中殘留有空氣。

達西先填進了約0.6m高的砂樣，開始了測試試驗。

測試試驗的結果並不如意。

在水壓下，測壓管中的水位出現了上下振蕩。當採用高水壓時，出現的振蕩更加強烈，甚至沒有辦法去觀察出一個平均水位。在這種情況下，沒有辦法衡量砂的滲透特性，是否和水壓存在相關關係。

後來達西想了個辦法：在測壓管中填入水銀。水銀的密度是水的13.6倍，在U型管中，如果水銀的位置上升了1mm，即相當於原來的水位上升27.2mm。那麼，在高水壓的情況下，測壓管中的水位振蕩就被大大縮小了，平均水位也變得可以觀測。

2、第一次正式試驗

在吸取了測試試驗的經驗後，達西進行了第一次正式試驗。砂的高度為0.58m，在逐級增大的水壓下，測量每分鐘的水流量變化。

如果我們將平均水壓P與平均流量Q畫在笛卡爾坐標軸上，結果會是怎樣呢？

結果很不錯。流量與水壓呈現了很強的線性相關關係。這意味著，砂的滲透特性是穩定的，它不會隨著水壓的增大而改變。

3、第二次正式試驗

在第一次試驗的基礎上，達西又設計了第二次正式試驗。這次試驗由兩組子試驗組成：在砂填料高度在1.14m和1.71m的情況下，繼續測試水壓與流量的關係。這兩個高度的數值約為第一次試驗的2倍和3倍。

我們可以發現，第二次試驗同樣地印證了在不同水壓下，砂滲透特性的穩定性。不同的是，隨著砂料高度的增加，似乎曲線的斜率似乎在不斷減少。即在同樣的水壓條件下，砂的滲透特性還與過濾長度有關？

4第三次正式試驗為了驗證這個猜想，達西準備先將試驗中其他的變數條件逐一消除。

首先就是通水持續時間。

前兩次試驗中，每次通水的時間都是不統一的，有長有短。為此，參照第二次試驗，達西又設計了第三次試驗，砂料的高度同樣是1.70m，只不過，不同壓下的通水時間統一為20min.

通水時間的影響並不明顯。可以說，只要滲流條件達到了穩定，通水時間長短並不會影響砂料的滲透特性。

這樣，變數條件就剩下砂料的高度。

為此，達西設置了一個新的參數——壓高比I。它是壓力P與高度H的比值。達西的設想是，假如砂的滲透特性真的是穩定的，那它就應該與除了砂成分之外的因素無關。現在之所以會受到砂料高度的影響，是因為每次試驗中，水在砂料中流動的路徑長短不一。

我們應該把路徑長短這個變數因素消除後，再來看看結果。

至此，達西認為水流量Q與壓高比I成正比的關係基本可以實錘了。

對於各條曲線間斜率上的稍微差異，達西則認為是由於試驗誤差導致的。比如第一次試驗中，砂料沒有洗乾淨；第三次試驗中，所用的砂料又洗得太乾淨了，而且粒徑比之前的試驗稍大，等等。

5、第四次正式試驗（番外篇）

在達西完成試驗過後，他的搭檔Charles Ritter有了一個新的想法。在達西得出的結論中，雖然進行了不同水壓下的試驗，但這些水壓都是在自然狀態下產生的。

比如設置的水壓是10m，流過砂料後，就自然變成了1m。但是，如果我們人為地去控制這些水壓呢？

如果初始設置的水壓是10m，在流過砂料後，我們通過人為加壓的方式，讓水壓從1m上升至5m，達西得出的定律是否還會生效呢？

說干就干。Ritter在1856年的2月17~18日（應該還在過年），按照他的想法進行了第四次補充試驗。在試驗中，Ritter通過人為增加或減少的方式改變上下測壓管的水壓，進行了12次的平行對比試驗。

good match.

後來，平均流量Q和壓高比I就變成了著名的達西公式中的Q和i：

Q = kiA

其中A是通水的面積，k則是反應砂滲透特性的——滲透係數。

達西運用他的聰明才智，成功地解決了一個岩土工程中的反問題。我們可以看到，即使是簡單的反問題，它的求證也絕不簡單。達西公式，是通過多次試驗，步步為營，逐項排除干擾因素得出的。

試驗過程中，通過逐步消除多個可能的自變數，最終實現了從第三道菜——第二道菜——第一道菜的轉變。

只有問題的邊界條件逐步明朗化、具體化，反問題的解決才會出現曙光。那是不是意味著只要有邊界條件，就肯定能解決問題呢？下面我們繼續來看另外一個岩土工程的反問題求解失敗的案例。

---

驊仔的基坑反問題分析嘗試

某個悶熱的午後，驊仔正在對著一大堆基坑的監測數據打盹，這段時間，我需要對這些數據逐一查看，以對基坑作出評估。突然間，有一個念頭進入了我的腦海里：

如果我只有基坑圍護結構水平位移的數據，是否可以根據水平位移反推出土壓力的分布呢？

如果土壓力能被反推出來，那它在某種程度上就是基於真實數據得出的「真實」土壓力，會比朗肯理論算出來的土壓力更加接近真實情況。

我同樣不是省油的燈，也是說干就干。

首先，我先選取出了一些基於測斜數據的基坑水平位移值。

基坑圍護結構的深度為19m（+1m~+20m）。然後，我將這19m的長度從上至下分成了190份單元體，每個單元體的長度為0.1m。

現在讓我們假設圍護結構的底部的固定的。這時圍護結構相當於一根底部被固定的懸臂樑。這時，如果我們在190份小單元體中，任意選擇其中一個，施加大小為1的單位力，那麼對於不同位置的小單元體，這個單位力使圍護結構產生的水平位移也會不一樣。

可以看出，即使在1個小單元體中施加作用力，也會影響到其他189個小單元體出現水平位移。

現在，我們定義一個位移參數K(i,j)。其中i代表單位力作用的位置，j代表受影響的位置。例如，K(2,3)就代表作用在單元體2處的單位力，使得單元體3產生的位移。通過對這些參數集成，我們可以得到一個二維的矩陣K：

同樣地，我們可以將真實的位移也分為190份。我們也可以得到一個含有190個元素的一維矩陣Δ：

接著，我們假設每個單元體受到真實的力為F，則有：

通過以上三項，我們可以得到以下等式：

我們假定這是一個欠定方程，採用最小範數法進行求解：

這樣，不就可以簡單地成功求解出每個小單元體真實的受力了嗎？

懷著興奮地心情，我立即投入到了求解的汪洋大海中。

結果……是令人失望的。算出來的反力方向雜亂無章，有些值大得離譜，有些又小得過分。這說明矩陣[K]並不是滿秩的，求出的[F]有多種可能性。

這說明了，對於這個基坑反問題的求解方法，邊界條件還不足夠。

很明顯，要使反問題可解，不僅需要邊界條件，還需要「足夠」。

那還需要哪些邊界條件，才會令方程變得可解？（反力的分布方向？分布形狀？）

對於一般的反問題，是否存在一個臨界邊界，在跨越這個邊界之後，問題就會變得可解？

作為兩條謎題，留給各位思考。

上期文章回顧：

9.遑遑三十載：關西國際機場持續30年的地基沉降（一）

10.遑遑三十載：關西國際機場持續30年的地基沉降（二）

處於土木「勸退」浪潮下的中年人們

下期文章預告（6月份發布）：

12.伶仃洋歷險記：深中通道之旅

更多詳情，請關注個微信公眾號：岩土沿途Geotech

推薦閱讀：