現代張量分析（1）

來自專欄固體力學&流體力學

一點說明：

前面寫過的張量的知識主要是配合彈性力學的公式推導，採用的笛卡爾張量，分析起來很容易，這次主要是對於黃克智老師的《張量分析》以及謝錫麟老師《現代張量分析及其在連續介質力學中的應用》學習的記錄，學習並記錄更一般的張量理論。

一、第一次總結的概要：

（1）張量可以用 這樣的形式（多重線性函數）來表示，其中的每一個自變數都是m維空間的向量， 對於每一個自變數有線性性質。

（2） 是一般坐標系下對一個向量的表示，分量稱作逆變分量，基矢量稱作協變基矢量， 同理也可以用協變分量與逆變基矢量來表示。

（3）給定一個基（協變基），一定有且僅有一組逆變基與之對應，那麼產生的第一個問題就是「指標升降問題」；如果另外給一組基，那麼兩組基之間的關係，或者一個矢量（張量）的分量轉換關係就稱作「指標轉換問題（不升降）」

二、關於矢量的幾個公式複習：

（這個公式比較重要）

三、關於指標升降問題：

對於2D斜角直線坐標系，引入兩個基矢量 與 。值得注意的是， 並不正交，並且不是單位矢量。由線性代數的知識可知，任意平面上的矢量 ，均可以由其表示：

（此處採用愛因斯坦求和約定，希臘字母的取值遍歷1,2）

另外，可以定義兩個基矢量方向的單位基矢量 ，但是，最嚴重的問題是：

（這是由於坐標系非正交所導致的，對於直角坐標系來說，投影即為分量，但是對於斜角坐標系，且基矢量並非單位矢量時，投影不同於分量）

劇透一下： 這個公式很重要！

，先從對偶的條件進行分析對偶的要求：

； ，則 相互正交； 相互正交。

另外 ， ，通過這個關係，可以得出兩個矢量模的關係。

這裡，引入一個新的叫法，指標在下面的稱作「協變基矢量」，指標在上面的稱作「逆變基矢量」，這裡大家可以參考：協變張量和逆變張量有何區別？僅僅是上下標的區別嗎？

引入逆變基矢量的目的是： ，即，直接求解分量而不需要複雜的方程組求解。另外的，除了上述 ，還有 ，即將矢量分解到逆變基矢量上。（逆變基矢量所對應的是協變分量，而逆變分量所對應的是協變基矢量）

總結幾句話：

（1）用逆變基矢量點乘向量得到向量的逆變分量，用協變基矢量點乘向量得到向量的協變分量，單位矢量和向量的點積是投影但不是分量。

（2）逆變基矢量與協變基矢量是一組對偶的基矢量。

（3）向量可以用逆變基矢量表示，也可用協變基矢量表示，前者對應協變分量，後者對應逆變分量。

接下來，是二維斜角的一個推廣，主要引入了一個新的度量張量的概念。

度量張量的分量幫助從協變基矢量過度到逆變基矢量：

，右邊為逆變基矢量，逆變基矢量同樣可以看成一個普普通通的向量，讓協變基矢量去表示他， 完全可以看成一個整體，然後套用 即可。

當然，這無疑只是形式上的東西，內在的還是之前所說重要的公式：

實際上就是在求解 的逆變分量。

省略一些具體的底下筆記里有的推導，說幾個要記住的公式：

關於第互逆，可以從這個角度得到：

，由於 易知。

再啰嗦一個上面啰嗦過的事情： 這個表示對偶，通過對偶的這個式子，我們要找到逆變基矢量的方向，大小與協變基矢量的關係，從而求解逆變基矢量（這是一種思路）。

其他的同理可得。

四、核心理念闡述：

第一組：第一組屬於指標升降問題，思想很簡單，以第一個式子為例，用逆變基矢量來表示協變基矢量，因此，必須要得到協變基矢量協變分量，然而，恰好可以用協變基矢量與協變基矢量做一個點積來得到。

第二組：以一式為例，進行了任意矢量分量的指標升降運算。

第三組：這裡的思想同一的思想，沒有任何差別，只不過定義稍有區別，就可以做到指標轉換，核心只有一個，矢量乘協變基矢量等於協變分量，另一個同理。

第四組：由第三組來推第四組即可，其實第四組類似於線性代數里常見的合同變換，做一個坐標變換後，看看新的基矢量下，原先的分量如何改變。

今天就寫先這麼多吧，最近學的東西比較多，張量，連續介質，泛函，復變都在一起學，會及時記錄下來，也希望學弟學妹學長學姐多多指教。