第四章 加法器

來自專欄 0與1的世界

加法計算的方法：從低位到高位，相同數位上的數相加，在加上低位進位的數，即為和的當前位的值。在任何一個數位上，都可看作三個一位數相加(沒有進位的可以看做進0)。

理解了二進位與其加法運算方法之後，接下來就要使用繼電器真正創造一個可以計算加法的機器-加法器。

這裡要特別提醒一下，因為是用燈泡來代表二進位數，一個燈泡代表二進位數中的一位，因為燈泡數量有限，設計加法器的時候，我們只能設計出有限位數的數（有限的燈泡）相加的加法器。

我們將設計一個八位的加法器（輸入的二進位數最大是八位）。

讓我們細細回想兩個二進位數相加到底是如何計算出結果的？

在任何一個數位上，都可看作三個一位數相加(沒有進位的可以看做進0)。

依照這一條，先設計一個能計算三個一位數相加的電路。能計算三個一位數相加的電路被稱作全加器。

從低位到高位，相同數位上的數相加，在加上低位進位的數，即為和的當前位的值。

依照這一條，則可以計算和的各個數位上的值，把用全加器計算出來的各個數位上的值組合起來，即是和的值，這個電路也被叫做加法器了。

全加器的設計思路

三個二進位一位數相加，所以輸入為三個開關。

三個二進位的一位數相加，和最大為1+1+1=11（二進位），所以輸出為兩個燈泡。

所以全加器的示意圖應當是下面這樣的。中間的電路圖就是我們需要尋找的。

開關與燈泡的映射關係（輸入與輸出的對應關係列表），被叫做真值表。

為了滿足A+B+C=D2D1的關係，全加器的真值表應當滿足：

開關A 開關B 開關C D2燈泡(高位) D1燈泡(低位)

0 0 0 0 0（A+B+C=D2D1 => 0+0+0=00 => 0+0+0=0）

0 0 1 0 1（A+B+C=D2D1 => 0+0+1=01 => 0+0+0=1）

0 1 0 0 1（A+B+C=D2D1 => 0+1+0=01 => 0+1+0=1）

0 1 1 1 0（A+B+C=D2D1 => 0+1+1=10 => 0+1+1=2）

1 0 0 0 1（A+B+C=D2D1 => 1+0+0=01 => 1+0+0=1）

1 0 1 1 0（A+B+C=D2D1 => 1+0+1=10 => 1+0+1=2）

1 1 0 1 0（A+B+C=D2D1 => 1+1+0=10 => 1+1+0=2）

1 1 1 1 1（A+B+C=D2D1 => 1+1+1=11 => 1+1+1=3）

連接八個全加器稱為一個八位加法器。

如果我們只關心八位加法器的加法功能，不在意八位加法器的內部結構，則可以把八位加法器抽象成

全加器設計

三個一位數相加在計算時，又是先計算兩個一位數相加，然後在加上第三個一位數。

所以設計全加器的時候，可以先設計能計算兩個一位數相加的"半加器"，然後用這個半加器再加上低一位的進位，組成全加器。

半加器

兩個一位數相加，所以輸入為兩個開關。

兩個二進位的一位數相加，和最大為1+1=10，所以輸出為兩個燈泡。

所以全加器的示意圖應當是下面這樣的。中間的電路圖就是我們需要尋找的。

全加器電路

至此，設計一個加法器，現在已經簡化成求待求電路一、待求電路二、待求電路三的電路！三個電路的真值表在先前的步驟中也已經推導出來了，那麼根據真值表怎麼設計電路？電路中有一些基本電路，猶如九九乘法表一樣，屬於應當知道的，不需要單獨設計的。以上幾個電路即屬於這種情況。接下來我們將學習一些基礎電路。

常用的電路

與電路

與電路滿足待求電路一的真值表

抽象

或電路

或電路滿足待求電路三的真值表

抽象

非電路

抽象

一個與門，一個非門，按照圖示連在一起形成了一個最常見的運算，與非運算。

一個或門，一個與非門，一個與門，按照圖示連在一起形成了一個最常見的運算，異或運算。

異或電路滿足待求電路二的真值表

至此待求電路一、待求電路二、待求電路三已經全部求出，一個8位加法計算器所需要的電路已經出來了。設計完畢。

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