分析力學

        分析力學是理論力學的一個分支，它通過用廣義坐標為描述質點系的變數，運用數學分析的方法，研究宏觀現象中的力學問題。分析力學是獨立於牛頓力學的描述力學世界的體系。分析力學的基本原理同牛頓運動三定律之間可以互相推出。　　分析力學是適合於研究宏觀現象的力學體系，它的研究對象是質點系。質點系可視為宏觀物體組成的力學系統的理想模型，例如剛體、彈性體、流體以及它們的綜合體都可看作質點系，質點數可由一到無窮。又如太陽系可看作自由質點系，星體間的相互作用是萬有引力，研究太陽系中行星和衛星運動的天體力學，同分析力學密切相關，在方法上互相促進；工程上的力學問題大多數是約束的質點系，由於約束方程類型的不同，就形成了不同的力學系統。例如，完整系統、非完整系統、定常系統、非定常系統等。　　不同的系統所遵循的運動微分方程不同；研究大量粒子的系統需用統計力學；量子效應不能忽略的過程需用量子力學研究。但分析力學知識在統計力學和量子力學中仍起著重要作用。分析力學對於具有約束的質點系的求解更為優越，因為有了約束方程，系統的自由度就可減少，運動微分方程組的階數陸之降低，更易於求解。

 分析力學的發源

　　1788年拉格朗日出版的《分析力學》是世界上最早的一本分析力學的著作。分析力學是建立在虛功原理和達朗貝爾原理的基礎上。兩者結合，可得到動力學普遍方程，從而導出分析力學各種系統的動力方程。1760～1761年，拉格朗日用這兩個原理和理想約束結合，得到了動力學的普遍方程，幾乎所有的分析力學的動力學方程都是從這個方程直接或間接導出的。　　1834年，漢密爾頓推得用廣義坐標和廣義動量聯合表示的動力學方程，稱為正則方程。漢密爾頓體系在多維空間中，可用代表一個系統的點的路徑積分的變分原理研究完整系統的力學問題。　　從1861年有人導出球在水平面上作無滑動的滾動方程開始，到1899年阿佩爾在《理性力學》中提出阿佩爾方程為止，基本上已完成了線性非完整約束的理論。　　20世紀分析力學對非線性、不定常、變質量等力學系統作了進一步研究，對於運動的穩定性問題作了廣泛的研究。

 分析力學的主要內容

　　分析力學研究的主要內容是：導出各種力學系統的動力方程，如完整系統的拉格朗日方程、正則方程，非完整系統的阿佩爾方程等；探求力學的普適原理，如漢密爾頓原理、最小作用量原理等；探討力學系統的特性；研究求解運動微分方程的方法，例如，研究正則變換以求解正則方程；研究相空間代表點的軌跡，以判別系統的穩定性等。　　分析力學解題法和牛頓力學的經典解題法不同，牛頓法把物體系拆開成分離體，按反作用定律附以約束反力，然後列出運動方程。　　分析力學中也可用變分原理(如漢密爾頓原理)導出運動微分方程。它的優點是可以推廣到新領域(如電動力學)和應用變分學中的近似法來解題。從20世紀60年代開始，為了設計複雜的航天器和機器人的需要，發展多剛體系統，並且跳出了使用動力學函數求導的傳統方法來建立動力學方程，所建立的方程能方便地應用電子計算機進行計算。　　在量子力學未建立以前，物理學家曾用分析力學研究微觀現象的力學問題。從1923年起，量子力學開始建立並逐步完善，才在微觀現象的研究領域中取代了分析力學。但是，掌握分析力學的一些基本知識有助於學好量子力學。例如用分析力學知識求出漢密爾頓函數，再化成漢密爾頓算符，又自漢密爾頓-雅可比方程化成波動力學的基本方程——薛定諤方程等。　　愛因斯坦提出相對論時，也曾把分析力學的一些方法應用於研究速度接近光速的相對論力學。
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