用絕對值的幾何意義解題
大家知道，|a|的幾何意義是：數軸上表示a的點到原點的距離；|a－b|的幾何意義是：數軸上表示數a、b的兩點的距離．對於某些問題用絕對值的幾何意義來解，直觀簡捷，事半功倍．
一、求代數式的最值
例1 已知a是有理數，| a－2007|+| a－2008|的最小值是________．.
解：由絕對值的幾何意義知，| a－2007|+| a－2008|表示數軸上的一點到表示數2007和2008兩點的距離的和，要使和最小，則這點必在2007～2008之間（包括這兩個端點）取值（如圖1所示），故| a－2007|+| a－2008|的最小值為1.
例2 |x－2|－| x－5| 的最大值是_______，最小值是_______．
解：把數軸上表示x的點記為P．由絕對值的幾何意義知，|x－2|－| x－5|表示數軸上的一點到表示數2和5兩點的距離的差，當P點在2的左邊時，其差恆為－3；當P點在5的右邊時，其差恆為3；當P點在2～5之間（包括這兩個端點）時，其差在－3～3之間（包括這兩個端點）（如圖2所示），因此，|x－2|－| x－5|的最大值和最小值分別為3和－3．
二、解絕對值方程
例3 方程|x－1|+|x＋2|＝4的解為__________．
解：把數軸上表示x的點記為P，由絕對值的幾何意義知，當－2≤x≤1時，|x－1|+|x＋2|恆有最小值3，所以要使|x－1|+|x＋2|＝4成立，則點P必在－2的左邊或1的右邊，且到表示數－2或1的點的距離均為
個單位（如圖3所示），故方程|x－1|+|x＋2|＝4的解為：
x
＝－2－
三、求字母的取值范
例4 若 |x+1|+|2－x|＝3，則x的取值範圍是________．
解：由絕對值的幾何意義知，|x+1|+|x－2|的最小值為3，此時x在－1～2之間（包括兩端點）取值（如圖4所示），故x的取值範圍是－1≤x≤2．
例5 對於任意數x，若不等式|x＋2|+|x－4|＞a恆成立，則a的取值範圍是___________．
解：由絕對值的幾何意義知，|x＋2|+|x－4|的最小值為6，而對於任意數x，|x＋2|+|x－4|＞a恆成立，所以a的最值範圍是a＜6．
四、解不等式
例6 不等式|x＋2|+|x－3|＞5的解集是__________．
解：由絕對值的幾何意義知，|x＋2|+|x－3|的最小值為5，此時x在－2～3之間（包括兩端點）取值，若|x＋2|+|x－3|＞5成立，則x必在－2的左邊或3的右邊取值（如圖5所示），故原不等式的解集為x＜－2或x＞3．
五、判斷方程根的個數
例7 方程|x+1|+|x+99|+|x＋2|＝1996共有（ ）個解．
A.．4； B． 3； C． 2； D．1
解：當x在－99～－1之間（包括這兩個端點）取值時，由絕對值的幾何意義知，|x+1|+|x+99|＝98，|x＋2|＜98．此時，|x+1|+|x+99|+|x＋2|＜1996，故|x+1|+|x+99|+|x＋2|＝1996時，x必在－99～－1之外取值，故方程有2個解，選（C）．
六、綜合應用
例8（第15屆江蘇省競賽題，初一）已知|x＋2|+|1－x|＝9－|y－5|－|1+y|，求x+ y最大值與最小值．
解：原方程變形得|x＋2|+|x－1|+|y－5|+|y+1||＝9，
∵ |x＋2|+|x－1|≥3，|y－5|+|y+1|≥6，
而|x＋2|+|x－1|+|y－5|+|y+1|＝9，
∴|x＋2|+|x－1|＝3，|y－5|+|y+1|＝6，
∴－2≤x≤1，－1≤y≤5，
故x+ y的最大值與最小值分別為6和－3．
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