等差數列和等比數列

等差數列和等比數列  

二輪複習專題講座：

等差數列和等比數列

數列的通項和求和

數列的綜合應用

二. 知識分析

等差數列和等比數列

【考點解讀】

    ①理解等差、等比數列的概念，能夠根據定義判斷一個數列是否為等差、等比數列；

    ②掌握等差、等比數列的通項公式與前n項和公式，了解其導出過程；

    ③掌握等差、等比數列的性質，特別是等差、等比中項問題，熟練掌握

及公差

（或公比

）知三求二的運算；

④理解等差數列中通項公式、前n項和公式的特點，掌握有關最值的計算．

【典型例題】

【例1】已知數列

的前

項和

為非零常數），則數列

為（    ）

    A. 等差數列                                      B. 等比數列

    C. 既不是等差數列，又不是等比數列            D. 既是等差數列又是等比數列

【解析】當

時，

，

          當

時，

，

，

          ∴

為常數,但

，

         ∴數列

從第二項起為等比數列，故選C.

【例2】若

是等差數列，首項

，

，

，則使數列

的前n項和

為正數的最大自然數n是（    ）

       A、 4013    B、  4014     C、  4015     D、  4016

【解析】由條件可知：

，

．

          考慮

及等差數列性質知：

，

          考慮

及等差數列性質知：

，故選B

【例3】設等差數列

的前n項和為

，已知

，

，若

，則n的值為             ．

【解析】由條件知

=

，

        又

，

，

        ∴

，∴

，

，∴n=18．

【例4】 一個等差數列

( 公差

不為零)中的部分構成公比為

的等比數列

，已知

。

    （1）求數列

的通項公式；

    （2）求數列

的前n項和

。

【解析】（1） 由

成等比數列，則

，即

，

       所以

或

。

由

知

，

所以由

，

，

，

所以

，

所以

      （2）由

，可得

。

【例5】  設數列

、

滿足：

(n?N^*)．

    （Ⅰ）若

，求數列

的通項公式；

（Ⅱ）若

是等差數列，求證

也是等差數列．

【解析】設

的前

項和為

．

（Ⅰ）由題意：

，即

①，

當

時，有

②，

由①②兩式相減可得：

，

當

時，

，也可用

表示，所以對任意的

都有：

．

（Ⅱ）若

是等差數列，設首項為

，公差為

，由

可得

，

於是

①，當

時，有

②，

由①②兩式相減可得：

，

當

時，

，也可用

表示，

所以對任意的

都有：

，而

（

），

由等差數列的定義知：

也是等差數列．

【例6】設數列

的首項

,且

記

（Ⅰ）求

，

；

（Ⅱ）判斷數列

是否為等比數列，並證明你的結論．

【解析】（Ⅰ）

，

；

（Ⅱ）因為

，所以

．

所以

，

，

．

猜想，

是公比為

的等比數列．

證明如下：因為

，

所以

是首項為

，公比為

的等比數列．

數列的通項與求和

【考點解讀】

①     運用函數觀點理解數列的通項公式，能夠利用通項公式求數列中的項、研究項的性質；

②     深刻理解公式

，並能運用此式實現

與

的轉化；

③     求數列的通項公式的幾種常用方法；

④     數列求和的幾種常用方法：轉化為等差等比數列法、拆項分組法、倒序相加法、裂項相加法、錯位相減法等．

【典型例題】

【例1】在等比數列

中，

，前

項和為

．若數列

也是等比數列，則

等於（    ）

A、

       B、

        C、

          D、

【解析】∵

是等比數列，設公比為q，

是等比數列，

∴

是一常數，

設為

，則

對任意的正整數

都成立，可解得：

，q = 1，

∴

，故選C．

【例2】 設

，利用課本中推導等差數列的前

項和的公式的方法，可求得

的值為：      ．

【解析】課本中推導等差數列的前

項和的公式的方法即為「倒序相加法」．

令

   ①

則也有

   ②

由

，

可得：

，

於是由①②兩式相加得

，所以

．

【例3】已知

，則數列

的前n項和為：              ．

【解析】數列

的通項為：

．

所以

．

【例4】對正整數n，設曲線

在x＝2處的切線與y軸交點的縱坐標為

，則數列

的前n項和的公式是　　                      

【解析】

，

，切點為

，

切線方程點斜式為：

，

令

得

，令

，則

，令

，

由錯位相減法可得：

．

【例5】設數列

的前n項和

=

，求

．

【解析】

=

，得

=

，

∴ 

=

－

=

－

+（

）．∴ 

=

+

，

兩邊同乘以

，得

=

+2，

∴ 

是首項為1公差為2的等差數列，

∴ 

=2+

=

，解得： 

=

．

【例6】已知二次函數

的圖像經過坐標原點，其導函數為

，數列

的前

項和為

，點

(n?N^*) 均在函數

的圖像上．

（Ⅰ）求數列

的通項公式；

（Ⅱ）設

，

是數列

的前

項和，求使得

對所有n?N^*都成立的最小正整數

；

【解析】（Ⅰ）依題設

，由

。

又由

得

,

,∴

，所以

，

當

時

，

當

時，

也符合，∴

．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

，

∴

，

∴要使

恆成立，只要

，

又∵

，∴只要

，即

，∴

的最小正整數為10．

數列的綜合應用

【考點解讀】

①根據函數的單調性，掌握數列與函數方程的綜合問題；

②恰當的利用放縮法利用不等式的有關性質解決數列與不等式的綜合問題；

③根據圓與圓錐曲線的定義結合等差、等比數列的定義與求和公式解決數列與解析幾何的綜合問題；

④構造數列模型或利用遞推關係解決數列的實際應用問題。

【典型例題】

【例1】已知數列

滿足

，

，則

時，數列

的通項

（    ）

A、

         B、

       C、

       D、

【解析】在

兩邊都加上

，

則有：

，即

（*），

當

時，由

得

，

由（*）取2，3，…，n累乘可得：

，即

。

選A

【例2】  已知

為偶函數，且

，當

時

，若n?N*，

，則

（    ）                                                                                          

A、 2006          B、 －2006        C、 4         D、

【解析】由

為偶函數可得：

又由

可得

，

所以

，即

的周期為4，

選D

【例3】  已知

(n?N^*)，

，則

     _______

【解析】

，即

是以周期為4的數列，所以

【例4】將正奇數按如下規律填在5列的數表中：

則2007排在該表的第          行，第          列．

（行是從上往下數，列是從左往右數）

【解析】仔細觀察可發現第1列偶數行是以15為首項，

16為公差的等差數列，所以通項公式可寫為

，其中

取正偶數，當

時，

，數下來在第251行上有：第二個數開始分別為2001，2003，2005，2007，所以，2007排在該表的第251行，第5列．

【例5】  在數列

中，前n項和

．

（Ⅰ）求證｛a_n｝是等差數列；

（Ⅱ）求證：點

都落在同一條直線上；

（Ⅲ）若

，且P₁、P₂、P₃三點都在以

為圓心，

為半徑的圓外，求

的取值範圍．

【解析】（Ⅰ）

，當

時，

，當

時，也成立．

所以

是首項為a，公差為2b的等差數列，

．

（Ⅱ）

故

都在直線

上．

（Ⅲ）因為

1，

，易求得P₁（1，0），P₂（2，

），P₃（3，1），

由題設

，解得

（－∞，

）

（4+

，+∞）．

【例6】 已知函數

的圖象過原點，且關於點（-1,1）成中心對稱．

    （Ⅰ）求函數

的解析式；

    （Ⅱ）若數列

(n?N^*)滿足：

，求數列

的通項公式

；

（Ⅲ）若數列

的前n項和為

,判斷

與2的大小關係，並證明你的結論．

【解析】 (Ⅰ) 因為函數

的圖象過原點，即

                所以c =0，即

.

          又函數

的圖象關於點（-1，1）成中心對稱

          所以

，

(Ⅱ)由題意

，開方取正得：

，即 = +1，

所以 － =1.∴數列{}是以1為首項，1為公差的等差數列．

∴ =1+(n－1)=n，即 = ，∴a_n= ．

 (Ⅲ)當n≥2時，a_n= < = － ．

所以

故

2

【模擬試題】

  1. 直角三角形三邊成等比數列，公比為

，則

的值為                       （   ）

A.

      B.

       C.

     D.

  2. 若等差數列

的公差

，則（   ）

A.

                  B.

C.

                  D.

與

的大小不確定

  3. 設

是等差數列

的前

項和，若

，則

           （   ）

       A.

                      B.

                    C.

            D.

  4. 設

，則

等於（   ）

    A.

                                             B.

C.

                                       D.

   5. 設數列

的前

項和為

，則

的值是                      （    ）

A. －10              B. 0        C. 10                    D. 22

  6. 設S_n是等差數列｛a_n｝的前n項和，若

＝，則

＝

A.         B.       C.            D.

  7. 已知等差數列

的前

項和為

，若

，且A、B、C三點共線（該直線不過原點O），則

＝                                              （     ）

       A. 200                     B. 201                 C. 100                           D. 101

  8. 設

是定義在

上恆不為零的函數，對任意

，都有

，若

，

，則數列

的前

項和的取值範圍是            （    ）

A. [

，2）        B. [

，2]        C. [

，1]        D. [

，1）

  9. 設數列

的前n項和為

，

(對於所有

)，且

，則

的數值是                （    ）

    A. 1         B. 2        C. 3          D. 4

  10. 數列

滿足首項

，那麼使

成立的

的值是                                                                                                              （    ）

A. 21        B. 20       C. 20或21        D. 21或22

  11. 已知數列

，那麼「對任意的

，點

都在直線

上」是「

為等差數列」的                                                                            (     )

A. 必要而不充分條件               B. 充分而不必要條件 

C. 充要條件                     D. 既不充分也不必要條件                 

  12. 如果A是a， b的等差中項，G是a， b的正的等比中項，那麼ab與AG之間的關係是                                                                                                             （　　）

     A.

               B.

C.

               D. 不具備上述三種關係

  13. 項數為

的等差數列，奇數項和為102，偶數項和為85，則項數為        .

  14. 已知數列

中，

則

的前

項和為         .

  15. 若直角三角形三邊成等比數列，則公比

        .

  16.設等比數列

的首項為8，前

項的和為

，甲同學算得

，老師說有一個算錯了，則錯誤的是____________;

  17. 已知數列

為等差數列，且

，

.

  （1）求數列

的通項公式；（2）證明

.

  18. 已知數列

中，

，

，數列

滿足

；

    （1）求證：數列

是等差數列；

    （2）求數列

中的最大值和最小值，並說明理由.

  19. 已知數列{a_n}的前n項和

滿足：

.

（Ⅰ）寫出該數列{a_n}的前3項a₁，a₂，a₃；

（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式.

  20. 等比數列

的公比為

，前

項和

（Ⅰ）求q的取值範圍；

（Ⅱ）設

，記

的前

項和為

，試比較

和

的大小.

  21. 定義在N*上的函數

滿足：f(0) = 2，f(1) = 3，且

.

    （Ⅰ）求f(n)（n?N*）；

    （Ⅱ）求

.

  22. 設

是公比為

的等比數列

的前

項和

是否存在實數

，使得「

成等差數列」與「

成等差數列」同時成立

  若存在求出

的值，若不存在請說明理由

【參考答案】

  1. D.  2. B.   3. A.  4. D.   5. A    6. A

  7. C    8. D    9. B    10. A   11. B   12. D

  13. 11     14.

     15.

   　16. S₃

  17. (1)∵

為等差數列,設公差為

∴

即

為非零常數

 ∴

是以

為首項,

為公比的等比數列

∴

,∴

,

又

,∴

,∴

,∴

.

(2)由(1)知,

,∴

,

∴

18. (1)

,而

,

∴

,

故數列

是首項為

，公差為1的等差數列；

（2）由（1）得

，則

；

設函數

，則

，

∴函數

在

和

上均為減函數，

當

時，

；

當

時，

；且

，

當

趨向於

時，

接近1，∴

，

.

19. （Ⅰ）當n=1時，有：

；

當n=2時，有：

；

當n=3時，有：

；

綜上可知a₁=1,a₂=0,a₃=2。

（Ⅱ）由已知得：

，

化簡得：

，

上式可化為：

，

故數列{

}是以

為首項，公比為2的等比數列，

故

。   ∴

。

數列{

}的通項公式為：

。

 20. （Ⅰ）

是等比數列，

∴

，

當q =1時，

，

當

時，_{360docimg_501_}，即_{360docimg_502_}等價於_{360docimg_503_}，或_{360docimg_504_}，

得_{360docimg_505_}或_{360docimg_506_}綜上q的取值範圍是_{360docimg_507_}.

（Ⅱ）由_{360docimg_508_}得_{360docimg_509_}，_{360docimg_510_}，

∴_{360docimg_511_}∵_{360docimg_512_}或_{360docimg_513_}

∴當_{360docimg_514_}或_{360docimg_515_}時，_{360docimg_516_}即_{360docimg_517_}；

當_{360docimg_518_}且_{360docimg_519_}時，_{360docimg_520_}即_{360docimg_521_}；

當_{360docimg_522_}，或_{360docimg_523_}時，_{360docimg_524_}即_{360docimg_525_}.

21. （Ⅰ）由題意：_{360docimg_526_}，

所以有：_{360docimg_527_}，

又_{360docimg_528_}，所以_{360docimg_529_}，

即_{360docimg_530_}，故_{360docimg_531_}.

（Ⅱ）_{360docimg_532_}.

22. 當_{360docimg_533_}成等差數列時，有 _{360docimg_534_} 即 _{360docimg_535_}，

    又因為_{360docimg_536_}，所以 _{360docimg_537_} 或 _{360docimg_538_}.

當_{360docimg_539_}時，則 _{360docimg_540_}，_{360docimg_541_}，_{360docimg_542_}，

由_{360docimg_543_}得 _{360docimg_544_} ，則「_{360docimg_545_}成等差數列」不成立 ；

當_{360docimg_546_}時，_{360docimg_547_}，

_{360docimg_548_}，

即 _{360docimg_549_}，所以「_{360docimg_550_}成等差數列」也成立.

於是當_{360docimg_551_}時，「_{360docimg_552_}成等差數列」與「_{360docimg_553_}成等差數列」同時成立.