量子力學雜談——Radon-Nikodym導數

05-29

一、密度是什麼

我們總是說波函數的模方是概率密度，但概率密度又是什麼呢？這還不簡單，概率與體積之比隨體積趨於0的極限啊

$p(x)=lim_{Delta V ightarrow 0}frac{Delta P}{Delta V}$

但這裡其實有問題，概率並不是體積的函數，相同體積不同形狀的區域的概率不一定是一樣的，所以概率不是體積的函數而是集合的函數。我們要表達的是當集合的體積（也就是勒貝格測度）趨於0時，概率與體積之比趨近於一個函數，這個函數只與位置有關。

這不會是一個簡單的事情，這個函數的存在性和唯一性都很值得考慮，存在的條件是什麼，在什麼前提下唯一都是個嚴重的問題。

這還能推廣到各種各樣的密度上去，質量密度、電荷密度、能量密度等等，他們都是某個量和體積之比的極限，都存在兩個集合函數之比變成位置的函數這個奇怪的事情。

所幸的是，數學上還真有描述這個現象的工具，也就是Radon-Nikodym導數。

二、測度的絕對連續

首先我們要指出這個比值不會一定存在，一個點確定在原點處，沒有其他的可能，那麼概率密度就變成了 $delta(x)$ ，這不是一個嚴格的函數，所以在數學的意義上，概率密度就不存在了，當然這不影響物理上直接拿 $delta$ 函數繼續用。

而Radon-Nikodym導數存在的條件就是分子上的測度對分母上的測度絕對連續，其定義是：設 $mu, u$ 是定義在可測空間 $(X,Sigma)$ 上的兩個正測度，如果對 $forallOmegainSigma$ 且 $u(Omega)=0$ 必有 $mu(Omega)=0$ 那麼稱 $mu$ 相對於 $u$ 絕對連續，記作 $mull u$ 。

對於單點概率分布而言， $P({0})=1,V({0})=m({0})=0$ 從而，此概率並不對勒貝格測度絕對連續，從而概率密度當然不存在。

如果對於正測度 $mu, u$ ，如果不相交的可測集 $Omega_1,Omega_2$ ，使得任意 $forallOmegainSigma$ ，都有 $mu(Omega)=mu(Omega_1capOmega), u(Omega)=mu(Omega_2capOmega)$ 稱 $mu, u$ 相互奇異，記作 $muot u$ 。任意兩個正測度 $mu, u$ ，存在分解 $mu=mu_1+mu_2$ 使得 $mu_1ll u,mu_2ot u$ 稱為測度 $mu$ 的勒貝格分解。

如果兩個測度相互絕對連續，即 $mull uwedge ullmu$ ，稱它們是等價的，記作 $muapprox u$ 。

三、Radon-Nikodym導數

Radon-Nikodym定理說的是對於兩個正測度 $mu, u$ ，如果 $mull u$ ，那麼存在一個 $X$ 上的函數 $f(x)$ 使得 $forallOmegainSigma$ 都有

$mu(Omega)=int_Omega f(x)d u(x)$

且這個函數相對於測度 $u$ 是幾乎處處唯一的。

這裡涉及到幾乎處處概念，一個測度空間 $(X,Sigma, u)$ 上的命題 $p$ 是幾乎處處成立的，是說

$u({xin X| eg p(x)})=0$ ，比如兩個函數幾乎處處相等是指 $u({xin X|f(x) eq g(x)})=0$ 。而定理中說的函數幾乎處處唯一，就是說如果

$mu(Omega)=int_Omega f_1(x)d u(x)=int_Omega f_2(x)d u(x)$ ，那麼 $u({xin X|f_1(x) eq f_2(x)})=0$ 。特別地對於概率測度而言，概率為0的事件不一定是不可能事件（即空集），還可以是其他事件，我們可以稱這個事件幾乎不可能發生。

我們稱這個 $f(x)$ 是 $mu$ 相對於 $u$ 的Radon-Nikodym導數，記作 $f=frac{dmu}{d u}$ 。

Radon-Nikodym導數被叫做導數，是因為它滿足一般導數的鏈式法則：

$frac{dmu}{dlambda}=frac{dmu}{d u}frac{d u}{dlambda}$

我們說Radon-Nikodym導數是幾乎處處唯一的，意味著我們可以改變一個零測度集上的函數值。

對於一般的復值測度，我們可以對它做若爾當分解 $mu=mu_{r+}-mu_{r-}+i(mu_{i+}-mu_{i-})$ ，而各個若爾當分解為0，可以推出原測度為0（反之不行），所以Radon-Nikodym定理可以推廣為復值測度對正測度。

現在我們可以嚴格地定義密度了，所謂某某密度，就是某個物理量在空間的分布（從而可以看作測度）對於體積即勒貝格測度的Radon-Nikodym導數，概率密度就是 $frac{dP}{dm}$ ，質量密度就是 $frac{dM}{dm}$ 。

四、波函數的定義

上一篇文章中我們否決了位置和動量的特徵向量 $|x angle,|p angle$ 因為它們不符合希爾伯特空間的定義：完備的內積空間，它們就沒有內積可言，但問題來了，物理書上定義波函數為 $psi(x)=langle x|psi angle$ ，那麼否決了這個位置的特徵向量後，位置空間的波函數又怎麼定義呢？

我們知道波函數的模方就是概率密度，那麼根據譜族和概率的關係，我們又知道

$|psi(x)|^2=frac{dlanglepsi,E_Xpsi angle}{dm}$

但這個只能告訴我們波函數的振幅，而波函數還帶有相位，這決定了物質波的干涉，那麼

$psi(x)=sqrt{frac{dlanglepsi,E_Xpsi angle}{dm}}e^{idelta}$

這後面的相位因子就是我們需要求解的目標，我們知道相位是個相對概念，也就是說我們要找一個作為基準的態，作為零相位，而其他態的相位是與之比較而言的，由此易得：

$psi(x)=K(x)frac{dlanglephi,E_Xpsi angle}{dlanglephi,E_Xphi angle}$ 這個 $phi$ 就是我們事先選作0相位的基準向量， $K(x)$ 為待定比例係數。

然而不是所有的態都能當做基準向量，它應當滿足 $langlephi,E_X(Omega)phi angle=0Leftrightarrow E_X(Omega)=O$ ，這個可以簡單記作 $langlephi,E_Xphi angleapprox E_X$ 即測度與譜族等價，當然這只是測度之間等價的推廣，並不一定有測度等價的性質。這樣的基準向量在可分的希爾伯特空間（即可數維）是存在的，但不可分空間則通常不存在，好在量子力學討論的希爾伯特空間通常是可分的。

用物理一點的話說，選作相位基準的態必須可以在任何理論上可以出現位置都有可能出現，否則理論上講，粒子可以在A點出現，而我們選了一個在A點的某個領域內出現概率為0的態做基準，那麼我們就沒法確定波函數在A點的相位了。

通過計算我們可以確定比例係數 $K(x)=sqrt{frac{dlanglephi,E_Xphi angle}{dm}}$ ，從而

$psi(x)=frac{dlanglephi,E_Xpsi angle}{dlanglephi,E_Xphi angle}sqrt{frac{dlanglephi,E_Xphi angle}{dm}}$

一般來說波函數與原來的矢量之間不一定是一一對應的，可能有多個矢量對應同一個波函數，這類似於特徵值的簡併問題，一個特徵值可以對應多個線性無關的特徵向量，如果我們只說每個特徵值的分量是多少，不一定可以確定一個向量。

同理，我們確定了x方向的波函數，還有y，z方向，確定了所有位置還有自旋，所以這種關係不一定是等距同構，通常只是連續同態，即 $int_{mathbb{R^d}}|psi(x)|^2dmleq|psi|^2$ 。

還有一個問題，對於位置運算元和動量運算元，我們可以保證波函數的存在，一般的運算元我們說不清楚，它們的譜可能是連續譜，也可能是點譜，顯然純點譜是不能有 $L^2$ 形式的波函數的。

$langlephi,E_Xphi angleapprox E_X$ 可以保證 $frac{dlanglephi,E_Xpsi angle}{dlanglephi,E_Xphi angle}$ 的存在，但 $frac{dlanglephi,E_Xphi angle}{dm}$ 的存在性則很難保證，一個比較物理的例子是氫原子，它在能量小於0的部分是純粹的點譜，即所謂束縛態，到了能量大於0的部分又變成連續譜，不過好在還對於勒貝格測度絕對連續，於是可以用 $L^2$ 形式的波函數表示。

也就是說氫原子的完整的能量表象，是一個平方和有限的數列和一個平方可積函數的直和，而這差不多也是物理上能見到的最複雜的形式。

而我們還可以臆想一個更複雜的情況，一個運算元的譜為康托集，然後它的譜族等價於康托集的豪斯托夫測度，我們把完全的點譜視作0維，完全的絕對連續譜作為1維，那麼我們沒有理由拒絕一個分形譜，那麼這種情況下，我們既不能用平方和有限數列也不能用平方可積函數作為表象了。