自動控制總結：第二章、控制系統的數學模型

05-29

我先對控制系統的數學模型進行簡單的闡述，控制系統的數學模型是描述系統輸入、輸出變數以及內部各變數之間關係的數學表達式。

數學模型分為兩種：靜態和動態

建立數學模型的方法：

①實驗法：人為給系統施加某種測試信號，記錄輸出相應，然後用適當的數學模型去逼近，這又稱為系統辨識

②解析法：根據系統各部分的運動機理進行分析，根據已有的物理規律和化學規律列寫相應的運動方程

不同域內所使用的數學模型：

①時域中常使用的數學模型：微分方程、差分方程、狀態方程

②復域中常用的數學模型：傳遞函數、結構圖

③頻域中常用的數學模型：頻率特性

2.1控制系統的時域數學模型

一個控制系統無論結構多麼簡單或者複雜，用解析法建立系統或元部件微分方程通常遵循以下步驟：

分析系統運動的因果關係，確定系統或元部件的輸入、輸出以及中間變數，搞清各變數之間的關係
從輸入端開始，按照信號的傳遞順序，依據各變數所遵循的物理（或化學）規律，列寫出各個原件的動態方程，列寫的方程數目應該與所設的變數（除輸入量）數目相同
消去中間變數，寫出輸入、輸出變數的微分方程
將微分方程標準化，即把輸入有關的各項放在等號右邊、輸出有關的放在等號左邊，並且按照降冪排序

其實這一部分內容最主要和那些專業學科相關，那些數學方程的建立，比如說我們要建立一個電樞控制直流電動機的一個數學方程，那這個數學方程在電機學裡面就會提到怎麼去推導和列寫

小結：微分方程是時域描述系統動態性能的數學模型，但是系統的數學模型越精確，微分方程的階次越高，並且如果系統參數或者結構發生變化，就要重新列寫並求解微分方程，不利於系統的分析與設計

2.2控制系統的復域數學模型

在復域中，最重要的是傳遞函數這一個數學模型，傳遞函數是基於拉氏變換的複數域數學模型，它的特點有：

①複數域輸入輸出關係的數學模型

②僅用於線性定常系統，也表徵系統的動態特徵（所謂定常就是其係數不隨時間變化而變化）

③當系統參數、結構發生變化時，不必重新建立數學模型

1、傳遞函數的定義：在零初始條件下，線性定常系統輸出信號c(t)的拉氏變換C(s)與輸入信號r(t)的拉氏變換R(s)之比，記為G(s)

即G(s)= $frac{L[c(t)]}{L[r(t)]}$ = $frac{C(S)}{R(S)}$

註：傳遞函數是在零初始條件下定義的，其有兩個含義：

①指輸入作用，即在t=0之後才作用於系統，因此t≤0時系統輸入量及其各階導數為0

②輸入作用於系統之前，系統是相對靜止的，就是系統的輸出量及其各階導數在t≤0時也為0。

2、傳遞函數的性質

（1）傳遞函數是復變數S的有理真分式，分子多項式M(s)和分母多項式N(s)的各項係數均為實數，因此具有複變函數的所有性質，因為實際物理系統總是存在慣性，並且能源功率有限，使得傳遞函數的分母階次n總是大於或者等於分子階次m，（即n≥m）

（這個好難理解啊，我也不太明白為什麼分母階次要大於分子階次）

（2）傳遞函數只取決於系統的結構和參數，與外界作用無關

（3）傳遞函數是描述系統動態特徵的數學表達式，與微分方程一一對應，當確定了系統的時域數學模型後—微分方程後，復域內的傳遞函數就可以唯一確定了

（4）傳遞函數的拉氏反變換是系統的脈衝響應，其實就是G(s)=C(S)/R(S)=C(S)（因為r(t)=δ(t)的拉氏變換為R(S)=1）

G(S)也可以寫成G(S)= $frac{M(S)}{N(S)}$ = $frac{K.*（s-z1）(s-z2)……(s-zm)}{(s-p1)(s-p2)…..(s-pn)}$

其中z1、z2.…zm是分子M（s）的根，成為傳遞函數的零點

P1、p2……pn是分母N（s）的根，稱為傳遞函數的極點

3、典型環節的傳遞函數

按照傳遞函數形式來分類的元部件稱為環節，而組成可控制系統並具有代表性的基本環節稱為典型環節。

（1）比例環節：輸出量等於輸入量乘以比例係數

G(s)= $frac{C(S)}{R(S)}$ =K

（2）慣性環節：因有儲能原件，所以對突變的輸入信號不能立即出現

T $frac{dc(t)}{dt}$ +c(t)=r(t) 拉氏變換後，寫成傳遞函數形式為：G(S)= $frac{C(S)}{R(S)}$ = $frac{1}{Ts+1}$

（3）積分環節:又稱無差環節

微分方程為：T $frac{dc(t)}{dt}$ =r(t)，其傳遞函數形式為G(s)= $frac{C(S)}{R(S)}$ = $frac{1}{Ts}$

（4）微分環節：

微分方程：c(t) = $frac{1}{T}$ $int_{0}^{t}$ r(t)dt 傳遞函數形式 G(s)= $frac{C(S)}{R(S)}$ =Ts

（5）振蕩環節

微分方程： $T^{2}$ $frac{d^{2}c(t)}{dt^{2}}$ +2ξT $frac{dc(t)}{dt}$ +c(t)=r(t)

傳遞函數形式：G(s)= $frac{1}{T^{2}*S^{2}+2ξTS+1}$ = $frac{w_{n}^{2}}{s+2ξw_{n}s+w_{n}^{2}}$

其中wn=1/T 稱為無阻尼振蕩頻率，ζ 為阻尼比

（6）滯後環節：又稱延遲環節

微分方程c(t)=r(t-τ) τ為滯後時間傳遞函數 G(s)= $e^{-τs}$

2.3系統的結構圖

1、結構圖的組成

①信號線 ②引出點 ③比較點 ④函數方框

（引出點是沒有順序的，可以理解成在一條幹路上引出兩個支路，其代表的數值都是相同的，而比較點是表示那兩個信號在此處相加或者相減）

2、而這個部分最重要的是結構圖的等效替換

（1）串聯環節的等效替換

（2）並聯環節的等效替換

（3）反饋連接方框的等效變換

「+」表示反饋與輸入量極性相同，正反饋連接；

「-」表示反饋與輸入量極性相反，負反饋連接。

（4）比較點移動

①比較點後移：

移動前：C(s)=G(s)[R(s)-B(s)]

移動後：C(s) = G(s)R(s)-G(s)B(s)

②比較點前移：

移動前：C(s)=G(s)R(s)-B(s)

移動後：C(S)=G(S)[R(S)- $frac{1}{G(S)}$ B(S)]

注意：比較點是可以交換或者合併相加點

原來的：

交換後：

合併：

（5）引出點移動

①引出點後移：

移動前：C (s)=G(s)R(s) ，R(s)=R(s)

移動後：C (s)=G(s)R(s），R(S)= R(S)G(S) $frac{1}{G(S)}$

②引出點前移

移動前：C1(s)=G(s)R(s) ，C2(s)=G(s)R(s)

移動後： C1(s)=G(s)R(s）C2(s)=G(s)R(s)

小總結：

三種典型結構可直接用公式
相鄰比較點可互換位置、可合併
相鄰引出點可互換位置、可合併
引出點比較點相鄰，不可互換位置

2.4控制系統的信號流圖

信號流圖符號更加簡單，並且可以通過梅森公式直接求得系統的傳遞函數

信號流圖的組成

①信號流圖由節點、支路和支路增益三種基本圖形符號組成

②節點：用符號「O」表示，節點表示系統中的一個信號

③支路：用符號「

」表示，支路是連接兩個節點的有向線段，箭頭表示信號的傳遞方向

支路增益：用標在支路旁邊的傳遞函數G(S)表示支路增益，定量地描述出信號從支路一端沿箭頭方向傳送到另外一端的函數關係，相當於結構圖中環節的傳遞函數。

2、信號流圖的繪製

先講講引出點和比較點在相鄰時的處理方法：

①若引出點在比較點後面，則在比較點之後設置一個節點就可以代表兩個點

②若引出點在比較點前面，則要在比較點和引出點處各設一個節點，分別表示兩個變數，兩個節點之間的增益是1.

3、梅森增益公式

G(S)= $frac{1}{△}$ $sum_{k=1}^{n}{P_{k}△_{k}}$

△稱為特徵式，△=1- $Sigma$ La+ $Sigma$ LbLc- $Sigma$ LdLeLf+……

（這是書本的形式，但是我覺得不容易記憶，下面的這種形式應該更加容易記憶：

△=1+ $Sigma$ (-La)+ $Sigma$ (-Lb)(-Lc)- $Sigma$ (-Ld)(-Le)(-Lf)+……）

$Sigma$ La：信號流圖中所有單獨迴路的增益之和

$Sigma$ LbLc：所有兩兩互不接觸迴路的迴路增益成績之和

$Sigma$ LdLeLf：所有互不接觸迴路中，每次取其中三個迴路增益的乘積之和

n: 從輸入節點到輸出節點前向通路的條數（意思是有多少條路可以去到輸出點）

Pk：從輸入節點到輸出節點之間第k條前向通路的總增益

△K：第k條前向通路的餘子式，即把特徵式△中與該前向通路相接觸迴路的迴路增益置零之後餘下的部分（這裡的相接觸，就算只是節點接觸，也算的喔）

4、閉環系統的傳遞函數

圖中，R(S)表示輸入信號，N(S)表示干擾信號，

C(S)表示系統的輸出，E(S)表示誤差信號

在處理這個模型中，我們可以把R(S)與N(S)看做系統的兩個輸入，而把E(S)和C(S)看做系統的兩個輸出，那麼當兩個輸入量同時作用這個線性系統的時候，我們可以使用疊加原理，來求出C(S)

（1）系統的開環傳遞函數

首先說明一下，H(S)所處的那條通路，就是反饋通路，在求開環傳遞函數的時候，我們需要人為地切斷主反饋通路，然後把前向通路傳遞函數和反饋通路的傳遞函數相乘，就得到系統的開環傳遞函數，用G(S)H(S)表示，其等於系統的反饋信號B(S)比上偏差信號E(S)

G(S)H(S)= $frac{B(s)}{E(s)}$ =G1(S)G2(S)H(S)

註：這裡的開環是相對於閉環系統而言的，而不是指開環系統的傳遞函數

（2）系統的閉環傳遞函數

①當只研究系統控制輸入C(s)時，令N(S)=0，則可以求出C(S)對輸入R(S)的閉環傳遞函數為

Φ(S)= $frac{C(s)}{R(s)}$ = $frac{G_{1}(s)G_{2}(s)}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)}$

②當只研究擾動輸入N(s)作用時候，令R(S)=0，則可以求輸出對擾動作用的傳遞函數

Φn(s)= $frac{C(s)}{N(s)}$ = $frac{G_{2}(s)}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)}$

所以當求系統的總輸出時，根據線性疊加原理，可以

C(s)= Φ(S)R(S)+ Φn(s)N(S)

（2）閉環系統的誤差傳遞函數

令N(S)＝0，則求得系統的誤差傳遞函數為

Φe= $frac{E(s)}{R(s)}$ = $frac{1}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)}$

令R(S)=0，則求得誤差對擾動作用的閉環傳遞函數為（簡稱擾動誤差傳遞函數）

Φen= $frac{E(s)}{N(s)}$ = $frac{-G_{2}(s)H(s)}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)}$

所以根據疊加性原理，總的誤差為

E(S)= ΦeR(S)+ ΦenN(S)

不過其實不用記憶，下面介紹如何理解有擾動的閉環系統的傳遞函數和誤差傳遞函數

注意：一定要明確好這些概念（即各種傳遞函數的定義），因為有一些題目不會給結構圖，如果用信號流圖的話，則使用梅森增益公式求的時候，便要用定義來求。

大家可以評論相關自動控制的問題，我也會耐心給你們解答的(#^.^#)

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下面放兩道題目吧

用結構圖等效變化簡法求C(S)/R(S)

用梅森增益公式求C(S)/R(S)