142857，這組數字究竟隱藏著怎樣的秘密？

05-29

142857這一組數字，最早被人們發現於埃及金字塔內。而它的特質，與金字塔一樣神秘。它證明一星期有7天，每自我累加一次，就由它的6個數字，依順序輪值一次，到了第7天，它們就放假，由999999去代班。但它的神奇，還遠不止如此。

1.神秘的乘積

用142857分別乘以1、2、3、4、5、6幾個數，其積仍由原來的1、4、2、8、5、7六個數組成，只是排列順序不同。

142857 × 1 = 142857

142857 × 2 = 285714

142857 × 3 = 428571

142857 × 4 = 571428

142857 × 5 = 714285

142857 × 6 = 857142

不僅如此，我們豎著看這六個乘積，每一列都由1、4、2、8、5、7這六個數字組成。

而用142857乘以7，積是999999。

142857 × 7 = 999999

以上僅僅是個開始，我們再看用142857分別乘以8、9、10、11、12、13、14的結果。

142857 × 8 =1142856

142857 × 9 =1285713

142857 ×10=1428570

142857 ×11=1571427

142857 ×12=1714284

142857 ×13=1857141

142857 ×14=1999998

將上述乘積拆分成第一位和後六位兩個部分並相加，我們又看到了熟悉的結果。

1 + 142856 =142857

1 + 285713 =285714

1 + 428570 = 428571

1 + 571427 =571428

1 + 714284 = 714285

1 + 857141 =857142

1 + 999998 =999999

實際上，142857的自我累加，就是以這樣的周期循環往複。

2.神秘的拆分

將142857拆分成兩組數字：

142 + 857 = 999

將142857拆分成三組數字：

14 + 28 + 57 = 99

實際上，將142857任意拆分後相加，都是3的倍數，例如：

1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27

14 + 2 + 8 + 5 + 7 = 36

142 + 8 + 57 = 207 = 3 × 69

......

3.神秘的商

用1至9除以7之後獲得的循環小數，循環的數字是142857：

1 ÷ 7 = 0.142857

2 ÷ 7 = 0.285714

3 ÷ 7 = 0.428571

4 ÷ 7 = 0.571428

5 ÷ 7 = 0.714285

6 ÷ 7 = 0.857142

7 ÷ 7 = 1.000000

8 ÷ 7 = 1.142857

9 ÷ 7 = 1.285714

實際上，任意一個不能被7整除的自然數，被7除後，其商的小數部分的循環節的數字一定是142857。

4.神秘的個數

能被7整除的自然數的個數

10以內 1個

100以內 14個

1000以內 142個

10000以內 1428個

100000以內 14285個

1000000以內 142857個

10000000以內 1428571個

......

5.神秘的常數

用22除以7更可獲得圓周率古代的近似值：

22 ÷ 7 = 3.142857

註：下劃線表示循環節。