二次函數的最值問題

是初中函數的主要內容，也是高中學習的重要基礎．在初中階段大家已經知道：二次函數在自變數

取任意實數時的最值情況(當

時，函數在

處取得最小值

，無最大值；當

時，函數在

處取得最大值

，無最小值．本節我們將在這個基礎上繼續學習當自變數

在某個範圍內取值時，函數的最值問題．同時還將學習二次函數的最值問題在實際生活中的簡單應用．【例1】當

時，求函數

的最大值和最小值．分析：作出函數在所給範圍的及其對稱軸的草圖，觀察圖象的最高點和最低點，由此得到函數的最大值、最小值及函數取到最值時相應自變數

的值．

解：作出函數的圖象．當

時，

，當

時，

．

【例2】當

時，求函數

的最大值和最小值．解：作出函數的圖象．當

時，

，當

時，

．由上述兩例可以看到，二次函數在自變數

的給定範圍內，對應的圖象是拋物線上的一段．那麼最高點的縱坐標即為函數的最大值，最低點的縱坐標即為函數的最小值．根據二次函數對稱軸的位置，函數在所給自變數

的範圍的圖象形狀各異．下面給出一些常見情況：

【例3】當

時，求函數

的取值範圍．解：作出函數

在

內的圖象．可以看出：當

時，

，無最大值．所以，當

時，函數的取值範圍是

．【例4】當

時，求函數

的最小值(其中

為常數)．分析：由於

所給的範圍隨著

的變化而變化，所以需要比較對稱軸與其範圍的相對位置．解：函數

的對稱軸為

．畫出其草圖．(1) 當對稱軸在所給範圍左側．即

時：    當

時，

；(2) 當對稱軸在所給範圍之間．即

時：當

時，

；(3) 當對稱軸在所給範圍右側．即

時：當

時，

．

綜上所述：

在實際生活中，我們也會遇到一些與二次函數有關的問題：【例5】某商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷中發現這種商品每天的銷售量

(件)與每件的銷售價

(元)滿足一次函數

．(1) 寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤

與每件銷售價

之間的函數關係式；(2) 若商場要想每天獲得最大銷售利潤，每件商品的售價定為多少最合適？最大銷售利潤為多少？解：(1) 由已知得每件商品的銷售利潤為

元，那麼

件的銷售利潤為

，又

．

(2) 由(1)知對稱軸為

，位於

的範圍內，另拋物線開口向下

當

時，

當每件商品的售價定為42元時每天有最大銷售利潤，最大銷售利潤為432元．
推薦閱讀：