三年級華羅庚學校數學課本第六講： 找簡單數列的規律

第六講找簡單數列的規律日常生活中，我們經常接觸到許多按一定順序排列的數，如：自然數：1，2，3，4，5，6，7，…（1）年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996（2）某年級各班的學生人數（按班級順序一、二、三、四、五班排列）45，45，44，46，45（3）像上面的這些例子，按一定次序排列的一列數就叫做數列.數列中的每一個數都叫做這個數列的項，其中第1個數稱為這個數列的第1項，第2個數稱為第2項，…，第n個數就稱為第n項.如數列（3）中，第1項是45，第2項也是45，第3項是44，第4項是46，第5項45。根據數列中項的個數分類，我們把項數有限的數列（即有有窮多個項的數列）稱為有窮數列，把項數無限的數列（即有無窮多個項的數列）稱為無窮數列，上面的幾個例子中，（2）（3）是有窮數列，（1）是無窮數列。研究數列的目的是為了發現其中的內在規律性，以作為解決問題的依據，本講將從簡單數列出發，來找出數列的規律。例1觀察下面的數列，找出其中的規律，並根據規律，在括弧中填上合適的數.2①，5，8，11，（），17，20。19②，17，15，13，（），9，7。1③，3，9，27，（），243。64④，32，16，8，（），2。1⑤，1，2，3，5，8，（），21，34…1⑥，3，4，7，11，18，（），47…1⑦，3，6，10，（），21，28，36，（）.1⑧，2，6，24，120，（），5040。1⑨，1，3，7，13，（），31。1⑩，3，7，15，31，（），127，255。(11)1，4，9，16，25，（），49，64。(12)0，3，8，15，24，（），48，63。(13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）.(14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）.分析與解答①不難發現，從第2項開始，每一項減去它前面一項所得的差都等於3.因此，括弧中應填的數是14，即：11＋3=14。②同①考慮，可以看出，每相鄰兩項的差是一定值2.所以，括弧中應填11，即：13—2=11。不妨把①與②聯繫起來繼續觀察，容易看出：數列①中，隨項數的增大，每一項的數值也相應增大，即數列①是遞增的；數列②中，隨項數的增大，每一項的值卻依次減小，即數列②是遞減的.但是除了上述的不同點之外，這兩個數列卻有一個共同的性質：即相鄰兩項的差都是一個定值.我們把類似①②這樣的數列，稱為等差數列.1③，3，9，27，（），243。此數列中，從相鄰兩項的差是看不出規律的，但是，從第2項開始，每一項都是其前面一項的3倍.即：3=1×3，9= 3×3，27=9×3.因此，括弧中應填81，即81=27×3，代入後，243也符合規律，即243＝81×3。64④，32，16，8，（），2與③類似，本題中，從第1項開始，每一項是其後面一項的2倍，即：因此，括弧中填4，代入後符合規律。綜合③④考慮，數列③是遞增的數列，數列④是遞減的數列，但它們卻有一個共同的特點：每列數中，相鄰兩項的商都相等.像③④這樣的數列，我們把它稱為等比數列。1⑤，1，2，3，5，8，（），21，34…首先可以看出，這個數列既不是等差數列，也不是等比數列.現在我們不妨看看相鄰項之間是否還有別的關係，可以發現，從第3項開始，每一項等於它前面兩項的和.即2=1+1，3=2+1，5=2+3，8=3＋5.因此，括弧中應填的數是13，即13=5+8，21=8+13，34=13+21。這個以1，1分別為第1、第2項，以後各項都等於其前兩項之和的無窮數列，就是數學上有名的斐波那契數列，它來源於一個有趣的問題：如果一對成熟的兔子一個月能生一對小兔，小兔一個月後就長成了大兔子，於是，下一個月也能生一對小兔子，這樣下去，假定一切情況均理想的話，每一對兔子都是一公一母，兔子的數目將按一定的規律迅速增長，按順序記錄每個月中所有兔子的數目（以對為單位，一月記一次），就得到了一個數列，這個數列就是數列⑤的原型，因此，數列⑤又稱為兔子數列，這些在高年級遞推方法中我們還要作詳細介紹。1⑥，3，4，7，11，18，（），47…在學習了數列⑤的前提下，數列⑥的規律就顯而易見了，從第3項開始，每一項都等於其前兩項的和.因此，括弧中應填的是29，即29=11＋18。數列⑥不同於數列⑤的原因是：數列⑥的第2項為3，而數列⑤為1，數列⑥稱為魯卡斯數列。1⑦，3，6，10，（），21，28，36，（）。方法1：繼續考察相鄰項之間的關係，可以發現：因此，可以猜想，這個數列的規律為：每一項等於它的項數與其前一項的和，那麼，第5項為15，即15=10+5，最後一項即第9項為45，即45＝36＋9.代入驗算，正確。方法2：其實，這一列數有如下的規律：第1項：1=1第2項：3=1＋2第3項：6=1+2+3第4項：10=1+2+3+4第5項：（）第6項：21=1+2+3+4+5+6第7項：28=1+2+3+4+5+6+7第8項；36=1+2+3+4+5+6+7+8第9項：（）即這個數列的規律是：每一項都等於從1開始，以其項數為最大數的n個連續自然數的和.因此，第五項為15，即：15= 1+ 2+ 3+ 4+ 5；第九項為45，即：45=1+2+3+4+5+6+7+8+9。1⑧，2，6，24，120，（），5040。方法1：這個數列不同於上面的數列，相鄰項相加減後，看不出任何規律.考慮到等比數列，我們不妨研究相鄰項的商，顯然：

所以，這個數列的規律是：除第1項以外的每一項都等於其項數與其前一項的乘積.因此，括弧中的數為第6項720，即720=120×6。方法2：受⑦的影響，可以考慮連續自然數，顯然：第1項1=1第2項2=1×2第3項6=1×2×3第4項24=1×2×3×4第5項120=1×2×3×4×5第6項（）第7項5040=1×2×3×4×5×6×7所以，第6項應為1×2×3×4×5×6=7201⑨，1，3，7，13，（），31與⑦類似：

可以猜想，數列⑨的規律是該項=前項+2×（項數-2）（第1項除外），那麼，括弧中應填21，代入驗證，符合規律。1⑩，3，7，15，31，（），127，255。則：因此，括弧中的數應填為63。小結：尋找數列的規律，通常從兩個方面來考慮：①尋找各項與項數間的關係；②考慮相鄰項之間的關係.然後，再歸納總結出一般的規律。事實上，數列⑦或數列⑧的兩種方法，就是分別從以上兩個不同的角度來考慮問題的.但有時候，從兩個角度的綜合考慮會更有利於問題的解決.因此，仔細觀察，認真思考，選擇適當的方法，會使我們的學習更上一層樓。在⑩題中，1=2-13=22-17=23-115=24-131=25-1127=27-1255=28-1所以，括弧中為26-1即63。（11）1，4，9，16，25，（），49，64.1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，25=5×5，49= 7×7，64=8×8，即每項都等於自身項數與項數的乘積，所以括弧中的數是36。本題各項只與項數有關，如果從相鄰項關係來考慮問題，勢必要走彎路。(12)0，3，8，15，24，（），48，63。仔細觀察，發現數列(12)的每一項加上1正好等於數列(11)，因此，本數列的規律是項=項數×項數-1.所以，括弧中填35，即35=6×6-1。(13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）。前面的方法均不適用於這個數列，在觀察的過程中，可以發現，本數列中的某些數是很有規律的，如1，2，3，4，5，而它們恰好是第1項、第3項、第5項、第7項和第9項，所以不妨把數列分為奇數項（即第1，3，5，7，9項）和偶數項（即第2，4，6，8項）來考慮，把數列按奇數和偶數項重新分組排列如下：奇數項：1，2，3，4，5偶數項：2，4，8，16可以看出，奇數項構成一等差數列，偶數項構成一等比數列.因此，括弧中的數，即第10項應為32（32=16×2）。(14) 2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）。同上考慮，把數列分為奇、偶項：偶數項：2，4，6，8，10奇數項：1，3，9，27，（）.所以，偶數項為等差數列，奇數項為等比數列，括弧中應填81（81=27×3）。像(13)(14)這樣的數列，每個數列中都含有兩個系列，這兩個系列的規律各不相同，類似這樣的數列，稱為雙系列數列或雙重數列。例2下面數列的每一項由3個數組成的數組表示，它們依次是：（1，3，5），（2，6，10），（3，9，15）…問：第100個數組內3個數的和是多少？方法1：注意觀察，發現這些數組的第1個分量依次是：1，2，3…構成等差數列，所以第100個數組中的第1個數為100；這些數組的第2個分量3，6，9…也構成等差數列，且3=3×1，6=3×2，9=3×3，所以第100個數組中的第2個數為3×100=300；同理，第3個分量為5×100=500，所以，第100個數組內三個數的和為100+300+500=900。方法2：因為題目中問的只是和，所以可以不去求組裡的三個數而直接求和，考察各組的三個數之和。第1組：1+3+5=9，第2組：2+6+10=18第3組：3+ 9+ 15= 27…，由於9=9×1，18= 9×2，27= 9×3，所以9，18，27…構成一等差數列，第100項為9×100=900，即第100個數組內三個數的和為900。例3按下圖分割三角形，即：①把三角形等分為四個相同的小三角形（如圖（b））；②把①中的小三角形（尖朝下的除外）都等分為四個更小的三角形（如圖（C））…繼續下去，將會得到一系列的圖，依次把這些圖中不重疊的三角形的個數記下來，成為一個數列：1，4，13，40…請你繼續按分割的步驟，以便得到數列的前5項.然後，仔細觀察數列，從中找出規律，並依照規律得出數列的第10項，即第9項分割後所得的圖中不重疊的小三角形的個數.分析與解答第4次分割後的圖形如左圖：因此，數列的第5項為121。這個數列的規律如下：第1項1第2項4=1+3第3項13=4+3×3第4項40=13+3×3×3第5項121=40+3×3×3×3或者寫為：第1項1=1第2項4=1+31第3項13=1＋3＋32第4項40=1＋3＋32＋33第5項121=1＋3＋32+33＋34因此，第10項也即第9次分割後得到的不重疊的三角形的個數是29524。例4在下面各題的五個數中，選出與其他四個數規律不同的數，並把它劃掉，再從括弧中選一個合適的數替換。42①，20，18，48，24（21，54，45，10）15②，75，60，45，27（50，70，30，9）42③，126，168，63，882（27，210，33，25）解：①中，42、18、48、24都是6的倍數，只有20不是，所以，劃掉20，用54代替。15②、75、60、45都是15的整數倍數，而27不是，用30來替換27。③同上分析，發現這些數中，42、126、128、882都是42的整數倍，而63卻不是.因此，用210來代替63。習題六按一定的規律在括弧中填上適當的數：1.1，2，3，4，5，（），7…2.100，95，90，85，80，（），703.1，2，4，8，16，（），

645.2，1，3，4，7，（），18，29，476.1，2，5，10，17，（），37，507.1，8，27，64，125，（），3438.1，9，2，8，3，（），4，6，5，5習題六解答1.等差數列，括弧處填6。2.等差數列，括弧處填75。3.等比數列，括弧處填32。

5.相鄰兩項的和等於下一項，括弧處填11。6.後項-前項=前項的項數×2-1，括弧處填26。7.立方數列，即每一項等於其項數乘以項數再乘以項數，括弧處填216。8.雙重數列，括弧處填7.
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