行測數字推理學習技巧※※

一、    一些有趣的現象你一定很想學習怎樣把數字推理題做好，對不對？不過別著急，我們慢慢來。下面，請先回答第一題：例1：1，2，3，4，5，6，（ ）括弧里應該填個什麼數字呢？顯然是7，對吧。為什麼呢？地球人都知道，自然數的數列么。好吧，再請你回答第二題：例2：1，4，9，16，25，36，（ ）你會說：「卧槽！當我是白痴么？這個答案顯然是49，平方數列還用你來教」？不，你當然不是白痴。但是，假設你的學歷為小學2年級，只會加法和減法，對於乘除一無所知，就更別提什麼平方、立方之類的冪運算了，這道題你該怎麼做呢？嗯，沒別的辦法，你只能看看這個平方數列是不是等差數列：1      4      9      16      25      36    （ ？）3      5      7       9       11     X2      2       2       2      Y顯然Y = 2，故X    = 13。所以括弧里應該是36 + 13 = 49 = 72。這兩種方法竟然都能得到同樣的結果？其實很好證明，設公差為1的某個等差數列第一項為A，則第二項為A+1，第三項為A+2…….，然後按平方公式展開，再進行二次等差推理，就知道，平方數列同樣是等差數列。只不過，平方數列是二次等差數列，其二級公差是2。那麼，如果是公差為2的某個等差數列的平方呢？比如：例3：1，9，25，49，81，（ ？）這道題你自己做一下，我可以告訴你結果，那就是公差為2的等差數列的平方數列，也是二級等差數列，其二級公差是8。如果公差是3的某個等差數列的平方呢？自己列一個出來看看吧。我還是告訴你，它的二級公差是18。我多嘴了，其實你設某等差數列首項為A，公差為N，就明白了，這個數列的平方數列是二級等差數列，其二級公差為：2×N2。例4：4，12，28，52，84，（ ？）請不要急著往下看，先把這道題做出來再說。你做出來了嗎？你是怎麼做出來的？不要告訴我是二級等差哦？難道你真的只有小學2年級的水平？只會加減法？這道題就有些讓你鬱悶了吧？當然，你要能一眼就看出來這其實就是我把『例3』的數列每一項都加了個3，那我向你道歉，因為你確實有很高的數字天賦，不用聽我啰嗦。例5：1，19，33，67，97，147，193，（ ？）給大家講個笑話。上面這道題是我自己出的，過了一個星期之後我再看這道題的時候，花了2分鐘沒做出來，最後不得已翻看以前的草稿才明白是怎麼回事。現在，你來做。你做出來了嗎？做不出來沒關係，我告訴你答案，答案是259。為什麼呢？方法有三種：1、    按數列各項序號的奇偶性分成兩組，即1，33，97，193和19，67，147，（ ？）可以看出，前面一個數列二級等差，後一個數列二級等差，其公差各自不同。2、    兩項相減得到一個新的數列：18，34，50，（X）。可知X = 66。所以答案是193加上66就等於259。3、    直接做差來看看規律如何？其二級公差數列為：-4，20，-4，20，-4，20。你會說，哇，好多規律哦！千萬別這麼說，我會臉紅的。其實呢，你寫出一個偶數數列來：2，4，6，8，10，12，14，16…..然後各項平方，再分別加減3，最後得到一個數列。看看，和我的這個數列是不是一樣的？也就是說，這道題最簡單的方法應該是：22-3，42+3，62-3，82+3…….前面所謂的三種方法，都是我糊弄你們的！這個笑話應該還比較好笑吧？給大家說這個笑話是想讓大家明白一個事實：那些出題的專家們是多麼仁慈啊！真的，數字推理這種題目，想為難考生實在是太簡單了。不要說那些專家們，我都行。看，我隨便弄了一道題，就連自己做起來都費勁。你如果不相信，那就按照我這種思路，先弄個平方或者立方數列，然後隨便加上或者減去一個等差或者等比數列，再把這個數列放幾天，等忘記得差不多的時候去自己做一下。為什麼一個平方數列加減3的結果就弄出這麼多規律來了呢？我只能說數字太奇妙，數字推理太深奧，實在不是我等凡夫俗子所能搞明白的。當然，這個也不是公務員考試範圍，也許數學博士後的考題會這樣出吧？統計了一下字數，我已經寫了1500字了。這不禁讓我感嘆一下我的啰嗦程度——實在不是一般人所能企及的啊！其實，這1500字的目的就一個，那就是：在考試中出現的平方數列及其變形，哪怕你看不出規律來，用等差的方法也基本能解決。但是，請記住，你用等差的方法做出了一道題，不代表你就看出了這道題的規律。什麼是看出這道題的規律了呢？就是你用最簡單的數列能把這道題是怎麼弄出來的推理出來，才算是你看出了這道題的規律。國考的數字推理，專家們真的沒轉太多的彎，都是很簡單的數列變換一兩次之後得出的題目。例6：2，12，30，56，90，（ ？）我再強調一次，不要往下看，先把我的例題做出來再說。這又不是考試，用得著這麼急？你做出來了？答案是132吧？恭喜你，答對了！呃，不好意思，我怎麼想起王小丫了？好吧，是我的錯。不過我想小聲地問一句：你是怎麼把這道題做出來的？不是二級等差吧？這道題也是我自己編的，怎麼編的呢？1×2，3×4，5×6，7×8，9×10，所以答案是11×12。例7：0，6，20，42，72，（ ？）如果沒記錯的話，這應該是一道省考的數字推理真題。很簡單的，二級等差，公差是8。你現在看到『二級等差』這幾個字，是不是有點想吐？那麼這道題的規律是啥？你看出來了么？0×1，2×3，4×5，6×7，8×9，答案是10×11。前面我說了，自然數列的平方數列是二級等差數列，公差為2對吧？那麼現在你該明白了，自然數列兩兩相乘，得到的數列也是二級等差數列。我可以接著說，平方數列加上某個數得到一個新的數列，仍然是二級等差數列，公差為2.因為加上的這個數在第一次等差時就已經減掉了。由此推知，就算你加上一個等差數列，它仍然是二級等差。同樣，如果是自然數列的乘積數列的加減變形，也是二級等差數列，公差為8。類似的規律還有很多，你如果有興趣，自己試試用1，2，3，4，5，6，7來組成一些數列，你會發現，如果你只進行了一次乘法運算（平方實質上就是一次乘法），那麼新數列就是二級等差的數列。到此，我們已經用二級等差的方法做出了不少的題目。其實當你做省考、國考的真題的時候，也會有這種感覺——好多題都是二級等差的。很遺憾的告訴你，你被各種培訓班以及輔導資料害得不淺，以至於形成了絕對錯誤的思維定勢。各種形式的等差題目告訴你，等差是一種基本規律，要注意。問題是：誰都知道等差是一種基本規律。你知道，我知道，命題專家更知道。不就是後項減前項么？頂多就是多減幾次而已。你認為，命題專家會在國家公務員的考試題中測試小學二年級的知識？例8：-5，-4，3，22，59，120，（ ？）答案是211。如果你沒做出來，沒關係。如果你做出來了，還是那句話，你是怎麼做出來的？你可千萬別告訴我，等差，三次等差。雖然我遇上這種題，估計也會等差、等差、再等差，直到最後得出結論:這個數列是個公差為6的三級等差數列。這種題目的規律確實不是一眼能看出來的。規律么，既然一眼看不出來，那麼兩眼三眼也未必能看出來。那怎麼辦呢？老師說了，觀察趨勢，嘗試等差......題目是做出來了。由此看來，老師說的是真有道理，嘗試么，這種方法不行，再嘗試下一種方法。反正數字推理就那麼些規律，慢慢看，總能看出來的。我真的不想對這種方法發表意見。說它錯吧，一點都沒錯；說它對吧，考試的時候你有這麼多時間去思考一道題？觀察，先觀察。觀察什麼？是趨勢么？那些所謂專家們害人的地方就在這裡。簡單的趨勢，國考肯定不會考。複雜的趨勢，那需要計算。計算，那需要時間。時間，參加過國考的同學們都明白時間代表什麼。前面說過，平方數列是二次等差數列，公差是2。我估計有興趣的同學已經開始在想，立方數列是什麼了。具體過程我就不寫了，太簡單。大家自己試試就知道了。這裡給結論：立方數列是三次等差數列，公差是6。甚至可以再往遠了說。自然數列0，1，2，3，4，5，6....的N次方數列是N次等差數列，公差為N的階乘。回到剛才的例題上來，這道題也是三次等差，公差也是6，這能不能讓你想起些什麼？對的，這就是立方數列0，1，8，27，64，125，216中的每一項都減去5得到的題目。例9：6，120，504，1320，2730，4896，（ ？）如果你有興趣，還是做一下這道題。當然，我確信國考不會考這麼變態的題目。說他變態，因為計算量太大，而且憑肉眼是看不出規律來的（如果你的速算功底不深的話）。其實這道題真的變態么？這仍然是一個三次等差數列。公差是162。是不是有點嚇人？那這個數列到底是怎麼來的呢？自然數列1，2，3，4，5，6，7，8.....，每三項相乘，也就是說，1×2×3，4×5×6，7×8×9，10×11×12，13×14×15，16×17×18。就這麼簡單。不妨再回過頭去看看例6和例7。甚至從頭再看一遍，看到這裡。一個道理：自然數列的變形數列，如果只經過一次乘法，它是二級等差數列；如果經過兩次乘法，它是三級等差數列。如果經過三次乘法呢？我們不需要知道了，不管它是不是四級等差數列，可以肯定的是，考試不會考這麼噁心人的題（如果真的出現了，你就當我沒說好了）。現在，當你做出一道題的時候，你還敢說，這道題是等差么？二、    不是等差是什麼？不是等差是什麼？是平方，是立方，是乘積。更可能的，是它們的變形，很簡單的變形。例10：0，4，16，40，80，（ ？）A ．160      B ．128       C ．136        D ．140很稀奇吧？怎麼到了這道題，我給了選項，弄的好像跟考試一樣？前面的題目沒有選項，是因為都是我自己隨便編的。那些題目都很簡單，用不著答案。這道題么，是07年國考的真題，我直接複製過來給大家看看。會做的人舉手。保守估計80%都會。不用等差的舉手（用拆項的也算用等差，因為你最後還要得出一個等差數列）。我懷疑一個都沒有。因為我翻了很多答案，上面都是這一句話：這是一個三級等差數列，公差是4。那可都是專家哦？還有專家告訴我們這道題要先除個4，這樣做起來簡單一些呢。這個數列是怎麼來的呢？我們等下再說。先看例11.例11：0，6，24，60，120，（ ？）這應該也是一道真題。不知道哪個省的。因為我隨便一搜，就看到QZZN里還有人問這道題。事實上，這道題我自己就編出來過，並沒有借鑒什麼考題。你會做嗎？是公差為6的三級等差嗎？很好，你說不是。你終於看出來了，這道題的規律是：N3 – N。也就是：13 – 1，23 – 2，33 – 3，43 – 4，53 – 5…….現在我們來看例10。三級等差數列，公差是4？我們前面不是說過，立方數列是三級等差數列，但是公差是6么？是不是很奇怪？那我們能不能讓例10的公差也變成6呢？當然可以了。每一項都乘以1.5，公差不就可以是6了？好吧，我們開始把例10的每一項都乘以1.5來看看。我不在這裡乘。你自己去乘。乘完了看看。沒什麼特殊的對不對？看起來還是那個模樣。和例11比較一下吧。你會有所收穫的。例12：2 ,    12，  36，    80，  （  ）A ．100      B ．125       C ．150        D ．175還是07年的真題。你一眼看不出規律來，怎麼辦？等差，差到最後就剩一個6了。敢不敢肯定呢？試試嘛。按照立方數列為三級等差的規律來試，得到結果是選C。你蒙對了。不過很多輔導書告訴我們，這道題的規律其實是這樣的：2×12，3×22，4×32，5×42…..哦，原來是這麼來的啊！這是自然數列經過兩次乘法（一次乘法和一次平方）得來的。怪不得呢，咱們之前也說過，兩次乘法之後的數列就是三次等差么！可是，一次乘法和一次平方得出的數列，為什麼三次等差後的公差也是6呢？公差為6應該是立方數列才對啊？如果你有這個疑問，那恭喜你，你的數字推理開始入門了。我們把立方數列寫出來和題目進行對比：1，8，27，64，不難看出：1+1 = 2，8+4 = 12，27+9 = 36，64+16 = 80。其實，這就是立方數列加上1，4，9，16得到的題目。1，4，9，16這四個數字擺在一起，應該足夠引起你的重視了吧？那麼這道題的命題規律究竟是什麼樣子的呢？就是這個樣子的：13 + 12，23 + 22，33 + 32，43 + 42…..有的同學會說了，輔導書上說的也沒錯啊？（N+1）× N2 本來就等於 N3 + N2，這兩個規律根本就是一回事，還值得你在這裡說這麼半天？全是廢話么！不，這不全是廢話。我之所以不怕丟人在這裡說這些，是想告訴大家一個道理：命題專家們出這樣的考題，就是考你的觀察能力，不需要哪怕是比較簡單的計算。我第一次做這道題時用了三次等差。第二次發現這是個偶數數列，直接排除B和D，然後根據數字發展的趨勢直接就選了C。第三次做這道題時，我決定拆項，用平方數來和數列比較，得出了平方乘積的規律。最後一次做這道題，我發現用立方數列和題目比較，得出的規律是最自然的。也就是說，只要你看到第3項是36，和27接近；第四項是80，和64也不遠的時候，你就明白了，這就是1，2，3，4，5的簡單變化。例13：0 ，  9，  26，  65， 124，   （  ）A ．165      B ．193       C ．217        D ．239這道題還是07年的題目。你看到第5項是124了。你想到5的立方了么？再看9，26，65，它們和那些熟悉的立方數都是如此的接近。你敢直接選C么？真的，面對這麼簡單的題，你還需要那麼多莫名其妙的規律？例14：0 ，   2，   10，    30，  （  ）A ．68      B ．74       C ．60        D ．70依然是07年的題目。我本來不願意再把07年的題目拿出來說事兒的。但是一想，既然已經說了三道，那就乾脆說完算了。你看到第4項是30。想到27了嗎？27+3？這不是33 + 3么？再看看10，符合這個規律不？這四道題都是立方數列的變式，也就是說，都可以用等差來做。現在，你分別用等差和立方規律來做這四道題。自己算算時間差吧。起碼是3分鐘時間沒了，對不？現在宣布重要結論：拿到數列，先觀察。先觀察什麼呢？不是所謂的數字變化趨勢。觀察數字變化趨勢能得到什麼呢？無非就是該數列到底有沒有等差或者等比的可能性。可是我已經說過，國考會考你小學2年級的知識么？考試時間這麼緊張，命題者真的就這麼不近人情，逼著你減了又減，減了還減？顯然不是的。可以這麼說，等差等比數列基本不會再出現在國考當中。大家都會，還考什麼？又不能考太難的，否則失去意義。所以，考的就是一些變異數列。其中，平方立方數列是重點。因此，拿到數列，要先觀察數列中第N項的數字與N（或者N – 1）本身有沒有聯繫（因為原始數列可能是1，2，3，4，5…也可能是0，1，2，3，4…..）。如果和N的立方接近，就用立方數列來比較；和平方數列接近，就用平方數列來比較。沒有特別的聯繫，考慮N和某個數字的乘積來看看。現在回過頭去看看例10。我已經用例11說明了這道題是怎麼設計出來的。但是，考試的時候指望我們能想到把數列的每一項乘以一個1.5，有些強人所難了。那怎麼辦呢？觀察數列本身：0，4，16，40，80，（）第5項是80，和5的平方25以及5的立方125都相差甚遠。第4項40也是這樣。那麼可不可以考慮用數字除以項數呢？各項分別除以1，2，3，4，5得到一個新的數列。你發現了什麼呢？那就是這個新的數列是個一級等差數列。當然，這種規律確實不普遍。考試時出現這種類型的題目的可能性不大。而且，這種題目也確實可以用多級等差來解決，因此區分度也不高。但是，我希望通過這個思路使大家記住兩件事情：①、先觀察。先把所謂的趨勢忘掉，先觀察數列中的數與其本身的項數之間有無聯繫。②、別急著等差，尤其是不要多次等差。當然，如果你實在看不出規律、 需要進行試探性計算的時候，首先嘗試下多級等差是個好主意。因為很多題目即使你看不出來，但是只要它確實是平方立方數列的變式，等差能解決大部分問題。但是，在平時訓練的時候，要盡量做到不動筆計算。以例15作為這一部分的結束。例15：1, 9, 35, 91, 189, (   )A.301      B.321       C.341       D.36109年的真題。這道題是怎麼來的？03 + 13，13 + 23，23 + 33，33 + 43，43 + 53……..看看，同樣的立方數列變形，這次，等差可就解決不了問題了吧？回顧這些平方立方數列的變式，你會發現，原來國考已經把這些形式考的差不多了。你看，N3 – N考過了，然後考N3 + N2，再然後考N3 + (N + 1)3。如果命題專家們還想考這類數列的話，他們會怎麼出題目呢？這個問題誰也不可能準確回答。然而問出這種問題，正是高效備考的關鍵所在。三、    僅僅觀察題目就夠了嗎？例16：14，  20，  54，  76， （ ）A.104    B.116   C.126    D.14408年的真題。這道題的規律絕對不是一眼能看出來的。如果不給答案的話，兩眼三眼也難。秘密在那裡？在答案里。看到A、B、C也就罷了。看到D，知道是122，可是題目里就沒有平方數，因此D不大可能是選項。既然不是選項，那專家們為什麼把這個數字放在這裡呢？難道這道題和平方有關？帶著這個疑惑來看選項。A是102 + 4，B是112 – 5，C是112 + 5。好吧，後面的思維過程我就不說了。大家都該明白了。一個簡單的平方數列。如果不加偽裝吧，是人都會；可是你要稍微偽裝一下，就能難倒一大片人。數字推理，真的那麼難么？確實，數字推理就是這麼難。那怎麼能考察考生的觀察能力和推理能力，又不至於讓這道題難於登天？只能給點提示了。提示在那裡？不可能在別的地方，只會在答案中。一個重要的思維模式：當你一眼看不出規律的時候，別著急，千萬別著急。看看答案中的數字都有哪些明顯的特徵。命題者說不定就在裡面藏了個蛋糕。例17：153, 179, 227, 321, 533, (  )A.789               B.919C.1079              D.122909年的真題。我第一次碰到這道題，在思考了一分鐘之後決定開始等差。。。差到最後兩個數，24和72.然後就默認為這是個等比數列，蒙出了答案C。很LUCKY，這也再一次證實了等差實在是個好辦法，儘管笨了點。但是如果有時間的話，笨點也不錯對不對？言歸正傳。這種題一看就暈。規律？規你媽個頭還差不多。考試犯得著出這麼難的題么？如果不給你選項，你思考10分鐘？15分鐘？能不能做出來還不好說。可是命題者偏偏就把這道題堂而皇之地放在考卷上，讓無數人噁心。為什麼？因為命題者給了提示。看答案。四個選項沒別的相同之處，唯一的相似就是末位數都是9。為啥？為啥？難道這道題和末位數有關？再看數列的倒數第二項533，末位數是3。三三得九，這是小學一年級的知識。好吧，我們抱著這種莫須有的規律來看整個數列。三三得九，三九二十七，三七二十一，一三得三，最後還是三三得九。這說明了什麼？這個數列和三有關，涉及到三的乘法。好吧，現在你該明白這個數列是怎麼弄出來的了：153×3 - 280 = 179179×3 - 310 = 227227×3 -360= 321321×3 - 430 = 533所以：533×3 - 520 = 1079你真的明白這道題是怎麼弄出來了的么？其實不是的。感謝論壇ID為hhyzz的朋友，他提供的思路，才是命題者真正要考查的目標。為了對這種思路進行解說，我們先來看一個數列：2，4，8，16，32，64，（）這個數列很簡單，如果項數為N，那麼該項的數字就是2N。也即是：21，22，23，24...這是個什麼數列呢？等比數列對吧？把這個數列等差一下看看是什麼結果？2，4，8，16..和沒做減法之前差不多，就是最後少了個64對吧？好吧，你該知道了，等比數列等差後得到的數列依然是等比數列，公比不變。例題我們也等差過，差到最後是不是一個等比數列？你該問了，這道題本身不是等比數列啊，為啥差到最後是等比數列？有人會回答說：你都說了啊，這個數列是前項乘以三，再減去另外一個等差數列得到的結果，當然差到最後是等比數列啦。沒錯，確實是這樣的。如果你按照這種規律構建一個數列，差到最後就是等比數列。而且公比就是你乘的那個數字。但是，你走彎路了。或者說，這種規律不是自然存在的。什麼是自然存在的規律？那就是等比數列加上一個等差數列，而不是乘了再減，減了再乘這種看似複雜，實際一無是處的做法。把例題變形一下，你就一目了然：150+3，170+9，200+27，240+81，290+243...現在我們知道了命題者的提示究竟是什麼：這不僅僅是和3的乘法有關，這根本就是3的冪次數列的變形。這裡再次印證了一個看法：國考數列，都是簡單數列的變形。例18：67， 54， 46， 35， 29，（  ）A．13    B.15   C.18    D.2008年的真題。按照之前的思維模式，先看數列中的數字有沒有可能是平方立方數的變形。67和8有關，35和6有關。可是67和35之間隔了兩個數，這就不對了。再看答案？都是一幅『我正確』的嘴臉。等差？出來個莫名其妙的新數列。等比？顯然不可能。難道是傳說中的「一個數字減去自身的個位數和十位數」？67減13等於54。我們好像找到了方向？可是馬上就來了當頭一棒：54減9等於45。難道是減完還要加1？46減10等於36，又要減個1；35減8等於27，還要加個2。徹底暈了。遇到這種情況怎麼辦？先放下這道題，看別的題目去。因為實在沒思路了啊。剩下的可能就是最最複雜的：數列的前兩項通過一定的運算規律得到第三項。10分鐘後再來看這道題。沒辦法了，把數列的第一項和第二項加起來看看。67+54 = 121。121和46之間難道有什麼關係嗎？沒有啊。這可怎麼辦？等等！121！121這個數字還沒喚起你的警覺嗎？把54和46加一下？然後你會忍不住繼續的。最後，答案出現了。這個例題是不是有點脫離了我這一小節的主題？因為我這一小節的主題就是讓大家觀察答案啊。那我為什麼把這道題放在這裡？剛才我詳細列出了我在第一次做這道題時的思維方式。算不算NICE？個人還是滿自得的。可是第二次做這道題時，我有了新的感受：數列前5項分別是奇數，偶數，偶數，奇數，奇數。這代表了什麼？兩項之和分別是奇數，偶數，奇數，偶數。所以第5項和答案的和應該是奇數。所以答案應該是偶數。排除答案A和B。只剩C和D。這個時候再看20和18兩個數字。18就算了。20加29等於49，這已經足夠引起我的注意了。特別提示：奇偶規律能夠幫你有效地排除錯誤的答案。4個裡挑一個有難度，2個裡面挑一個呢？就算猜，都能有50%的正確率啊！數字就是這麼奇怪。如果遵循某種運算規律來排列數字的話，這些數字的奇偶性通常也具備規律性...到了這裡，大家應該能明白我為什麼要強調先看答案了。如果通過奇偶的規律能夠排除掉一個到兩個選項的話，看看答案應該能幫助你更迅速的尋找到規律。我們假設把數字推理題變換一種考試方法：給出你括弧里的數字，要求你寫出數列的排列規律。這種方法會不會相對來說簡單一些？看著答案找規律，總比摸索規律再去對比答案要簡單很多吧？所以，如果你能先排除掉兩個答案、再通過假設法去尋找規律，比起漫無目的地猜測和驗證，一定會有效的多。如果你看著答案都不知道規律，那我送你四個字:好好練習！四、    那些少的可憐的提示啊！例19：-2，-8，0，64，（   ）。A.–64      B.128     C.156     D.25006年國考中，這道題是難度最大的一道了。當然，現在看起來也很一般。看到8和64，你如果聯想不到這道題和平方或者立方數列有關，那就算你白混了。-2×13，-1×23，0×33，1×43……你要說了，這道題命題者可真的是沒給什麼提示。如果一定要說有的話，那就是題目中間的那個0還勉強能算。真的是這樣的么？請問，一般的數字推理題，給出的數字都是5個或者6個。為什麼這個只給了4個？難道是命題者隨心所欲么？前面說過什麼？4次乘法得到的數列是4次等差數列。這個數列也一樣。如果你多給幾個數字，你看看能不能用等差把這道題做出來？或者你把這道題換成這樣：-2，-4，0，16，（ ）。我沒變別的。就是把立方換成了平方。難度就降了一大截。為什麼呢？這樣就可以用等差來做了。你能不能看出規律，影響不大。現在明白命題者為什麼只給了4個數字了吧？因為給你5個數字或者更多，你看不出來也能減出來，也能蒙出來。提示：看到題目里數字比較多的，自然要考慮分組數列的可能；看到題目里數字比較少但變化卻比較劇烈的，你儘管向立方數列或者積數列靠攏。有接近立方數的，先考慮立方數列；沒有接近立方數的，向積數列靠攏。什麼是積數列？看看例20。例20：3，7，16，107，（   ）。A． 1707    B． 1704    C． 1086    D． 1072還是06年的題目。4個數字。看答案就知道一定是和乘法有關的對不？3和7乘一下，再與16做比較。很簡單對吧？你不妨這麼認為：只有4個數字的題目，就乾脆不要考慮等差的可能性。為啥？就算命題者考你等差，也不會是一級等差對不對？如果是二級或者三級等差，4個數字是不是太少了些？題目規律是不是太勉強了些？請你再回過頭去看看例16。你可以試著按照它的規律多給幾個數字，看看這道題能不能用等差做出來？和立方有關的數列，就少給幾個數字，這樣避免你用等差的方法誤打誤撞，是命題者常用的手段。然而要限制你用等差，就必然造成這樣的情況：立方數列只給四個數字。凡事都有利有弊，出題也是這樣。命題者越是不願意多給考生變化的餘地，他自身的餘地也就越小。大道至簡，卻總留下蛛絲馬跡讓我等碌碌眾生為之傾倒。康德的那句名言，於我心有戚戚焉！什麼是數字推理？給你一個數列，要你觀察它的規律，並且根據規律推出之後的一個數字。規律藏在哪裡呢？當你從數字本身的排列看不出來的時候，就找找別的地方吧！五、    規律是啥玩意？假傳萬卷書，真傳一句話。千萬別誤解我的意思，我不是在說我自己寫的東西就是真傳。你看，我啰嗦了這麼長時間，才說了這麼一點東西。如果按照定義來對比，我寫的心得絕對屬於假傳。你看了無動於衷也好，心潮澎湃也罷，其實到頭來都是一場空。為啥？紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行。什麼是真傳？一句話就能解決所有人的問題？這明顯不符合邏輯，然而這又是真理。為什麼呢？因為人和人是不同的，所以，具體到每個人身上，所謂的真傳也是不一樣的。這個所謂的真傳，其實就是最為適合你自己的思維模式。從來就沒有什麼救世主，也沒有神仙皇帝。你是相信命題者，還是相信輔導班？你信春哥還是信曾哥？你要相信你自己。真傳誰都不可能直接告訴你，就算我是你肚子里的蛔蟲，明白你所思所想的一切，也不可能告訴你。因為說出來的，那就不是真的。真的東西，永遠只能由你自己領悟。所以，規律是什麼？數字推理的規律千變萬化，唯獨你自己的思維模式是一定的。與其去尋找那些變化無窮的規律，不如回到自身，想一想：我的思維模式是不是有什麼問題？例21：28，22，18，16，12，10，（ ）A．4    B. 6    C. 8     D. 9這個不是真題，我自己編了四個答案。你會做么？正確答案是B。規律是啥？兩項相減得到的數列是6，4，2，4，2。你敢再減個4得到正確答案么？這個呢，其實就是質數數列的倒序再減了個1得到的數列。如果你按做差的方法，那你還是蒙對了。例22：5，8，12，18，24，（ ）A. 28      B. 29      C. 30     D. 31還是我自己編的題。答案是C。兩項相減，得到的數列是3，4，6，6。你敢再加個6得到正確答案么？這個呢，其實就是質數數列2，3，5，7，11...兩項相加得到的數列。你敢蒙的話，就能蒙對。這兩道題是不是都有點噁心人？你看第一題，為啥相減得到的數列是6，4，2，4，2，為啥不是6，4，2，0，也不是6，4，2，4/5，更不是6，4，2，2，0，還不是6，4，2，1？第二題也是，為啥相減得到的數列是3，4，6，6，為啥不是3，4，6，9，也不是3，4，6，10，更不是3，4，6，8？總而言之，為啥他媽的就不是我們熟悉的那些規律呢？如果你有這樣的抱怨，那一點都不奇怪。但是，請你接著抱怨一下：為啥不是你熟悉的規律，你就做不出這道題了呢？你該說了，一時半會兒誰能想到質數數列上去啊？人家總要先看看是不是等差，然後再看看是不是和差積商數列。。。不能說你錯，只能說，你的思維模式有缺陷。質數數列么，2，3，5，7，11...你當然是知道的。可是為什麼你想不到呢？我們來看質數、合數的一些規律：1、    除了2之外，所有的質數都是奇數。2、    最多連續5個自然數是合數。這能說明什麼呢？我一說，你都知道了。讓我來告訴你吧：這說明了，除了2之外，兩個不同的質數（前提是挨在一起的）相減，得到的差只能有三種情況：2，4和6。還能得到什麼規律？兩個相鄰質數的和組成的新數列A，除了第一項是奇數（其實就是5）之外，別的都為偶數；數列A相鄰項的差，第一個是奇數（其實就是3），別的都是偶數，偶數的最小值是4，最大值是12（這個最大值按照理論來說是12，但是我驗證了50以內的質數，得到的最大值是10，因此，大家不妨認為這個最大值就是10。50之後的質數確實有12的可能性存在。比如：137，139，149，151，157）兩個相鄰質數的差組成的新數列B有什麼規律么？前面說了。首項是1，然後就是三種情況：2、4、6。現在，用數列B的規律來看例21，用數列A的規律來看例22.你該明白我的意思了：你為什麼想不到有的規律？因為你對這些規律認識不深刻。例23：6，35，143，323，（ ）A. 645   B. 659    C. 667     D. 673請大家注意這道題，雖然它是我杜撰而來，但我絲毫不懷疑它在考試中出現的可能性。常規的方法是解不出這道題的，答案我也精心設計過，沒有泄露半點天機。你能一眼看出規律么？你能把數字6拆成2×3，把數字35拆成5×7么？好吧，質數數列相鄰兩項的乘積組成的新數列。而且6和35這兩個數字極具迷惑性，很容易把你往乘積或者平方數列上去引導。什麼才是正確的思維方式？兩個相鄰質數的積組成的新數列C，除了第一項是偶數之外（其實就是6），別的都是奇數。我實在是不想再多說了，說多了都是口水。考試總共就只考這麼幾種規律，你不要著急去練習，先把這些規律本身引出的數列具有什麼特徵研究清楚了再說。練習本身是沒有壞處的，問題在於那些良莠不齊的練習題，唉，不能說不如不做，也不能說做了白做，更不能說鼓勵去做。說什麼好呢？六、    哪幾種數列？在上一部分的結尾，我大言不慚地說：「考試總共就考這麼幾種規律」。到底是那幾種呢？或者說，有哪些比較簡單的構成數列的方法，是考試中經常考到的？這個問題呢，輔導班總結過，考試牛人總結過，甚至你自己也總結過。但是請相信我，如果你沒有經歷我前面幾個部分的思考和總結，而是單純地總結這些類型，真的用處不大。考試時間有限啊，你還打算對著考題進行一一排除，知道尋找到它的規律為止？這種思維方式是學習和研究的思維方式，不是考試的思維方式。數列可分為六種：①簡單數列及其變形；②多級數列；③分組數列；④分數數列；⑤冪運算數列；⑥遞推數列。Ⅰ、簡單數列：這個就不用多說了吧？需要注意的就是質數數列和合數數列。其中合數數列我覺得不太可能出現，畢竟把62，63，64，65，66這5個數字放到一起，後面再接個68，給人的感覺就是怪怪的。當然，他要考的話我們很歡迎——合數數列太好辨別了：你看到幾個連續自然數，就直接往合數數列上想，基本沒錯。質數數列么，前面我說過了。雖然說的不全，但是好歹加法減法乘法如何構成比較合適的考題，我都提供了基本的思路和認識方法。至於除法么，好吧，我還是給大家兩個題目看看：例24：23 ，35 ，57 ，711 ，（ ）這道題是小兒科，對不對？例25：15 ，14 ，16 ，29 ，（ ）A. 18      B. 310      C. 112     D. 15我前面告訴你了這道題是和質數有關的，因此你仔細看看還是能看出來：分子是相鄰的質數相減，分母是相鄰的質數相加。如果考試場上碰到，估計不少人要蒙掉。簡單數列是說數列的構成方式簡單，或者說裡面的規律比較簡單。但是，簡單不等於常見，因此，簡單往往不等於你能很輕易發現這些規律。例26：3，1，4，1，5，（ ）A. 6      B. 7      C. 8      D. 9這道題我忘記了在那裡看到的，也不知道是不是哪個省的真題。放到這裡主要是想調劑一下大夥的心情，如果你會做的話，不妨一笑而過；如果你真的不會，那就想想咱們熟悉的圓周率吧！例27：5，6，1，7，8，5，3，8，1，（ ）A. 2      B. 4       C. 7       D. 9你分組了嗎？是兩個一組還是三個一組？如果你沒看出來，就看看下面的例題吧。例28：5，6，11，17，28，45，73，118，191，（ ）簡單嗎？簡單！常見嗎？不常見！要命的是，這種簡單卻不常見的規律實在是太多了。你自己生造都能造出好多來。例27是個位數的變化而已。你要換成十位數的變化，那就能把所有的人都噁心一遍。幸運的是，國考這種王道，還沒怎麼出現過這種旁門左道的題目。Ⅱ、多級數列：什麼是多級數列？多級等差或多級等比，再或二者的混合數列唄！例29：5,  12,  21,  34,  53,  80,  (   )A.121      B.115     C.119      D.11709年的真題。看見6個數，而且答案全是奇數，因此7個數的排列為：奇數，偶數，奇數，偶數，奇數，偶數，奇數...要怎麼樣的運算才能有這種規律呢？我們都知道自然數的排列就是奇數，偶數，奇數，偶數...這麼來的，那麼，自然數列通過N次等差之後，一定也是這樣梅花間竹的排列方式。能不能由此再推廣一下？給你一個數，比如說2。讓你造一個公差為2的等差數列A。你一定會的。所以數列A就是{2，4，6，8...}。現在再任意給你一個數字，比方說7，讓你造一個二級公差為2的數列B。怎麼造呢？前面咱們造了一個等差數列了，那我用7加上數列A不就可以了？好的，你也造出來了。數列B就是{7，9，13，19，27...}繼續給你一個數字5，讓你造一個三級公差為2的數列C。同理我們就可以得到例29的題目了。你看到沒有？多級等差數列的形成過程就是這樣的。所以：不管一個數列是幾級等差數列，它的奇偶性都是固定的：要麼全奇，要麼全偶，要麼一奇一偶，要麼兩奇兩偶（開頭的一個不算，因為這個數是隨機的）...反正如果一個數列如果既有奇數又有偶數的話，那麼奇數和偶數順序排列，數目相當。前面我們一再強調，立方數列是三級等差數列，其三級公差為6.我們把例題變一下，每一項都乘3，這樣它的三級公差會變成6。得到數列D：{15，36，63，102，159，240}。這個數列和立方數列有沒有什麼關係？有的。數列D的變形：{13+14，23+28，33+36，43+38，53+34，63+24}，其中數列{14，28，36，38，34，24}是一個二級等差數列，二級公差為-6。這是什麼意思？把數列變來變去幹嘛？沒啥用處么！在第二部分，我詳細說明了這些規律，是為了讓大家明白：平方數列或者立方數列，往往可以用等差解決；在這裡，我又一次把這個規律弄出來展覽，是為了讓大家明白：如果你願意，一個二級等差數列，你總能把它和平方數列扯上關係；一個三級等差數列，你總能把它和立方數列扯上關係。所以啊，平方數列和立方數列以及它們的簡單變形，往往也有其固定的奇偶規律。回過頭去看看例10到例15，也就是07年的國考真題，估計你又能有更新的認識。平方立方數列的奇偶性也是有其固定規律的吧？不管你有多麼深的認識，我還是想說說我自己的結論：數列的奇偶性排列呈現明顯規律（就是全奇數或者全偶數，或者一樣一個的排列的時候）應該考慮做差來看看。同理，你想做差之前，務必先看看奇偶性的排列。如果不是，就別做差了。但是這裡有個前提，就是你先肯定這個數列和平方立方數列沒什麼直接關係。不然，做差就是浪費時間了。你該問了，怎麼能肯定這個數列和平方立方數列沒多大關係呢？說穿了很簡單，我們還是放到講冪運算數列的時候說吧。不然，到時候我沒話說了多丟人啊！例30：7,   7,   9,   17,   43,   (   )A.117      B.119      C.121      D.123都是奇數哦，而且有兩個7，還有個9，可以排除質數數列變形的可能。那還不趕緊減一下看看？兩兩做差得到數列：0，2，8，26..再次做差得到數列：2,6,18..你該明白了。09年的真題，也就是這個難度了。不過，再回頭看看例15和例17這兩道同樣是09年的真題，你就知道，有時候奇偶性並不適合做差。不是做差是什麼？不是做差，就是乘法（例17），不然就是（例15）需要你拆項（把這個數字拆成一奇一偶的和，或者一奇一偶的積）。Ⅲ、分組數列：這個沒啥說的。就是把一個數列分成兩個數列甚至更多來看。個人認為這種數列在國家考試中再次出現的幾率很小。因為簡單的大家都明白，如果命題者想考複雜的，還要把兩個複雜的規律放到一起考，那他是不是有點太變態了？Ⅳ、分數數列：例31：0,   ,   ,   ,   ,  (   )A.       B.        C.       D.分數數列就是送分題。為啥？分數數列實際上是考你通分的，和規律關係不大。硬說有關係的話，那也就是些簡單至極的規律。這道題同樣是09年的真題（到現在，我好像已經把07、08、09三年的國考真題都說過一遍了），你先看看答案，分母不是12就是13.再看題目中的分母，已經有了6和8，再往後通分，至少也是10和12，因此選項的分母大於或等於14。先把C和D排除了再說（如果你說，選項C和D中的13有可能是某個分數約分的結果。那我問你，13和14的最小公倍數是多少？答案的分母可能那麼大么？）再看A和B，顯然也小於14，那怎麼辦呢？通分啊！乘以2不就是24了。24是完全可能的吧？先開個玩笑：你看題目中的5個分數，分子都小於或者等於分母的一半。你敢直接選A么？這道題你把第一個12 化成612 ，第二個12 化成1020 之後，就很容易了。不過，通分的過程沒這麼美妙，你要試好幾次才行。但不管怎麼說，這還是送分題。通分么，需要多長時間？何況，你先排除C和D。然後根據A和B的分母12分別試試24和36的可能性，也花不了你多少時間的。也有的分數題不是考你通分的。那就是冪運算。例題很多，大家可以自己去找，但是我個人覺得這種題沒有必要練習。你明白規律了，到考場上遇到這種題，就有固定的思路。有了固定的思路，這種題就是送給你分的。Ⅴ、冪運算數列：我們常說的冪運算，其實就是平方和立方數列。如果是負的冪，一般我們都把這種數列歸為分數數列里，而且負冪考的通常都簡單。不過，這幾年把平方和立方數列考的差不多了。國考再加上省考，我很懷疑還有什麼題型是沒考到的。說歸說，作為考察力度最大的一種數列，認真準備是必須的。怎麼認真準備呢？多練習？練習什麼呢？數字敏感性？給你一個數字：120，你能想到什麼？是112-1還是53-5，或者是6×52？數字敏感性當然需要，你如果有足夠的數字敏感度，數字推理就是哭著喊著也要一定送給你分數的題目了。但是數字敏感性稍微差一點怎麼辦呢？用大量的練習來彌補。也就是說，看到6，要能想到2×3（這是質數），要能想到22+2或者32-3（這是平方變形），要能想到13+5或者23-2（這是立方變形）。我從來不否認數字敏感性是數字推理題的王道。但是王道不是人人都能學的。你也許時間不夠，也許天賦不足...前面在講簡單數列的時候我也說了，想要看一個數列和平方或者立方數列有沒有直接關係的方法很簡單。如果你為不能一眼看出冪運算數列而煩惱的話，我告訴你一個笨辦法：在做數字推理之前，先把以下兩個數列整整齊齊寫到紙上：0，1，4，9，16，25，36...0，1，8，27，64，125，216...你看一個數列第一項是0，就用0開頭去比。第一項是1，就用1開頭去比。都不行的話，稍微考慮一下隔項、倒序的可能。如果開頭不是0和1，而是3或者7怎麼辦？兄弟，等差去啊！不怕貨見貨，就怕貨比貨。沒有比較就沒有鑒別。咱們把這些真題也用於數字推理中，一樣有效。現在，你按照我說的辦法去做你能找到的所有的關於冪運算的題目。Ⅵ、遞推數列：其實多級數列和遞推數列是有些關係的。要把它們之間的聯繫和區別搞清楚。聯繫是什麼呢？就是這兩種數列都有特定的四則運算規律。包括簡單的和複雜的。區別是什麼呢？就是多級數列是用一個數字推導出來的，而遞推數列是用兩個或者更多的數字推導出來的。比如，設有數列A，A(1)=3。有以下規則：A(n+1)= A(n)×3 – 3。你可以得到這樣一個數列：3，6，15，42，123...你把這列各項相減得到一個新數列，這個新的數列一定是個公比為3的等比數列。這種數列我們叫它多級數列。再設有數列B，B(1)=3，B(2)=5。有以下規則：B(n+2) = B(n+1)×2 + B(n)。你可以得到這樣一個數列：3，5，13，31，75...這種數列你用等差或者等比是沒辦法做的。這就是遞推數列。關於遞推數列，我很想找到一個行之有效的辦法，但是努力了很久，還是不行。唯一覺得還算有可行性的是隔項運算。比如數列B，你一看，全是奇數，等差吧，得到2，8，28，44，再等差得到6，20，24，沒辦法了。這個時候隔項相減就容易點。但是這是有前提的，那就是這個遞推數列是兩項運算，並且運算的最後一步是加法。如果是減法，你就要隔項相加...依次類推。而且遞推的規律也實在太多，下面列舉一些常見的：加法：兩項相加得到第三項；三項相加得到第四項；兩項相加構成一個新數列（可能是多級數列或者冪運算數列）；三項相加構成一個新數列...減法：同加法。乘法：兩項相乘得到第三項；甚至更複雜一些，我都不敢想。除法：同乘法。混合：這就更多了。比如A(n+2)=[A(n+1)+A(n)]×2，再比如A(n+2)=[A(n+1)+A(n)]/3。反正你能想到的四則運算方法（嫌不夠變態的可以加上平方立方什麼的）都可以用上，然後就可以隨便造出一萬道讓人抓頭皮的數字推理題。碰上這種題，那就沒辦法。試吧。這種題與其說是考你數字敏感性，不如說是考你心算速度的快慢。因為趨勢這種東西很明顯，增加不快的就是加減，快的就是乘除。然後你就快速運算，排除各種可能，直到摸索出規律為止。國考好像沒怎麼碰到過這種題。但是我很害怕它會出現。因為別的數列真的考得差不多了。09年的最後一道題就已經有了遞推數列的影子，儘管它仍然算不上純正的遞推數列。命題者也很為難，考過的不能再考，難度不能降低。那他們還能出什麼題目呢？好吧，數字推理說到這裡，就沒什麼可說的了。還有很多種形式的規律我沒有列舉到，但這不代表你應該不知道。關於規律的總結，很多人比我做的好，去借鑒他們的成果去吧。我說了很多，基本上，就是告訴你，仔細觀察題目（包括數字的個數和其奇偶性），把題目和平方立方數列進行對比，觀察答案，看看命題者有沒有可能給你一些提示。都不行的話呢，就只能加加減減了或者乘乘除除了。還是不行？你該想想那些偏門的規律了。你該做什麼？練習。三天不練手生。再高的水平，也擺脫不了這種規律。七、    命題趨勢預測如果說前面所說的或多或少還有點道理，這裡就是純屬臆測了。基本上，我是寫給自己看的。1、    冪運算：估計還是有一道題。N3-N2：0，0，4，18，48，100，180，（ 343-49 = 294 ）       三級等差，6(N+1)3 – (N)3: 1,7,19,37,61,91,(343-216 = 127)           二級等差，6N(N+1)2: 0，4，18，48，100，180，（6×49 = 294）          和第一個一樣？N3+N4： 2，24，108，320，750，（1512）                     四級等差，242、 分數數列：估計有一道，難度應該和09年的相同。3、 遞推數列：估計有一道，可能是A(n+2) = A(n+1)×3 – A(n)。5，6，13，33，86，（）4、 多級數列：鬧不好是三次等差之後的數列為等比，且公比不是2，有可能是3.試著弄一個出來：公比為3的等比數列：1，3，9，27，81。給一個數字6，得到中間數列B為6，7，10，19，46，108。再給數字為10，得到中間數列A為：10，16，23，33，52，98，206。最後給個數字7，得到最終數列：7，17，33，56，89，141，239，445。5、如果命題者真的按照我這種思路來的話，那剩下一道題一定是送分題。發佈於：2009-10-30
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