拓撲序究竟是處於一個純態波函數描述的態，還是一個由簡併基態非相干疊加的混態？

凝聚態物理界研究拓撲序系統的數值方法傾向於關注一個基態波函數這樣一個東西，但這類系統都是有很大的基態簡併的，那麼為什麼在絕對零度時系統不能處於一個混態中呢？

根據題主的補充，我先梳理一下問題:

1、為什麼凝聚態的數值方法關注基態波函數？

2、基態簡併的體系的數值方法的收斂性？

3、零溫極限的系統能否處於基態波函數的非相干疊加，即某個混態？

4、系統處於混態對拓撲性質有何影響？（我猜題主提到拓撲序的意圖）

想了想，每個問題我都只能給出非常有限的回答。

1、基態波函數蘊含的信息量很大——凝聚態中實用的平均場理論非常依賴基態，有了基態波函數我們可能可以很好的找到系統的低能激發。

2、我想 @paid Pay 可能會感興趣。注意到這些數值方法都是解系統譜的工具而已，並不依賴真實系統處於哪些狀態，這裡回應一下你評論區的觀點。

3、基於我對統計力學和凝聚態系統的淺顯的認識，在非零溫和 平衡態 下，依照統計力學的精神，系統的確處在從溫度 定義而出的一個非相干狀態中（玻爾茲曼分布）。現在我們考慮一個從非零溫冷卻至冷溫極限的過程——（1）在非簡併基態的理論中，可想而知，系統處於基態對應的純態中；（2）而簡併基態的理論我想不到任何其他的理由讓系統favour某一個特定的基態，所以可能處於混態或純態（這可能依賴冷卻這個系統而額外引入的操作）。下一步是去思考基態的簡併可能是不穩定的（但是眾所周知，有些簡併是受到保護的，我指的這個不穩定性也是冷卻操作帶來的），系統可能走decoherence的方法去favour某個特定的基態。

4、類似2的，拓撲性質是哈密頓量以及其希爾伯特空間具有的（正如系統的能譜、波函數），和具體系統的狀態無關。除非是想去構造某些過程去測量某些拓撲數，這展開又是一個大話題了。

然後在我想提筆計算一下你說的那個阻挫系統的時候，突然意識到這個冷卻過程甚至可能是一個非平衡過程大概是要用到master equation Langevin equation之類的，隨放棄了- -

凝聚態物理界研究拓撲序系統的數值方法傾向於關注一個基態波函數這樣一個東西，

DMRG這樣的方法確實是關注基態波函數，但是量子蒙卡並不是這樣的。但是後者也可以用來研究拓撲序的。

但這類系統都是有很大的基態簡併的，

不對，傳統意義上的拓撲序沒有很大的基態簡併度。或者說基態簡併度不隨著體系變大而變大，而只和拓撲序所生活的實空間的拓撲結構（比方說genus）有關。

那麼為什麼在絕對零度時系統不能處於一個混態中呢？

這個我不大清楚，但確實沒有見過這麼處理的。在我的理解中，密度矩陣算符是用來描述一個（封閉）系統的一個子系統的，如果用來描述封閉體系的基態的話物理意義不明確。系統應該是可以處在一個由簡併的基態線性組合而成的疊加態上，但是具體的疊加係數由什麼來決定我也不知道。今天正好可以問問來訪的專家，回頭再更。我知道的僅僅是，拓撲序的幾個簡併基態之間是無法用local operator來耦合或者區分的，這恰恰就是拓撲性質的體現。

被cai艾特了就來強答一波...題主在問題描述和評論和答題區問了很多個問題，有點亂，嘗試回答其中的一部分。

像Triangular lattice伊辛反鐵磁這種，簡併的基態是因為你晶格長這個樣子，幾何阻挫造成的，基態的數目是隨著晶格的增大exp增長的。而一般所說的拓撲序的這種數目是有限的，兩者的基態簡併並不是一回事。

量子蒙特卡洛這邊，經常計算的是序參量啊譜啊各種關聯之類的，很少去關心基態波函數具體長什麼樣。當然用投影蒙特卡洛是可以算基態的，大概是先假設各個係數相同然後exp作用上去，最後出來的的確是線性疊加的這樣的純態（當然了你可以搞個微擾或什麼的讓它跑到一個態上去，if不是拓撲序的話）。但一般也都是算一下譜啊激發啊之類並不怎麼care基態具體長什麼樣子。

拓撲序的話。

我們發現一些系統的基態簡併度在任何微擾下都是不變的。這樣的基態簡併度，作為一個普適特性，可以用來定義新的態和新的序。事實上拓撲序[Wen and Niu (1990) ]就是由這種基態簡併度來定義的。

先說一個類似的問題，Ising model在外磁場等於零時為什麼不能處於全自旋向上和全自旋向下的混態？這是因為兩個態之間不能通過local unitary相互轉換。實際系統的fluctuation總是local的，因此會自然趨向於其中一個態。這種現象叫做symmetry breaking。

在拓撲序中同理。例如toric code中的4個基態，它們之間不能通過local unitary相互轉換。所以實際系統總會選擇其中一個態。在DMRG這類的local energy minimization algorithm中，演算法會根據初始態選擇最終收斂到的基態。