數論拾遺03

假設t(n)表示n的正因數個數，n為奇數，則n表示為兩整數平方差的表示方法有多少種？

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a^2 - b^2 = n => n = (a-b)(a+b)，因為n為奇數，所以a-b和a+b也均為奇數。

則a、b一個為奇數一個為偶數。

設 n = cd，則每對cd唯一確定一對ab：c = a-b；d = a+b；

（一對線性變換，二元一次方程組）

而對每個n的正因數di，均可以形成一個ci，但是這樣會把所有ci di的組合算2遍。

因此平方差的個數 = [(t(n) + 1)/ 2]，這裡t()為上題中定義的正除數個數。+1是為了考慮t(n)為奇數的情況，當t(n)為奇數時，n=m^2（此時n為平方數），仍然有一個額外的n = m^2 - 0^2的解。

註：[a] 表示對a向下取整。

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此題為什麼強調n為奇數？因為當n為偶數時，(a-b)和(a+b)有可能奇偶性相同或不同，當(a-b)和(a+b)奇偶性不同時，cd與ab不是一一對應的關係。舉例：2不是任何數的平方差。

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