數論拾遺02

定義t(a) 為a的所有正除數的個數

證明：t(a)為奇數的充要條件是a = m^2

=======================分割線=================================

=》 a = p1^a1 * p2^a2 … t(a) = (a1 + 1)(a2 + 1) ....

如果a為奇數則說明t(a)的每個因數都是奇數，也就是說a1到an都是偶數，則當

m = p1^(a1/2) * p2^(a2/2) … 時，a = m^2

《= 當a為平方數時，m = p1^(a1/2) * p2^(a2/2) …

因此a = p1^a1 * p2^a2 … 中ai都是偶數

則t(a) = (a1 + 1)(a2 + 1) .... 為奇數

=======================分割線=================================

這道問題是數論中比較經典的一個結論：平方數只有奇數個因數，反之有奇數因數的數都是平方數。證明也比較直觀，t(a) = (a1 + 1)(a2 + 1) .... 的結論這樣也就比較好記了。

推薦閱讀：