Matrix and Transform Conversion 2/3

05-28

來自專欄 Graphics & Homo Ludens

目前市面上存在大大小小的引擎也不少，一般來說引擎所使用的模型動畫資源大抵是可以互相通用，主要的原因在於工業流程的統一（Max，Maya或兩者導出的FBX）。但這並非一定，比如引擎A有一些資源，現在需要扔給引擎B，直接用可能會有問題，因為兩者的坐標定義也許並非相同。所以如何將引擎之間的資源格式統一是本文所要解決的問題。資源格式的統一很大程度上取決於Transform的統一（可以類比Unity，每創建一個空的GameObject，可以看到都會有一個默認的Transform組件）。

前文鏈接

楊智為：Matrix and Transform Conversion 1/3?

zhuanlan.zhihu.com

註：文中所涉及的定義概念名稱僅個人方便理解所制定，理解其背後的含義即可。另，本文均以行矩陣向量左乘為例。

基本原理

Transform是什麼，簡單來說可理解為子空間在父空間的表達，從數據結構來說就是包含縮放，平移和旋轉的矩陣。如下圖，子空間 $a$ 在父空間 $ap$ 的映射關係就是一個Transform（紅色箭頭標記）。

不同坐標定義下的四個坐標系

圖中顯示了四個坐標系：

左邊坐標定義 $alpha$ 下有兩個空間，子空間 $a$ 和父空間 $ap$
右邊坐標定義 $eta$ 下有兩個空間，子空間 $b$ 和父空間 $bp$

假設空間 $a$ 在空間 $ap$ 的映射關係，與空間 $b$ 在空間 $bp$ 的映射關係是等價的，也就是同一Transform在不同坐標定義下的表達。下面我們嘗試推導一下四個坐標系之間的關係：

已知空間 $a$ 存在向量 $v_a$ ，那麼可以通過空間 $a$ 在空間 $ap$ 的映射關係得

$v_{ap}=v_a cdot T_{a2ap}$

其中 $v_{ap}$ 表示向量 $v_a$ 在空間 $ap$ 中的表達。同樣，可通過坐標定義變換（後文詳述）得

$v_b = v_a cdot M_{a2b}$

其中 $M_{a2b}$ 表示坐標定義變換，並不同於Transform。進一步，可通過空間 $b$ 在空間 $bp$ 的映射關係得

$v_{bp}=v_{a} cdot M_{a2b} cdot T_{b2bp}$

或者

$v_{bp}=v_{a} cdot T_{a2ap} cdot M_{ap2bp}$

其中 $M_{ap2bp}$ 和 $M_{a2b}$ 是不同的，但對於一些特定情況是相等的（比如圖中左邊所有坐標係為同一坐標定義，而右邊所有坐標係為同一坐標定義，坐標定義的變換關係一定是唯一的，這這種情況也比較常見），我們可以用 $M_c$ 進行替代。

綜合上述所有的公式，我們可以得到Transform在兩種坐標定義下的變換公式：

$T_{b2bp}=M_{b2a} cdot T_{a2ap} cdot M_{ap2bp}={M_c}^{-1} cdot T_{a2ap} cdot M_c$

坐標定義變換的求解

一般情況下 $T_{a2ap}$ 是已知的，而 $T_{b2bp}$ 是我們最終需要求解的目標，所以只要得到 $M_c$ 的值即可。

坐標定義也可看作笛卡爾坐標系，並使用矩陣表達。本文統一用行矩陣為例，第一行為x軸，第二行為y軸，第三行為z軸。比如單位陣就可以看作是由 $x=[1,0,0]$ ， $y=[0,1,0]$ ， $z=[0,0,1]$ 組成的坐標系。通過對矩陣增加語義，可方便地描述各類坐標系。

令為y向上，x向左，z向外的左手坐標系 $left[ egin {matrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 end {matrix} ight]$ ，則

y向上，x向右，z向里（ $x=-x$ ， $y=y$ ， $z=-z$ ）的左手坐標系矩陣為

$left[ egin {matrix} -1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & -1 end {matrix} ight]$

z向下，x向右，y向里（ $x=-x$ ， $y=-z$ ， $z=-y$ ）。的左手坐標系矩陣為

$left[ egin {matrix} -1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & -1 \ 0 & -1 & 0 end {matrix} ight]$

令兩個坐標系分為 $M_a$ 和 $M_b$ ，那麼

$M_{a2b}=M_a cdot {M_b}^{-1}$

其中 $M_{a2b}$ 為坐標系 $a$ 到坐標系 $b$ 的變換關係。

坐標定義的公式已經推導完成，下面開始介紹坐標定義之間的變換求解。舉個具體的例子，下圖左為z向下，x向右，y向里的左手坐標定義 $alpha$ ，下圖右為y向上，x向右，z向里的左手坐標定義 $eta$ 。

前文已給出坐標定義 $alpha =left[ egin {matrix} -1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & -1 \ 0 & -1 & 0 end {matrix} ight]$ ，坐標定義 $eta=left[ egin {matrix} -1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & -1 end {matrix} ight]$ ，根據公式可得

$M_{alpha2eta}=M_alpha cdot {M_eta}^{-1}=left[ egin {matrix} -1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & -1 \ 0 & -1 & 0 end {matrix} ight] imes left[ egin {matrix} -1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & -1 end {matrix} ight]=left[ egin {matrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & -1 & 0 end {matrix} ight]$

熟悉旋轉矩陣的朋友應該已經可以看出來，該矩陣本質是在左手坐標系下繞x軸順時針旋轉90度的矩陣（從+軸方向看），具體如下

$M_{alpha2eta}=left[ egin {matrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & cos(90) = 0 & sin(90) = 1\ 0 & -sin(90) = -1& cos(90) = 0end {matrix} ight] =left[ egin {matrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & -1 & 0 end {matrix} ight]$

對比圖例完全吻合，這裡就完全介紹完了變換矩陣 $M_c$ 的求解。

Transform變換

基本原理已經分析了Transform變換公式，這裡就針對上一節的具體例子（坐標定義 $alpha$ 和坐標定義 $eta$ ）進行分析。

Transform從坐標定義 $alpha$ 向坐標定義 $eta$ 進行變換，最終希望得到變換前後狀態均相同（朝向、姿態等）的結果，如下圖所示。

轉換前和轉換後的transfrom

其中左邊為坐標定義 $alpha$ ，右邊為坐標定義 $eta$ 。紅色標記的部分為Transform，紅色坐標系 $left{ old x, old y,old z ight}$ 為子空間，灰色坐標系 $left{ old X, old Y, old Z ight}$ 為父空間，虛線表示Transform的平移分量。

Transform具體的變換過程如下圖，主要有兩個步驟（用紅色箭頭標出），一是子空間坐標定義從坐標定義 $alpha$ 變換到了坐標定義 $eta$ ，二是父空間坐標定義從坐標定義 $alpha$ 變換到了坐標定義 $eta$ 。

Transform的變換過程

(感謝 @Yang Liuqing 的修改意見，增加備註解釋)

子空間的坐標定義變換：變換對象為子空間的坐標系 $left{ old x, old y,old z ight}$ 。可以理解為Transform左乘坐標定義變換矩陣，具體過程見上圖（左-中）。操作為子空間坐標系繞子空間的x軸逆時針旋轉90度，該操作以父空間作為參考系，灰色坐標系的方向和位置保持不變。
父空間的坐標定義變換：變換想像為空間的坐標系 $left{ old x, old y,old z ight}$ 和平移分量。可以理解為Transform右乘坐標定義變換矩陣，具體結果見上圖（中-右）。操作為父空間坐標系繞父空間的x軸逆時針旋轉90度，該操作以子空間作為參考系，紅色坐標系的方向和位置保持不變。

可以看到，雖然父子空間均是繞各自的x軸逆時針旋轉90度（左手系，正軸方向看）。但這兩個矩陣正好是互逆的（參考上一篇文章《Matrix and Transform Conversion 1/3》，文章的結論是這個），所以前者正好可以表示為 ${M_c}^{-1}$ ，而後者表示為 $M_c$ ，其中 $M_c$ 為在左手坐標系下繞x軸順時針旋轉90度的矩陣，也就是前文求的 $left[ egin {matrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & -1 & 0 end {matrix} ight]$ 。

備註：

父空間變換與子空間變換的參考系是不同的
父空間變換可以父空間自身為參考系，也可以子空間為參考系（互為等價，參考下圖）

解釋父空間的坐標定義變換具體幾何含義

圖片不夠清晰，可翻閱上一篇文章。這裡觀察所有紅框選中的灰色坐標系，可見前兩幅圖中父空間（灰色部分）保持不變，該行為可等效為矩陣乘法

$left( T_{child} cdot M_c ight) cdot T_{parent}$

其中 $M_c$ 影響子空間整體（橙色部分整體）的朝向。第一幅和第三幅中子空間（橙色部分）保持不變，該行為可等效為矩陣乘法

$T_{child} cdot left( M_c cdot T_{parent} ight)$

其中 $M_c$ 影響父空間中局部坐標系（灰色坐標系）的朝向。從公式即可看出，前後兩種變換是互為等價的。

最後可以推導出該例下Transform的轉換公式：

$T_{b2bp}=left[ egin {matrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & -1 \ 0 & 1 & 0 end {matrix} ight] cdot T_{a2ap} cdot left[ egin {matrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & -1 & 0 end {matrix} ight]$

綜上，結論如下：

區分Transform，坐標系，坐標定義，同一引擎下應確定唯一的坐標定義。
區分靜態量（Transform， $4 imes4$ 或 $4 imes3$ ）與動態量（坐標定義變換， $3 imes3$ ）。

先寫到這，還有一篇詳述鏡像的原理。