《周髀算經》與古代域外天學

《周髀算經》里那些驚人的學說——古代中外天文學交流猜測之一《周髀算經》一向被認為是中國古代本土的天文學和數學經典，十多年前，我曾對《周髀算經》下過一番研究功夫，給全書做了詳細注釋和白話譯文，結果書中的許多內容令我大吃一驚——怎麼看它們都像是從西方傳來的。茲先述其中最引人注目的一項。《周髀算經》中假託周公與商高的對話，因此曾被古人視為周代的著作，但現今學者們比較普遍的意見是《周髀算經》成書於公元前100年左右（西漢年間）。至於書中的內容究竟有多古老，則只能推測了。古代中國天學家沒有構造幾何宇宙模型的傳統，他們用代數方法也能相當精確地解決各種天文學問題，宇宙究竟是什麼形狀或結構，他們通常完全不去過問。但是《周髀算經》卻是古代中國在這方面唯一的例外——書中構建了古代中國唯一的一個幾何宇宙模型。這個蓋天幾何模型有明確的結構，也有具體的、絕大部分能夠自洽的數理。不過，《周髀算經》中蓋天宇宙模型以前長期被人誤解為「球冠形」，而據我考證的結果，這個模型的正確形狀如圖所示。蓋天宇宙是一個有限宇宙，其要點和參數如下：一、大地與天為相距80,000里的平行圓形平面。二、天的中心為北極，在北極下方的大地中央有高大柱形物，即上尖下粗高60,000里的「璇璣」，其底面直徑為23,000里，天在北極處也並非平面而是相應隆起。三、該宇宙模型的構造者在圓形大地上為自己的居息之處確定了位置，並且這位置不在中央而是偏南。四、大地中央的柱形延伸至天處為北極。五、日月星辰在天上環繞北極作平面圓周運動。六、太陽在這種圓周運動中有著多重同心軌道（「七衡六間」），並且以半年為周期作規律性的軌道遷移（一年往返一遍）。七、太陽的上述運行模式，可以在相當程度上說明晝夜成因和太陽周年視運動中的一些天象（比如季節的變化）。八、太陽光線向四周照射的極限是167,000里，與太陽運動最遠處的軌道半徑238,000里相加，即得蓋天宇宙的最大尺度半徑405,000里。和希臘化時代托勒密精緻的幾何宇宙模型相比，《周髀算經》中的蓋天宇宙模型當然是相當初級簡陋的。這一點也不奇怪，但令我極為驚訝的是，蓋天宇宙模型的上述八項特徵，竟全都與古代印度的宇宙模型特徵吻合！關於古代印度宇宙模型的記載，主要保存在一些《往世書》（Puranas）中。《往世書》是印度教的聖典，同時又是古代史籍，帶有百科全書性質。它們的確切成書年代難以判定，但其中關於宇宙模式的一套概念，學者們相信可以追溯到吠陀時代——約公元前1000年之前，因而是非常古老的。《往世書》中的宇宙模式可以概述如下：大地象平底的圓盤，在大地中央聳立著巍峨的高山，名為迷盧（Meru，也即漢譯佛經中的「須彌山」，或作Sumeru，譯成「蘇迷盧」）。迷盧山外圍繞著環形陸地，此陸地又為環形大海所圍繞，……如此遞相環繞向外延展，共有七圈大陸和七圈海洋。印度在迷盧山的南方。與大地平行的天上有著一系列天輪，這些天輪的共同軸心就是迷盧山；迷盧山的頂端就是北極星（Dhruva）所在之處，諸天輪攜帶著各種天體繞之旋轉；這些天體包括日、月、恆星、……以及五大行星——依次為水星、金星、火星、木星和土星。利用迷盧山可以解釋黑夜與白晝的交替。攜帶太陽的天輪上有180條軌道，太陽每天遷移一軌，半年後反向重複，以此來描述日出方位角的周年變化。……唐代釋道宣《釋迦方誌》卷上也記述了古代印度的宇宙模型，細節上恰可與上述記載相互補充：「……蘇迷盧山，即經所謂須彌山也，在大海中，據金輪表，半出海上八萬由旬，日月回薄於其腰也。外有金山七重圍之，中各海水，具八功德。」根據這些記載，古代印度宇宙模型，與《周髀算經》中的蓋天宇宙模型豈非驚人地相似，在細節上幾乎處處吻合？一、兩者的天、地都是圓形的平行平面；二、「璇璣」和「迷盧山」同樣扮演了大地中央的「天柱」角色；三、周地和印度都被置於各自宇宙中大地的南部；四、「璇璣」和「迷盧上」的正上方都是各種天體旋轉的樞軸——北極；五、日月星辰都在天上環繞北極作平面圓周運動。六、如果說印度迷盧山外的「七山七海」在數字上使人聯想到《周髀算經》的「七衡六間」的話，那麼印度宇宙中太陽天輪的180條軌道無論從性質還是功能來說都與七衡六間完全一致（太陽在七衡之間的往返也是每天連續移動的）。七、《周髀算經》中天與地的距離是八萬里，而迷盧山也是高出海上「八萬由旬」，其上即諸天輪所在，兩者天地距離恰好同為八萬單位。八、《周髀算經》認為太陽光線向四周照射的極限是167,000里，而佛經《立世阿毘曇論》卷五「日月行品第十九」末尾云：「日光徑度，七億二萬一千二百由旬。周圍二十一億六萬三千六百由旬。」雖具體數值有所不同，但也設定太陽光照半徑是有限的固定數值，也已經是驚人的吻合了。在人類文明發展史上，文化的多元自發生成是完全可能的，因此許多不同文明中有相似之處，也可能是偶然巧合。但是《周髀算經》的蓋天宇宙模型與古代印度宇宙模型之間的相似程度實在太高——從整個格局到許多細節都一一吻合，如果還要用「偶然巧合」去解釋，無論如何是太勉強了。（載《新發現》雜誌2007年第6期）誰告訴了中國人寒暑五帶知識？——古代中外天文學交流猜測之二古代中國人最初有所謂「天圓地方」的觀念，後來被天學家普遍接受的主流宇宙學說則是「渾天說」——類似希臘化時代托勒密的地心體系，但因為其中大地的半徑大到宇宙半徑的一半，始終無法發展出希臘天文學家的球面天文學，中國傳統的天球和地球坐標系統也一直是不完備的。所以，當我在《周髀算經》中發現相當於地球上寒暑五帶的知識時，再次感到非常驚異——因為這類知識是以往兩千年間，中國傳統天文學說中所沒有、而且不相信的。這些知識在《周髀算經》中主要見於卷下第9節中的三條記載：1、極下不生萬物，何以知之? ……北極左右，夏有不釋之冰。2、中衡去周七萬五千五百里。中衡左右，冬有不死之草，夏長之類。此陽彰陰微，故萬物不死，五穀一歲再熟。3、凡北極之左右，物有朝生暮獲，冬生之類。這裡需要先作一些說明：根據上一期本專欄文章中的說明，我們知道《周髀算經》中的宇宙模型是：天、地為平行的圓形平面，在大地中央矗立著高達6萬里的「璇璣」，即大地的北極，向上正對著北天極。圍繞著北極的依次是被稱為「內衡」、「中衡」和「外衡」的同心環形帶——很像從地球北極上方俯視下來時，看到的一圈圈等緯度線。第1條記載強調了北極下方的大地區域是苦寒之地，「不生萬物」、「夏有不釋之冰」。第2條記載中，所謂「中衡左右」，這一區域正好對應於地球寒暑五帶中的熱帶（南緯23°30′至北緯23°30′之間）——儘管《周髀算經》中並無地球的觀念，但對於熱帶地區來說，「冬有不死之草」、「五穀一歲再熟」等景象，確實是真實的。第3條記載中，說北極左右「物有朝生暮獲」。這就必須聯繫到極晝、極夜現象了。據前所述，圓形大地中央的「璇璣」之底面直徑為23,000里，則半徑為11,500里，而《周髀算經》所設定的太陽光芒向其四周照射的極限距離是167,000里；於是，由本文圖中清楚可見，每年從春分至秋分期間，在「璇璣」範圍內將出現極晝——晝夜始終在陽光之下；而從秋分到春分期間則出現極夜——陽光在此期間的任何時刻都照射不到「璇璣」範圍之內。這也就是漢代趙爽在為《周髀算經》所作注釋中所說的「北極之下，從春分至秋分為晝，從秋分至春分為夜」，因為這裡是以半年為晝、半年為夜。《周髀算經》中上述關於寒暑五帶的知識，用今天已經知道的知識來判斷，雖然它們並不是在古代希臘的球面坐標系中被描述的，但其準確性卻沒有疑問。然而這些知識，卻並不是以往兩千年間中國傳統天文學中的組成部分！對於這一現象，可以從幾方面來討論。首先，為《周髀算經》作注的趙爽，竟然表示不相信書中的這些知識。例如對於北極附近「夏有不釋之冰」，趙爽注稱：「冰凍不解，是以推之，夏至之日外衡之下為冬矣，萬物當死——此日遠近為冬夏,非陰陽之氣，爽或疑焉。」又如對於「冬有不死之草」、「陽彰陰微」、「五穀一歲再熟」的熱帶，趙爽表示「此欲以內衡之外、外衡之內，常為夏也。然其修廣，爽未之前聞」——他從未聽說過。從趙爽為《周髀算經》全書所作的注釋來判斷，他毫無疑問是那個時代夠格的天文學家之一，為什麼竟從未聽說過這些寒暑五帶知識? 比較合理的解釋似乎只能是：這些知識不是中國傳統天文學體系中的組成部分，所以對於當時大部分中國天文學家來說，這些知識是新奇的、與舊有知識背景格格不入的，因而也是難以置信的。其次，在古代中國居傳統地位的天文學說——「渾天說」中，由於沒有正確的地球概念，是不可能提出寒暑五帶之類的問題來的。因此直到明朝末年，來華的耶穌會傳教士在他們的中文著作中向中國讀者介紹寒暑五帶知識時，仍被中國人目為未之前聞的新奇學說。正是這些耶穌會傳教士的中文著作，才使中國學者接受了地球寒暑五帶之說。而當清朝初年「西學中源」說甚囂塵上時，梅文鼎等人為寒暑五帶之說尋找中國源頭，找到的正是《周髀算經》。他們認為是《周髀算經》等中國學說在上古時期傳入西方，才教會了希臘人、羅馬人和阿拉伯人掌握天文學知識的——現在我們當然知道這種推斷是荒謬的。現在我們不得不面臨一系列尖銳問題：既然在渾天學說中因沒有正確的地球概念而不可能提出寒暑五帶的問題，那麼《周髀算經》中同樣沒有地球概念，何以卻能記載這些知識?如果說《周髀算經》的作者身處北溫帶之中，只是根據越向北越冷、越往南越熱，就能推衍出北極「夏有不釋之冰」、熱帶「五穀一歲再熟」之類的現象，那渾天家何以偏就不能?再說，趙爽為《周髀算經》作注，他總該是接受蓋天學說之人，何以連他都對這些知識不能相信?這樣看來，有必要考慮這些知識來自異域的可能性。大地為球形、地理經緯度、寒暑五帶等知識，早在古希臘天文學家那裡就已經系統完備，一直沿用至今。五帶之說在亞里士多德著作中已經發端，至「地理學之父」埃拉托色尼（Eratosthenes, 275-195 B.C.）《地理學概論》中已經完備：南緯24°至北緯24°之間為熱帶，兩極處各24°的區域為南、北寒帶，南緯24°至66°和北緯24°至66°之間則為南、北溫帶。從年代上來說，古希臘天文學家確立這些知識早在《周髀算經》成書之前。《周髀算經》的作者有沒有可能直接或間接地從古希臘人那裡獲得了這些知識呢? 這確實是耐人尋味的問題。（載《新發現》雜誌2007年第7期）江曉原：《周髀算經》與古代域外天學根據現代學者認為比較可信的結論，《周髀算經》約成書於公元前100年。自古至今，它一直被毫無疑問地視為最純粹的中國國粹之一。討論《周髀算經》中有無域外天學成分，似乎是一個異想天開的問題。然而，如果我們先將眼界從中國古代天文學擴展到其它古代文明的天文學，再來仔細研讀《周髀算經》原文，就會驚奇地發現，上述問題不僅不是那麼異想天開，而且還有很深刻的科學史和科學哲學意義。1、蓋天宇宙與古印度宇宙之驚人相似根據《周髀算經》原文中的明確交待，以及筆者在文獻[1]和[2]中對幾個關鍵問題的詳細論證，我們已經知道《周髀算經》中的蓋天宇宙有如下特徵∶一、大地與天為相距80,000里的平行圓形平面。二、大地中央有高大柱形物（高60,000里的「璇璣」，其底面直徑為23,000里）。三、該宇宙模型的構造者在圓形大地上為自己的居息之處確定了位置，並且這位置不在中央而是偏南。四、大地中央的柱形延伸至天處為北極。五、日月星辰在天上環繞北極作平面圓周運動。六、太陽在這種圓周運動中有著多重同心軌道，並且以半年為周期作規律性的軌道遷移(一年往返一遍)。七、太陽的上述運行模式可以在相當程度上說明晝夜成因和太陽周年視運動中的一些天象。令人極為驚訝的是，筆者發現上述七項特徵竟與古代印度的宇宙模型全都吻合！這樣的現象恐非偶然，值得加以注意和研究。下面先報道筆者初步比較的結果，更深入的研究或當俟諸異日。關於古代印度宇宙模型的記載，主要保存在一些《往世書》（Puranas）中。《往世書》是印度教的聖典，同時又是古代史籍，帶有百科全書性質。它們的確切成書年代難以判定，但其中關於宇宙模式的一套概念，學者們相信可以追溯到吠陀時代----約公元前1000年之前，因而是非常古老的。《往世書》中的宇宙模式可以概述如下∶[3]大地象平底的圓盤，在大地中央聳立著巍峨的高山，名為迷盧(Meru，也即漢譯佛經中的「須彌山」，或作Sumeru，譯成「蘇迷盧」)。迷盧山外圍繞著環形陸地，此陸地又為環形大海所圍繞，……如此遞相環繞向外延展，共有七圈大陸和七圈海洋。印度在迷盧山的南方。與大地平行的天上有著一系列天輪，這些天輪的共同軸心就是迷盧山；迷盧山的頂端就是北極星(Dhruva)所在之處，諸天輪攜帶著各種天體繞之旋轉；這些天體包括日、月、恆星、……以及五大行星----依次為水星、金星、火星、木星和土星。利用迷盧山可以解釋黑夜與白晝的交替。攜帶太陽的天輪上有180條軌道，太陽每天遷移一軌，半年後反向重複，以此來描述日出方位角的周年變化。……又唐代釋道宣《釋迦方誌》卷上也記述了古代印度的宇宙模型，細節上恰可與上述記載相互補充∶……蘇迷盧山，即經所謂須彌山也，在大海中，據金輪表，半出海上八萬由旬，日月回薄於其腰也。外有金山七重圍之，中各海水，具八功德。根據這些記載，古代印度宇宙模型與《周髀算經》蓋天宇宙模型卻是有驚人的相似之處，在細節上幾乎處處吻合∶一、兩者的天、地都是圓形的平行平面；二、「璇璣」和「迷盧山」同樣扮演了大地中央的「天柱」角色；三、周地和印度都被置於各自宇宙中大地的南半部分；四、「璇璣」和「迷盧上」的正上方都是各種天體旋轉的樞軸----北極；五、日月星辰在天上環繞北極作平面圓周運動。六、如果說印度迷盧山外的「七山七海」在數字上使人聯想到《周髀算經》的「七衡六間」的話，那麼印度宇宙中太陽天輪的180條軌道無論從性質還是功能來說都與七衡六間完全一致(太陽在七衡之間的往返也是每天連續移動的)。七、特別值得指出，《周髀算經》中天與地的距離是八萬里，而迷盧山也是高出海上「八萬由旬」，其上即諸天輪所在，是其天地距離恰好同為八萬單位，難道純屬偶然?在人類文明發展史上，文化的多元自發生成是完全可能的，因此許多不同文明中相似之處，也可能是偶然巧合。但是《周髀算經》的蓋天宇宙模型與古代印度宇宙模型之間的相似程度實在太高----從整個格局到許多細節都一一吻合，如果仍用「偶然巧合」去解釋，無論如何總顯得過於勉強。當然，如果我們就此立刻進入關於「誰源於誰」的考據之中，那又將遠遠超出本文的範圍。2、寒暑五帶的知識來自何處?《周髀算經》中有相當於現代人熟知的關於地球上寒暑五帶的知識。這是一個非常令人驚異的現象----因為這類知識是以往兩千年間，中國傳統天文學說中所沒有、而且不相信的。這些知識在《周髀算經》中主要見於卷下第9節∶[4]極下不生萬物，何以知之?……北極左右，夏有不釋之冰。中衡去周七萬五千五百里。中衡左右，冬有不死之草，夏長之類。此陽彰陰微，故萬物不死，五穀一歲再熟。凡北極之左右，物有朝生暮獲，冬生之類。這裡需要先作一些說明：上引第二則中，所謂「中衡左右」即趙爽注文中所認為的「內衡之外，外衡之內」；再由本文圖1[5]就明確可知，這一區域正好對應於地球寒暑五帶中的熱帶(南緯23°30′至北緯23°30′之間)----儘管《周髀算經》中並無地球的觀念。上引第三則中，說北極左右「物有朝生暮獲」，這就必須聯繫到《周髀算經》蓋天宇宙模型對於極晝、極夜現象的演繹和描述能力。據前所述，圓形大地中央的「璇璣」之底面直徑為23,000里，則半徑為11,500里，而《周髀算經》所設定的太陽光芒向其四周照射的極限距離是167,000里；[6]於是，由本文圖1清楚可見，每年從春分至秋分期間，在「璇璣」範圍內將出現極晝----晝夜始終在陽光之下；而從秋分到春分期間則出現極夜----陽光在此期間的任何時刻都照射不到「璇璣」範圍之內。這也就是趙爽注文中所說的「北極之下，從春分至秋分為晝，從秋分至春分為夜」，因為是以半年為晝、半年為夜。《周髀算經》中上述關於寒暑五帶的知識，其準確性是沒有疑問的。然而這些知識卻並不是以往兩千年間中國傳統天文學中的組成部分。對於這一現象，可以從幾方面來加以討論。首先，為《周髀算經》作注的趙爽，竟然就表示不相信書中的這些知識。例如對於北極附近「夏有不釋之冰」，趙爽注稱∶「冰凍不解，是以推之，夏至之日外衡之下為冬矣，萬物當死----此日遠近為冬夏,非陰陽之氣，爽或疑焉。」又如對於「冬有不死之草」、「陽彰陰微」、「五穀一歲再熟」的熱帶，趙爽表示「此欲以內衡之外、外衡之內，常為夏也。然其修廣，爽未之前聞」----他從未聽說過。我們從趙爽為《周髀算經》全書所作的注釋來判斷，他毫無疑問是那個時代夠格的天文學家之一，為什麼竟從未聽說過這些寒暑五帶知識?比較合理的解釋似乎只能是∶這些知識不是中國傳統天文學體系中的組成部分，所以對於當時大部分中國天文學家來說，這些知識是新奇的、與舊有知識背景格格不入的，因而也是難以置信的。其次，在古代中國居傳統地位的天文學說----渾天說中，由於沒有正確的地球概念，是不可能提出寒暑五帶之類的問題來的。[7]因此直到明朝末年，來華的耶穌會傳教士在他們的中文著作中向中國讀者介紹寒暑五帶知識時，仍被中國人目為未之前聞的新奇學說。[8]正式這些耶穌會傳教士的中文著作才使中國學者接受了地球寒暑五帶之說。而當清朝初年「西學中源」說甚囂塵上時，梅文鼎等人為寒暑五帶之說尋找中國源頭，找到的正是《周髀算經》----他們認為是《周髀算經》等中國學說在上古時期傳入西方，才教會了希臘人、羅馬人和阿拉伯人掌握天文學知識的。[9]現在我們面臨一系列尖銳的問題∶既然在渾天學說中因沒有地球概念而不可能提出寒暑五帶的問題，那麼《周髀算經》中同樣沒有地球概念，何以卻能記載這些知識?如果說《周髀算經》的作者身處北溫帶之中，只是根據越向北越冷、越往南越熱，就能推衍出北極「夏有不釋之冰」、熱帶「五穀一歲再熟」之類的現象，那渾天家何以偏就不能?再說趙爽為《周髀算經》作注，他總該是接受蓋天學說之人，何以連他都對這些知識不能相信?這樣看來，有必要考慮這些知識來自異域的可能性。大地為球形、地理經緯度、寒暑五帶等知識，早在古希臘天文學家那裡就已經系統完備，一直沿用至今。五帶之說在亞里士多德著作中已經發端，至「地理學之父」埃拉托色尼（Eratosthenes,275-195B.C.）的《地理學概論》中，已有完整的五帶∶南緯24°至北緯24°之間為熱帶，兩極處各24°的區域為南、北寒帶，南緯24°至66°和北緯24°至66°之間則為南、北溫帶。從年代上來說，古希臘天文學家確立這些知識早在《周髀算經》成書之前。《周髀算經》的作者有沒有可能直接或間接地從古希臘人那裡獲得了這些知識呢?這確實是耐人尋味的問題。3、坐標系問題以渾天學說為基礎的傳統中國天文學體系，完全屬於赤道坐標系統。在此系統中，首先要確定觀測地點所見的「北極出地」度數----即現代所說的當地地理緯度，由此建立起赤道坐標系。天球上的坐標系由二十八宿構成，其中入宿度相當於現代的赤經差，去極度相當於現代赤緯的餘角，兩者在性質和功能上都與現代的赤經、赤緯等價。與此赤道坐標系統相適應，古代中國的測角儀器----以渾儀為代表----也全是赤道式的。中國傳統天文學的赤道特徵，還引起近代西方學者的特別注意，因為從古代巴比倫和希臘以下，西方天文學在兩千餘年間一直是黃道系統，直到十六世紀晚期，才在歐洲出現重要的赤道式天文儀器（這還被認為是丹麥天文學家Tycho的一大發明）。因而在現代中外學者的研究中，傳統中國天文學的赤道特徵已是公認之事。然而，在《周髀算經》全書中，卻完全看不到赤道系統的特徵。首先，在《周髀算經》中，二十八宿被明確認為是沿著黃道排列的。這在《周髀算經》原文以及趙爽注文中都說得非常明白。《周髀算經》卷上第4節雲∶月之道常緣宿，日道亦與宿正。此處趙爽注云∶內衡之南，外衡之北，圓而成規，以為黃道，二十八宿列焉。月之行也，一出一入，或表混里，五月二十三分月之二十而一道一交，謂之合朔交會及月蝕相去之數，故曰「緣宿」也。日行黃道，以宿為正，故曰「宿正」。根據上下文來分析，可知上述引文中的「黃道」，確實與現代天文學中的黃道完全相當----黃道本來就是根據太陽周年視運動的軌道定義的。而且，趙爽在《周髀算經》第6節「七衡圖」下的注文中，又一次明確地說　　　黃圖畫者，黃道也，二十八宿列焉，日月星辰躔焉。日月所躔，當然是黃道(嚴格地說，月球的軌道白道與黃道之間有5°左右的小傾角，但古人論述時常省略此點)。其次，在《周髀算經》中，測定二十八宿距星坐標的方案又是在地平坐標系中實施的。這個方案詳載於《周髀算經》卷下第10節中。由於地平坐標系的基準面是觀測者當地的地平面，因此坐標系中的坐標值將會隨著地理緯度的變化而變化，地平坐標系的這一性質使得它不能應用於記錄天體位置的星表。但是《周髀算經》中試圖測定的二十八宿各宿距星之間的距度，正是一份記錄天體位置的星表，故從現代天文學常識來看，《周髀算經》中上述測定方案是失敗的。另外值得注意的一點是，《周髀算經》中提供的唯一一個二十八宿距度數值----牽牛距星的距度為8°，據研究卻是襲自赤道坐標系的數值(按照《周髀算經》的地平方案此值應為6°)。[10]《周髀算經》在天球坐標問題上確實有很大的破綻∶它既明確認為二十八宿是沿黃道排列的，卻又試圖在地平坐標系中測量其距度，而作為例子給出的唯一數值竟又是來自赤道系統。這一現象值得深思，在它背後可能隱藏著某些重要線索。4、結語反覆研讀《周髀算經》全書，給人以這樣一種印象∶即它的作者除了具有中國傳統天文學知識之外，他還從別處獲得了一些新的方法----最重要的就是筆者在文獻[1]中著重討論的公理化方法(《周髀算經》是中國古代唯一一次對公理化方法的認真實踐)；以及一些新的知識----比如印度式的宇宙結構、希臘式的寒暑五帶知識之類。這些尚不知得自何處的新方法和新知識與中國傳統天文學說不屬於同一體系，然而作者顯然又極為珍視它們，因此他竭力揉合二者，試圖創造出一種中西合璧的新的天文學說。作者的這種努力在相當程度上可以說是成功的。《周髀算經》確實自成體系、自具特色，儘管也不可避免地有一些破綻。那麼，《周髀算經》的作者究竟是誰?他在構思、撰寫《周髀算經》時有過何種特殊的際遇?《周髀算經》中這些異域天文學成分究竟來自何處?……所有這些問題現在都還沒有答案、但是筆者強烈認為，《周髀算經》背後極可能隱藏著一個古代中西方文化交流的大謎。（《自然科學史研究》 1997年16卷3期）《周髀算經》蓋天宇宙結構考摘要：長期以來，《周髀算經》蓋天宇宙模型中的天地形狀一直被認為是雙重球冠，並將這一點視為《周髀算經》「自相矛盾」之處。本文通過對《周髀算經》全書的系統分析，從演繹體系、數理結構、語詞辨析等多方面論證了「雙重球冠說」之誤。再進而給出了《周髀算經》蓋天宇宙模型的正確結構和形狀——新給出的結構和形狀在全書中非常自洽。一、問題的提出：《周髀算經》是否「自相矛盾」？在《周髀算經》所述蓋天宇宙模型中，天與地的形狀如何，現代學者們有著普遍一致的看法，這裡舉出敘述最為簡潔易懂的一種作為代表：《周髀》又認為，「天象蓋笠，地法覆盤」，天和地是兩個相互平行的穹形曲面。天北極比冬至日道所在的天高60,000里，冬至日道又比天北極下的地面高20,000里。同樣，極下地面也比冬至日道下的地面高60,000里。[1]然而，同樣普遍一致地,這種看法的論述者總是在同時指出：上述天地形狀與《周髀算經》中有關計算所暗含的假設相互矛盾。仍舉出一例為代表：天高於地八萬里,在《周髀》卷上之二,陳子已經說過，他假定地面是平的；這和極下地面高於四旁地面六萬里,顯然是矛盾的。……它不以地是平的, 而說地如覆盤。[2]其實這種認為《周髀算經》在天地形狀問題上自相矛盾的說法，早在唐代李淳風為《周髀算經》所作注文中就已發其端。李淳風認為《周髀算經》在這一問題上「語術相違,是為大失」。[3]但是，所有持上述說法的論著, 事實上都在無意之中犯了一系列未曾覺察的錯誤。從問題的表層來看, 這似乎只是誤解了《周髀算經》的原文語句,以及過於輕信前賢成說而遞相因襲，未加深究而已。然而再往深一層看,何以會誤解原文語句? 原因在於對《周髀算經》體系中兩個要點的意義缺乏認識——這兩個要點是: 「日影千里差一寸」和「北極璇璣」。前一個要點筆者已有另文專門討論，[4] 下文僅略述其大要，重點則在討論第二個要點，再分析對原文語句的誤解問題。二、「日影千里差一寸」及其意義《周髀算經》中的蓋天學說是一個公理化體系，其中的宇宙模型有明確的幾何結構，由這一結構進行推理演繹時又有具體的、絕大部分能夠自洽的數理。「日影千里差一寸」正是在一個不證自明的前提、亦即公理——「天地為平行平面」——之下推論出來的定理。這個定理且能推廣其應用，即所謂「勾之損益寸千里」。然而，認定《周髀算經》是「自相矛盾」的論者，總是勇於指出「天地為平行平面」這一前提之謬誤，卻不去注意這條公理在《周髀算經》體系中的地位。「天地為平行平面」固然不符合今天的常識，卻未必不符合古人的常識。更重要的是，在「天地為平行平面」與「日影千里差一寸」這對公理-定理之間，有嚴密的數學推理所支持，並無任何矛盾 (俱詳見[4])。三、「北極璇璣」究竟是何物?解決《周髀算經》中蓋天宇宙模型天地形狀問題的另一關鍵就是所謂「北極璇璣」。此「北極璇璣」究竟是何物，現有的各種論著中對此莫衷一是。錢寶琮贊同顧觀光之說，認為「北極璇璣也不是一顆實際的星」，而是「假想的星」。[5] 陳遵媯則明確表示：「北極璇璣」是指當時觀測的北極星；……《周髀》所謂「北極璇璣」，即指北極中的大星，從歷史上的考據和天文學方面的推算，大星應該是帝星即小熊座β星。[6]但是，《周髀算經》談到「北極璇璣」或「璇璣」至少有三處，而上述論述都只是針對其中一處所作出的。對於其餘幾處，論著者們通常都完全避而不談----實在是不得不如此，因為在「蓋天宇宙模型中天地形狀為雙重球冠形」的先入之見的框架中，對於《周髀算經》中其餘幾處涉及「北極璇璣」的論述，根本不可能作出解釋。如果又將思路局限在「北極璇璣」是不是實際的星這樣的方向上，那就更加無從措手了。《周髀算經》中直接明確談到「璇璣」的共三處，依次見於原書卷下之第8、9、12節，[7] 先依照順序錄出如下：欲知北極樞、璇璣四極，常以夏至夜半時北極南遊所極，冬至夜半時北游所極，冬至日加酉之時西遊所極，日加卯之時東遊所極，此北極璇璣四游。正北極璇璣之中，正北天之中，正極之所游……(以下為具體觀測方案)。璇璣徑二萬三千里，周六萬九千里（《周髀算經》全書皆取圓周率=3）。此陽絕陰彰，故不生萬物。牽牛去北極……。術曰∶置外衡去北極樞二十三萬八千里，除璇璣萬一千五百里，……。東井去北極……。術曰∶置內衡去北極樞十一萬九千里，加璇璣萬一千五百里，……。從上列第一條論述可以清楚地看到，「北極」、「北極樞」和「璇璣」是三個有明確區分的概念：那個「四游」而划出圓圈的天體，陳遵媯認為就是當時的北極星，這是對的，但必須注意，《周髀算經》原文中分明將這一天體稱為「北極」，而不是如上引陳遵媯論述中所說的「北極璇璣」。「璇璣」則是天地之間的一個柱狀空間，這個圓柱的截面就是「北極」——當時的北極星（究竟是今天的哪一顆星還有爭議）——作拱極運動在天上所划出的圓。至於「北極樞」，則顯然就是北極星所劃圓的圓心——它才能真正對應於天文學意義上的北極。在上面所作分析的基礎上，我們就完全不必再迴避上面所引《周髀算經》第9、第12節中的論述了。由這兩處論述可知，「璇璣」並非假想的空間，而是被認為實際存在於大地之上——處在天上北極的正下方，它的截面直徑為23,000里，這個數值對應於《周髀算經》第8節中所述在周地地面測得的北極東、西遊所極相差2尺3寸，仍是由「勾之損益寸千里」推導而得。北極之下大地上的這個直徑為23,000里的特殊區域在《周髀算經》中又被稱為「極下」，這是「璇璣」的同義語。如果僅僅到此為止，我們對「璇璣」的了解仍是不完備的。所幸《周髀算經》還有幾處對這一問題的論述，可以幫助我們解破疑團。這些論述見於原書卷下第7、第9節：極下者，其地高人所居六萬里，滂沲四頹而下。極下不生萬物，何以知之? ……於是又可知：「璇璣」又指一個實體，它高達60,000里，上端是尖的，以弧線向下逐漸增粗，至地面時，其底的直徑為23,000里（參見本文圖）；而在此69,000里圓周範圍內，如前所述是「陽絕陰彰，故不生萬物」。這裡必須特別討論一下「滂沲四頹而下」這句話。所有主張《周髀算經》宇宙模型中天地形狀為雙重球冠形的論著，幾乎都援引「滂沲四頹而下」一語作為證據，卻從未注意到「極下者，其地高人所居六萬里」這句話早已完全排除了天地為雙重球冠形的任何可能性。其實只要稍作分析就可發現，按照天地形狀為雙重球冠形的理解，大地的中央（北極之下）比這一球冠的邊緣——亦即整個大地的邊界——高六萬里；但這樣一來，「極下者，其地高人所居六萬里」這句話就絕對無法成立了，因為在球冠形模式中，大地上比極下低六萬里的面積實際上為零——只有球冠邊緣這一線圓周是如此，而「人所居」的任何有效面積所在都不可能低於極下六萬里。比如，周地作為《周髀算經》作者心目中最典型的「人所居」之處，按照雙重球冠模式就絕對不可能低於極下六萬里。此外，如果接受雙重球冠模式，則極下之地就會與整個大地合為一體，沒有任何實際的邊界可以將兩者區分，這也是明顯違背《周髀算經》原意的----如前所述，極下之地本是一個直徑23,000里、其中「陽絕陰彰，不生萬物」、陰寒死寂的特殊圓形區域。四、《周髀算經》蓋天宇宙模型的正確形狀根據前面幾節的討論，我們已經知道《周髀算經》所述蓋天宇宙模型的基本結構是：天與地為平行平面，在北極下方的大地中央矗立著高60,000里、底面直徑為23,000里的上尖下粗的「璇璣」。剩下需要補充的細節還有三點：一是天在北極處的形狀。大地在北極下方有矗立的「璇璣」，天在北極處也並非平面，《周髀算經》在卷下第7節對此敘述得非常明確∶極下者，其地高人所居六萬里，滂沲四頹而下。天之中央，亦高四旁六萬里。也就是說，天在北極處也有柱形向上聳立----其形狀與地上的「璇璣」一樣。這一結構已明確表示於本文圖1。該圖為《周髀算經》蓋天宇宙模型的側視剖面圖，由於以北極為中心，圖形是軸對稱的，故只需繪出其一半；圖中左端即「璇璣」的側視半剖面。二是天、地兩平面之間的距離。在天地為平行平面的基本假設之下，這一距離很容易利用表影測量和勾股定理推算而得（推算之法及其有關討論詳見[4]）。即《周髀算經》卷上第3節所說的「從髀至日下六萬里而髀無影，從此以上至日則八萬里」。日在天上，天地又為平行平面，故日與「日下」之地的距離也就是天與地的距離。而如果將蓋天宇宙模型的天地理解成雙重球冠形曲面，這些推算都無法成立。李淳風以下，就是因此而誤斥《周髀算經》為「自相矛盾」。其實，《周髀算經》關於天地為平行平面以及天地距離還有一處明確論述，見卷下第7節：天離地八萬里，冬至只日雖在外衡，常出極下地上二萬里。「極下地」即「璇璣」的頂部，它高出地面六萬里，故上距天為二萬里。《周髀算經》宇宙結構示意圖（因為是軸對稱的，只需畫出半個）

三是蓋天宇宙的總尺度。蓋天宇宙是一個有限宇宙，天與地為兩個平行的平面大圓形，此兩大圓平面的直徑皆為810,000里——此值是《周髀算經》依據另一條公理「日照四旁各十六萬七千里」推論而得出 (參見[4])，有關論述見於卷上第4、第6節∶冬至晝，夏至夜，差數所及，日光所逮觀之，四極徑八十一萬里，周二百四十三萬里。日冬至所照過北衡十六萬七千里，為徑八十一萬里，周二百四十三萬里。北衡亦即外衡，這是蓋天宇宙模型中太陽運行到距其軌道中心——北極——最遠之處，此處的日軌半徑為238,000里，太陽在此處又可將其光芒向四周射出167,000里，兩值相加得宇宙半徑為405,000里，故宇宙直徑為810,000里。上圖中各參數之意義及其數值，依據《周髀算經》原文所載，開列如下∶J   北極(天中)Z   周地(洛邑)所在X   夏至日所在(日中之時)F   春、秋分日所在(日中之時)D   冬至日所在(日中之時)r   極下璇璣半徑 = 11,500里Rx  夏至日道半徑 = 119,000里Rf  春、秋分日道半徑 = 178,500里Rd  冬至日道半徑 = 238,000里L   周地距極遠近 = 103,000里H   天地距離 = 80,000里h   極下璇璣之高 = 60,000里綜上所述，《周髀算經》中蓋天宇宙幾何模型的正確形狀結構如圖1所示。這一模型既然處處與《周髀算經》原文文意吻合，在《周髀算經》的數理結構中也完全自洽可通，為何前賢卻一直將天地形狀誤認為雙重球冠形曲面呢? 這就必須仔細辨析「天象蓋笠，地法覆盤」八個字了。五、對「天象蓋笠，地法覆盤」的明顯誤解《周髀算經》卷下第7節有「天象蓋笠，地法覆盤」一語，這八個字是雙重球冠說最主要的依據，不可不詳加辨析。這八個字本來只是一種文學性的比擬和描述，正如趙爽在此八字的注文中所闡述的：見乃謂之象，形乃謂之法。在上故准蓋，在下故擬盤。象法義同，蓋盤形等。互文異器，以別尊卑；仰象俯法，名號殊矣。這裡趙爽強調，蓋、盤只是比擬。這樣一句文學性的比喻之辭，至多也只能是表示宇宙的大致形狀，其重要性與可信程度根本無法和《周髀算經》的整個體系以及其中的數理結構——我們的討論已經表明，「天地為平行平面」是上述體系結構中必不可少的前提——相提並論。再退一步說，即使要依據這八個字去判斷《周髀算經》中蓋天宇宙模型的形狀，也無論如何推論不出「雙重球冠」的形狀——恰恰相反，仍然只能得出「天地為平行平面」的結論。試逐字分析如次：蓋，車蓋、傘蓋之屬也。其實物形象，今天仍可從傳世的古代繪畫、畫像磚等處看到，它們幾乎無一例外都是圓形平面的，四周有一圈下垂之物，中央有一突起（連接曲柄之處），正與本文圖所示天地形狀極為吻合。而球冠形的蓋，至少筆者從未見到過。笠，斗笠之屬，今日仍可在許多地方。通常也呈圓形平面，中心有圓錐形凸起，亦與本文圖所示天地形狀吻合。而球冠形的斗笠，不知何處有之?覆盤，倒扣著的盤子。盤子是古今常用的器皿，自然也只能是平底的，試問誰見過球冠形的盤子——那樣的話它還能放得穩嗎?綜上所述，用「天象蓋笠，地法覆盤」八字去論證雙重球冠之說，實在不知道是何所據而云然。而前賢遞相祖述，俱不深察，甚可怪也。究其原因，或許是因為首創此說者權威之大，後人崇敬之餘，難以想像智者之千慮一失。

《周髀算經》：中國古代唯一的公理化嘗試一、引言根據現代學者認為比較可信的結論，《周髀算經》約成書於公元前100年。自古至今，它一直毫無疑問地被視為最純粹的中國國粹。而今視《周髀算經》為西方式的公理化體系，似乎有一點異想天開。然而，如果我們能夠先捐棄成見，並將眼界從中國擴展到其它古代文明，再來仔細研讀《周髀算經》原文，就會驚奇地發現，上述問題不僅不是那麼異想天開，而且還有很深刻的科學史和科學哲學意義。西方科學史上的公理化方法，用之於天文學上時，主要表現為構建宇宙的幾何模型。從Eudoxus, Callippus, Aristotle, 到Hipparchus, 構建了一系列這樣的模型，至Ptolemy而集前人之大成——Almagest（《至大論》）中的幾何模型成為公理化方法在天文學方面的典範。直至近代，Copernicus, Tycho, Kepler等人的工作也仍是幾何模型。古代中國的傳統天文學幾乎不使用任何幾何方法。「渾天說」雖有一個大致的「渾天」圖象，不失為一種初步的宇宙學說，但其中既無明確的結構（甚至連其中的大地是何形狀這樣的基本問題都還令後世爭論不休），更無具體的數理，自然也不是宇宙的幾何模型。事實上古代中國天文學家心目中通常根本沒有幾何模型這種概念，他們用代數方法也能相當精確地解決各種天文學問題，宇宙究竟是什麼形狀或結構，他們完全可以不去過問。然而，《周髀算經》是古代中國在這方面唯一的例外——《周髀算經》構建了古代中國唯一的一個幾何宇宙模型。這個蓋天宇宙的幾何模型有明確的結構，有具體的、絕大部分能夠自洽的數理。《周髀算經》的作者使用了公理化方法，他引入了一些公理，並能在此基礎上從他的幾何模型出發進行有效的演繹推理，去描述各種天象。儘管這些描述與實際天象吻合得並不十分好，然而確實是應用公理化方法的一次認真嘗試。對於古代中國科學史上這樣一個突出的特例，有必要專門探討一番。二、「日影千里差一寸」及其意義在《周髀算經》中，陳子向榮方陳述蓋天學說，劈頭第一段就是討論「日影千里差一寸」這一公式，見卷上第3節：[1]夏至南萬六千里，冬至南十三萬五千里，日中立竿無影。此一者天道之數。周髀長八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也；正晷者，勾也。正南千里，勾一尺五寸；正北千里，勾一尺七寸。這裡一上來就指出了日影千里差一寸。參看圖1：日影，指八尺之表（即「周髀」）正午時刻在陽光下投於地面的影長，即圖1中的 l,八尺之表即 h,當：h = 8尺l = 1尺6寸時，向南16,000里處「日中立竿無影」，即太陽恰位於此處天頂中央，這意味著：L = 16,000里，或H = 80,000里這顯然就有：L/l = 16,000里/1尺6寸 = 1,000里/1寸即日影千里差一寸。接著又明確指出，這一關係式是普適的——從夏至日正午時 l = 1尺6寸之處（即周地），向南移1,000里，日影變為1尺5寸；向北移1,000里，則日影增為1尺7寸。這可以在圖中看得很清楚。「日影千里差一寸」示意圖    

同時，由圖1中的相似三角形，顯然還有：L/l = H/h = 1,000里/1寸在上式中代入 h = 8尺，即可得到：H = 80,000里即《周髀算經》中天與地相距八萬里的結論，見原文卷上第3節：候勾六尺，……從髀至日下六萬里而髀無影。從此以上至日則八萬里。即在圖中令 l = 6尺，L = 60,000里，h = 8尺，就可得出 H = 80,000里。日在天上，故從「髀無影」之地「上至日」80,000里，自然就是天地相距80,000里。上述關係式其實無論l（即勾，也即日影）是否為6尺都能成立，《周髀算經》之所以要「候勾六尺」，是因為它只掌握勾股定理在「勾三股四弦五」時的特例，[2] 故必須湊數據以便套用這一特例——勾6尺即表至日下60,000里，天地相距80,000里，於是從表「邪（即斜）至日」為100,000里，正是3、4、5的倍數。《周髀算經》明確建立日影千里差一寸的關係式之後，接著就拓展這一關係式的應用範圍。卷上第4節云：周髀長八尺，勾之損益寸千里。……今立表高八尺，以望極，其勾一丈三寸，    由此觀之，則從周北十萬三千里而至極下。此處日影不再必要，這隻需將圖1中的 S 點（原為太陽所在位置）想像為北極位置，就可一目了然，現在：h = 8尺l = 1丈3寸L = 103,000里「勾之損益寸千里」的關係式仍可照用不誤。在《周髀算經》下文對各種問題的討論中，這一關係式多次被作為已經得到證明的公式加以使用（必須始終在「正南北」方向上）。討論到這裡，有一點必須特別注意，就是：無論上引第3節還是第4節中所述千里影差一寸的關係式，若要成立，必須有一個暗含的前提——天與地為平行平面。這在圖1中是顯而易見的，如果沒有這一前提，上述各種關係式以及比例、相似三角形等等全都會無從談起。這就是說，《周髀算經》將天地為平行平面這一點視為不證自明的當然前提。要理解這一狀況，對於現代人來說會比古人困難得多。因為現代人已有現代教育灌輸給他的先入之見——大地為球形；所以現代人見到古人這一前提，首先想到的是它的謬誤。但古人卻無此成見，他們根據直觀經驗很容易相信天與地是平行平面。這也正是《周髀算經》中「勾之損益寸千里」之說在古代曾廣泛被接受的原因。古人認為推出這一結論是顯而易見、不容置疑的，這裡不妨舉一些例：欲知天之高，樹表高一丈，正南北相去千里，同日度其陰，北表二尺，南表尺九寸，是南千里陰短寸；南二萬里則無影，則直日下也。[3]日正南千里而（影）減一寸。[4]懸天之景，薄地之儀，皆移千里而差一寸。[5]這些說法都只要看圖即可瞭然。古人後來當然也發現了「勾之損益寸千里」不符合觀測事實，但這已是很晚的事了。[6]　在《周髀算經》成書以及此後相當長的年代裡，古人對於這一關係式看來並不懷疑。一些現代論著也曾經注意到《周髀算經》中「勾之損益寸千里」是以天地為平行平面作為前提的，但作者們首先想到的是這一前提的謬誤（這一前提當然是謬誤的），而他們在指出這「自然都是錯誤的」之後，[7]　也就不再深究，轉而別顧了。指出《周髀算經》中的錯誤，在今天來說確實已經沒有多少意義；然而，如果我們分析討論「勾之損益寸千里」及其前提「天地為平行平面」在《周髀算經》的蓋天學說中究竟有什麼樣的地位和意義，卻是大有意義之事。三、公理與定理在西方歷史上，建立科學學說有所謂「公理化方法」（axiomatic method），意指將所持學說構造成一個「演繹體系」（deductive system）。這種體系的理想境界，按照科學哲學家 J.Losee 的概括，有如下三要點：A. 公理與定理之間有演繹關係；B. 公理本身為不證自明之真理；C. 定理與觀測結果一致。其中，B 是 Aristotle 特彆強調的。而 Euclid 的《幾何原本》被認為是公理化方法確立的標誌。但是在天文學上，由於這一學科的特殊性，應用公理化方法會有所變通：在理論天文學中，那些遵循著「說明現象」傳統的人採取了不同態度。他們擯棄了Aristotle 的要求——為了能說明現象，只要由公理演繹出來的結論與觀測相符即可。這樣，公理本身即使看起來是悖謬的甚至是假的，也無關緊要。[8]也就是說，只需前述三要點中的一、三兩點即可。這個說法確實可以在天文學史上得到證實，Aristotle 的「水晶球」體系、Ptolemy 的地心幾何體系，以及中世紀阿拉伯天文學家種種奇情異想的宇宙幾何模型，都曾被當時的天文學家當作公理（在這裡類似於現代科學家所謂的「工作假說」）來使用而不問其真假。現在再來看《周髀算經》中的蓋天學說，就不難發現，「天地為平行平面」和「勾之損益寸千里」兩者之間，正是公理與定理的關係。仔細體味《周髀算經》全書，「天地為平行平面」這一前提是被作為「不證自明之真理」，或者說，是被作為蓋天學說系統的公理（亦即基本假設）之一的。至於「天地為平行平面」之不符合事實，也應從兩方面去分析。第一，如上所述，從公理化方法的角度來看，即使它不符合事實也不妨礙它作為公理的地位。第二，符合事實與否，也是一個歷史性的概念——我們今天知道這一公理不符合事實，當然不等於《周髀算經》時代的人們也已經如此。剩下的問題是「定理與觀察結果一致」的要求。我們現在當然知道，由公理「天地為平行平面」演繹出來的定理「勾之損益寸千里」與事實是不一致的。演繹方法和過程固然無懈可擊，然而因引入的公理錯了，所以演繹的結果與事實不符。但對此仍應從兩方面去分析。第一，演繹結果與觀測結果一致仍是一個歷史性概念，在古人觀測精度尚很低的情況下，「勾之損益寸千里」無疑在相當程度上能夠與觀測結果符合。第二，也是更重要的，從公理演繹出的定理與客觀事實不符，只說明《周髀算經》所構造的演繹體系在描述事實方面不太成功，卻絲毫不妨礙它在結構上確實是一個演繹體系。四、「日照四旁」與宇宙尺度《周髀算經》作為一個演繹體系，並不止一條公理。它的第二條公理是關於太陽光照以及人目所見的極限範圍，見卷上第4節：日照四旁各十六萬七千里。人所望見，遠近宜如日光所照。這是說，日光向四周照射的極限距離是167,000里，而人極目遠望所能見到的極限距離也是同樣數值。換言之，日光照不到167,000里之外，人也不可能看見167,000l里之外的景物。從結構上看，這條原則也屬於《周髀算經》中的基本假設，亦即公理。因為這條原則並非導出，而是設定的。以往學者們在這個問題上的研究，主要是根據《周髀算經》所交代的有關數學關係式，試圖去說明此167,000里之值因何而取。儘管各種說明方案在細節上互有出入，但主要結論是一致的，即認為這個數值是《周髀算經》作者為構造蓋天宇宙模型而引入的，或者說是湊出來的。然而這裡必須注意，拼湊數據固然難免脫離客觀實際，同時卻也不能不承認這是作者採用公理化方法（或者至少是「准公理化方法」）構造蓋天幾何模型的必要步驟之一。而且還應該注意到，《周髀算經》引入日照四旁167,000里之值後，在「說明現象」方面確實能夠取得相當程度的成功。正如程貞一、席澤宗所指出的：由這光照半徑，陳子模型（按即指《周髀算經》的蓋天宇宙模型）大致上可解釋晝夜現象及晝夜長短隨著太陽軌道遷移的變化。……同時也可以解釋北極之下一年四季所見日光現象。[9]應該看到，在將近兩千年前的中國，構造出這樣一個幾何模型，並且能大致上解釋實際天象，實在已屬難能可貴。[10]《周髀算經》的蓋天宇宙模型是一個有限宇宙：天、地為圓形的平行平面，兩平面間相距80,000里；而此兩平面大圓形的直徑為810,000里。[11]　此810，000里之值在《周髀算經》中屬於導出數值。原書中有兩處相似的推導，一處見卷上第4節：冬至晝，夏至夜，差數所及，日光所逮觀之，四極徑八十一萬里，周二百四十三萬里。另一處見卷上第6節：日冬至所照過北衡十六萬七千里，為徑八十一萬里，周二百四十三萬里。北衡即外衡，這是蓋天模型中冬至日太陽運行到最遠之處，以北極為中心，此處的日軌半徑為238,000里；太陽在此處又可將其光芒向四周射出167,000里，兩值相加，得到宇宙半徑為405,000里，故宇宙直徑為8i0,000里。注意這裡宇宙直徑是在《周髀算經》所設定的「日照四旁」167,000里之上導出的。五、結語《周髀算經》的蓋天學說，作為一個用公理化方法構造出來的幾何宇宙模型，和早於它以及約略與它同時代的古希臘同類模型相比，在「說明現象」方面固然稍遜一籌，然而我們在《周髀算經》全書的論證過程中，確實可以明顯感受到古希臘科學的氣息。從科學思想史的角度來說，公理化方法在兩千前的遙遠東方，畢竟也嘗試了，也實踐了，這是意味深長的。《周髀算經》之後，構造幾何模型的公理化方法就在古代中國絕響了。特別令人疑惑的是，《周髀算經》的幾何宇宙模型究竟是某種外來影響的結果，還是中國本土科學中某種隨機出現的變異？而且，不論是上述哪一種情形，為何它曇花一現之後就歸於絕響？可惜這些令人興奮的問題已經超出了本文的範圍。注釋：[1]　本文所依據的《周髀算經》文本為：江曉原、謝筠：《周髀算經譯註》，遼寧教育出版社（1995）。節號是這一文本中所劃分之節的序號。[2]　《周髀算經》原文共有兩處直接講到勾股定理，一處在全書第1節：「故折矩以為勾廣三，股修四，徑隅五。既方其外，半之一矩。環而共盤，得成三四五。兩矩共長二十五，是為積矩。」另一處在第3節：「候勾六尺，……若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾、股各自乘，並而開方除之，得邪至日——從髀所旁（即前文之『邪』，音、義俱同斜）至日所十萬里。」皆為三、四、五之特例。但也有學者認為《周髀算經》中有普適的勾股定理，理由是原文第4節中有三個數據系用勾股定理算出而又非三、四、五之特例。然而《周髀算經》在給出這三個數據時，並未明確陳述勾股定理。必須注意：《周髀算經》在明確陳述勾股定理時皆為三、四、五之特例；況且，《周髀算經》全書中從未給出勾股定理的任何證明——對勾股定理的普適情形的證明是漢代趙爽在為《周髀算經》所作注文中完成的。[3]　《淮南子·天文訓》。[4]　《尚書緯·考靈曜》。[5]　張衡：《靈憲》。[6]　唐李淳風（A.D.602-670）為《周髀算經》作注，列舉歷史上多次實測記錄，明確否定了「日影千里差一寸」的關係式。他可能是歷史上最早這樣作的人。[7]　錢寶琮：蓋天說源流考，《科學史集刊》創刊號（1958）。這是現代學者系統研究《周髀算經》中蓋天學說的第一篇重要文獻。[8]　 J.Losee: A Historical Introduction to the Philosophy of Science,  oxford  University Press, 1980, P.24-26.[9]　程貞一、席澤宗：陳子模型和早期對於太陽的測量，《中國古代科學史論·續篇》，（日本）京都大學人文科學研究所（1991）。[10]　當然，《周髀算經》設定「日照四旁」167,000里之後，在其宇宙模型中「說明現象」時並非沒有捉襟見肘之處。最明顯的例子之一是春、秋分日的日出方位。在這兩天，太陽應是從正東方升起而在正西方落下；但依據日照167,000里的設定，此兩日的太陽卻是從周地的東北方升起而在西北方落下，這是不符合事實的。不過對於冬至日的日出方位，《周髀算經》仍能正確描述。[11]　關於《周髀算經》中蓋天宇宙模型究竟是何種形狀與結構，現代論著中始終有重大誤解。對此筆者另有專文「《周髀算經》蓋天宇宙結構考」詳細剖析論證。中國古籍中天狼星顏色之記載一、問題及其意義天狼星(Sirius，αCMa)為全天最亮恆星，呈耀眼的白色。它還是目視雙星，其中B星(伴星)又是最早被確認的白矮星。但這一著名恆星卻因古代對其顏色的某些記載而困擾著現行恆星演化理論。在古代西方文獻中，天狼星常被描述為紅色。學者們在古巴比倫楔形文泥版書中、在古希臘、羅馬時代Ptolemy(托勒密)、L.A.Seneca(塞涅卡)、M.T.Cicero(西塞羅)、Q.H.Haccus(賀拉斯)等著名人物的著作中，都曾找到這類描述。1985年W.Sehlosser和W.Bergnmma又舊話重提，宣布他們在一部中世紀早期手稿中發現了圖爾(Tours，在今法國)的主教Gregory寫於公元6世紀的作品，其中提到的一顆紅色星可確認為天狼星，因而斷定天狼星直到公元6世紀末仍呈紅色，此後才變白〔1〕。由此引發對天狼星顏色問題新一輪的爭論和關注。〔2〕按現行恆星演化理論及現今對天狼雙星的了解，其A星正位於主星序上，根本不可能在一二千年的時間尺度上改變顏色。若天狼星果真在公元6世紀前呈紅色，理論上惟一可能的出路是將目光轉向暗弱的天狼B星：該星為白矮星，而恆星在演化為白矮星之前會經歷紅巨星階段，這樣似乎有希望解釋古代西方關於天狼星呈紅色的記載——認為那時B星盛大的紅光掩蓋了A星。然而按現行恆星演化理論，從紅巨星演化為白矮星，即使考慮極端情況，所需時間也必然遠遠大於1500年，故古代西方關於天狼星為紅色的記載始終無法得到圓滿解釋。於是天文學家只能面臨如下選擇：或者對現行恆星演化理論提出懷疑，或者否定天狼星在古代呈紅色的說法。古代西方對天狼星顏色所作描述的真實性並非完全無懈可擊：Seneca、Cicero、Flaccus等人或為哲學家，或為政論家，或為詩人，他們的天文學造詣很難獲得證實；Ptolemy雖為大天文學家，但其說在許多具體環節上仍不無提出疑問的餘地。至於Gregory所記述的紅色星，不少人認為並非天狼星，而是大角(Arcturus，αBoo)〔3〕，該星正是明亮的紅巨星。而另一方面，古代中國的天文學—星占學文獻之豐富、系統以及天象記錄之細緻是眾所周知的。因此，有必要轉而向早期中國古籍中尋求證據。為了保證史料的權威性，本文將考察範圍嚴格限定於古代專業文獻之內，哲學或文藝之類的論著概不涉及。二、中國古籍中記載恆星顏色的一般情況古代並無天體物理學，古人也不會以今人眼光去注意天體顏色。古代中國專業文獻中之所以提到恆星和行星的顏色，幾乎毫無例外都是著眼於這些顏色的星占學意義。首先必須指出，在絕大部分情況下，這些記載對於本文所討論的主題而言沒有任何科學上的意義。它們通常以同一格式出現，姑舉兩例如下：其東有大星日狼。狼角、變色，多盜賊。〔4〕狼星……芒、角、動搖、變色，兵起；光明盛大，兵器貴。……其色黃潤，有喜；色黑，有憂。〔5〕上述引文中「狼星」均指天狼星(古人並不知其為雙星)。顯而易見，天狼星隨時變色，忽黃忽黑(有些這類占辭中也提到紅色)，甚至發生「動搖」，以現代天文學常識言之是根本不可能的。而在古代中國星占學文獻中，卻對許多恆星都有同類說法(只是其兆示之事務有不同而已)。如將這類恆星變色、「動搖」之說解釋為大氣光象給古人造成的幻覺，雖然還很難完全圓通其說，但無論如何，至少可以肯定，欲解決天狼星在古代的顏色問題，求之於這類記載是沒有意義的。〔6〕值得慶幸的是，古代中國星占學體系中還留下了另一類數量很少但卻極為可靠的記載。古人除相信恆星顏色有星占學意義外，對行星也作如是觀，下面是這方面最早、也是最典型的一則論述：五星色白圜，為喪、旱；赤圜，則中不平，為兵；青圜，為憂、水；黑圜，為疾，多死；黃圜則吉。赤角，犯我城；黃角，地之爭；白角，哭泣之聲；青角，有兵、憂；黑角則水。〔7〕行星隨時變換顏色及形狀，同樣是不可能的，這可姑置不論。但必須注意的是，古人既信此為真，則勢必要為顏色制定某種標準——事實上，具體的做法是確定若干顆著名恆星作為不同顏色的標準星。對這一做法有必要進一步加以討論。現今所見這方面的最早記述出自司馬遷筆下。他在談論金星(太白)顏色時，給出五色標準星如下：白比狼，赤比心，黃比參左肩，蒼比參右肩，黑比奎大星。〔8〕上述五顆恆星依次為：天狼、心宿二( Sco)、參宿四( Ori)、參宿五( Ori)、奎宿九( And)。司馬遷對五顆恆星顏色記述的可靠性可由下述事實得到證明：五顆星中，除天狼因本身尚待考察，暫置不論外，對其餘四星顏色的記載都屬可信。心宿二，光譜為M1型，確為紅色；參宿五，B2型，呈青色(即蒼)；參宿四，今為紅色超巨星，但學者們已證明，它在兩千年前呈黃色按現行恆星演化理論是完全可能的。〔9〕最後的奎宿九，Mo型，呈暗紅色，但古人將它定義為黑也有其道理。首先，古代中國五行之說源遠流長，深入各個方面，星分五色，正是五行思想與星占學理論結合的重要表現之一〔10〕，而與五行相配的五色有固定模式，必定是青、紅、黑、白、黃，故其中必須有黑；其次，此五色標準星是觀測時作比照之用的，若真正為「黑」，那就會看不見而無從比照，故必須變通。對於本文所討論的問題而言，還有另一個可以慶幸之處：古人既以五行五色為固定模式，必然會對上述五色之外的中間狀態進行近似或變通，硬歸人五色中去，則他們談論星色時就難免不準確；然而在天狼星顏色問題中，恰好是紅、白之爭，兩者都在上述五色模式中，故可不必擔心近似或變通問題。這也進一步保證了利用古代中國文獻解決天狼星顏色問題時的可靠。三、幾項天狼星顏色記載之分析由上節討論可知，只有古人對五色標準星的顏色記載方屬可信。這類記載在古代中國浩繁的星占學文獻中為數極少，但我們恰可從中考察天狼星的顏色。表1是早期文獻(不考慮公元7世紀之後的史料)中僅見的四項天狼星顏色可信記載的原文、出處、作者和年代一覽。再對這四項記載進行分析與說明如下：第一項，情況比較簡單。司馬遷自述「當太初元年(104B.C)……太史公曰：先人有言，小子何敢讓焉，於是論次其文」〔11〕，這是他開始撰寫《史記》之年，由此將《天官書》之作約略繫於100B.C.(推求精確年份在事實上既辦不到，對本文所論內容也無意義)。第二項，《漢書》為班固(32－92A.D.)撰，但其中《天文志》等部分他生前未能完成，後由其妹班昭及馬續二人續成之。《後漢書》記其事云：兄固著《漢書》，其八表及天文志未及竟而卒，和帝詔昭就東觀藏書閣踵成之。……後又詔融兄續繼昭成之。〔12〕孝明帝使班固敘《漢書》，而馬續述天文志。〔13〕由班昭生卒年(497—1207 A.D.)及漢和帝在位之年(89—105A.D.)，系此項於100A.D.。第三項，《荊州占》原書已佚，但在《開元占經》、《乙巳占》等書中有大量引錄。此書被歸於劉表名下。李淳風在《乙巳占》中開列他自述「是幼小所習誦」之星占學參考書共25種，其第18種即「劉表《荊州占》」〔14〕。劉表(142—208A.D.)自190A.D.任荊州刺史起，長期統治荊州地區，形成割據狀態。《荊州占》出自他本人手筆還是由他召集星占學家編成已不得而知。這樣就只能仍歸於他名下，而系此項於200A.D.。第四項情況也很簡明。《晉書》成於646A.D.,其中《天文志》出於李淳風之手。雖然因古代中國著作向有承襲前人舊說的傳統，表1中四項記載在相當程度上可能是相關的，但並不能據此就認為古代星占學家在此問題上完全沒有自己獨立的見解。《荊州占》將天狼與織女同列為白色標準星，就很值得注意。天狼與織女(織女一，αLyr)確屬同一類型的白色亮星，例如在現代MK光譜分類中，天狼為Aly型，織女為Aoy型，差異很小。這也進一步證實了表1中四項天狼星顏色記載的可靠性。表1  古籍中四項對天狼星顏色之可信記載Table 1： 4 Records Of Sirius』s Colour from Ancient ChineseMaterials(100B.C.～646A.D.)原文出處作者年代1白比狼《史記·天官書》司馬遷100 B.C.2白比狼《漢書·天文志》班固班昭馬續100 A.D.3白比狼星、織女星《荊州占》〔15〕劉表200 A.D.4白比狼星《晉書·天文志中》李淳風646 A.D.四、結論至此已可確知：在古代中國星占學文獻中，大量虛幻的恆星變色、動搖之類的星占設辭不能用來考察恆星當時的實際顏色，而在可信的記載中，則天狼星始終是白色的。不僅沒有紅色之說，而且千百年來一直將天狼星視為白色標準星。這在本文考察的早期文獻中是如此，此後更無改變。因此可以說，現行恆星演化理論將不會在天狼星顏色問題上再受到任何威脅了。最後還可指出，天狼星顏色問題不僅已困擾西方天文學家至少一個多世紀，而且早在上個世紀就已被介紹到中國。清末王韜與偉烈亞力(A．Wylile)合譯《西國天學源流》(1890)，其中談到天狼星顏色：「古人恆言天狼星色紅，今色白，不知何故?」可惜學者們至今尚未能發現《西國天學源流》據以翻譯的原書為何。〔16〕當時這一問題的意義自然還未充分顯現出來。還有些現代西方學者則既對西人古籍中天狼星為紅色之說深信不疑，又不想與現行恆星演化理論發生衝突，遂提出「古代曾有一片宇宙雲掩過天狼星而將星光濾成紅色」之類的假說。〔17〕現既有古代中國文獻關於天狼星始終為白色的確切記載，這類假說應可斷然排除了。此外，司馬遷的年代早於Ptoemy兩百餘年，司馬遷既已將天狼星作為白色標準星，則該星此後再變紅更是絕無可能，故Polemy天狼星為紅色之說之不可信是顯而易見的。中華文明的世界意義天學史上的梁武帝（上）天學史上的梁武帝（下）試論清代「西學中源」說中國文化中的博物學傳統《巴比倫泥版楔形文書天文表》近四千年前的《漢穆拉比法典》《幾何原本》：徐光啟時代的「西學…司南：迄今為止只是一個傳說從《鬼吹燈》看科學與偽科學西方多襄丸和中國武士的隱喻想像唐朝——《唐人小說》導讀（三）…想像唐朝——《唐人小說》導讀（二）…想像唐朝——《唐人小說》導讀（一）…

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