邵雍的「加一倍法」就是嚴格意義的「二進位」姜廣輝 發布時間： 2007-03-22 04:57 光明日報邵雍(公元1011~1077年)，字堯夫，謚康節，是中國北宋時期著名的哲學家，主要哲學著作有《皇極經世書》。他發展《周易》象數學，以「數」作為其哲學思想的邏輯起點，提出一種《周易》先天學。此學有關於伏羲八卦與六十四卦卦序排列的四種圖表，稱為《伏羲四圖》，即《先天圖》。近二十多年來學術界討論的一個非常熱門的話題就是：德國大哲學家、數學家萊布尼茨（GottfriendWilhelmLeibniz,1646-1716）發明「二進位」與邵雍《先天圖》的關係。參加這場討論的有西方包括李約瑟(JosephNeedham,1900-1995)在內的科學史家，以及國內許多著名的科學史與中國哲學史的專家學者。討論的焦點大致有兩個：一是邵雍的《先天圖》卦序是否一種二進位的記數方法？或是一種「無意識的巧合」而符合二進位的記數方法關係？二是萊布尼茨發明二進位是否受了邵雍《先天圖》的啟發？主流的學術觀點認為邵雍的《先天圖》不是二進位記數方法，或至少不是一種自覺運用的二進位的記數方法；萊布尼茨在其發明二進位之前並未看到邵雍的《先天圖》。這一問題之所以存在長期爭論，有人歸結為這樣一種原因，即懂得《周易》的學者不大懂得自然科學，而懂得自然科學的學者又往往不懂《周易》。這確實是一個重要的原因。但這又並不是絕對的，萊布尼茨用二進位的視角去讀《先天圖》，並不需要他很懂《周易》；而《周易》有幾千年的發展歷史，誰又可以說完全弄懂了它？況且，邵雍的《皇極經世書》又是一部很難懂的書。在筆者看來，首先應懂得怎樣去讀邵雍的《先天圖》，從中看它的卦序是不是二進位的記數方法，它如何是或如何不是二進位的記數方法。如果說邵雍當時已經發明、並自覺運用了二進位的記數方法，那萊布尼茨發明二進位時是否受了邵雍《先天圖》啟發的問題就已經不那麼重要了。如果不是這樣，那萊布尼茨發明二進位時即使看到了邵雍的《先天圖》，那又能說明什麼呢？邵雍的《先天圖》四圖的卦序都遵循著一種邏輯法則，當時被稱為「加一倍法」。所謂「加一倍法」即是今天嚴格意義上的「二進位」的記數方法。其中有二圖比較直觀，茲附圖下：
伏羲八卦次序圖
伏羲六十四卦方點陣圖（即圓圖方圖）《萊布尼茨二進位與伏羲八卦圖考》邵雍的《先天圖》無論八卦還是六十四卦，其卦序順讀都是始《乾》終《坤》，我們的絕大多數學者都按順讀的方法來讀它，這當然不容易發現其中的二進位的記數方法。但邵雍已經指出：「夫易之數，由逆而成矣。」（《皇極經世書》卷十三）他告訴我們考察《先天圖》的易數關係的要訣是「逆數」，其中包括卦序的「逆數」和爻序的「逆數」。卦序的「逆數」是從《坤》卦至《乾》卦，如果我們將卦畫中的
設定為「0」，
設定為「1」，那上面的《伏羲八卦次序圖》正好是按二進位記數方法所表示的0－7的自然數表：
《伏羲六十四卦方點陣圖》在六十四卦的圓圖中，又置有一個六十四卦的方圖。無論圓圖和方圖，卦序之中都內在地體現嚴格意義上的二進位的記數方法。其中的方圖更為典型而直觀，讀懂它的要訣就是「逆數」，即由左向右，第一行始坤終否，接第二行始謙終遯，再接第三行始師終訟，以下接第四行、第五行、第六行、第七行，最後接第八行始泰終乾。而這正是按二進位方法所表示的0－63的自然數表：坤
000000－0剝
000001－1比
000010－2觀
000011－3
大壯
111100－60大有
111101－61夬
111110－62乾
111111－63需要指出的是，《先天圖》的二進位數表是以《周易》卦畫為形式的。從易數的觀點看，卦畫所表示的是數，而不是象。其計數方式是通過兩個基本的卦畫符號
和
來進行的。而爻位就是二進位數的位值。先天八卦圖體現的是三位二進位數表（0－7），先天六十四卦圖體現的是六位二進位數表（0－63）。以上所說，是讀懂《先天圖》卦序的要訣：卦序的「逆數」。而要進一步理解先天易數的具體進位方法，還有一個要訣，就是爻序的「逆數」：由低數位向高數位進位，是上爻向五爻進位，五爻向四爻進位，四爻向三爻進位，三爻向二爻進位，二爻向初爻進位。而進位的原則是逢二進一位。現代國內外有學者提出邵雍《太極圖》的易數關係並不是一種自覺運用的二進位的記數方法。我們認為，如果邵雍不是自覺運用「二進位」的記數方法排出這一卦序，我們想不出他還可能用其他方法排出這種卦序，而正巧與「二進位」的數表完全相吻合。因為大家都知道，如果我們對六十四卦任意排列組合，那可以排出的卦序的種類，應是64的階乘：1乘2乘3乘4……乘64,其結果將是一個無比龐大的數字。而邵雍能一卦不差地排列出符合二進位數表的卦序，如果將這說成是一種「無意識的巧合，」此種巧合的機率渺乎其微，幾乎完全不可能，這反過來說明邵雍已經發明並能熟練運用「二進位」的記數方法。問題在於，邵雍雖然已經發明了二進位的方法，但除了能邏輯地處理卦序關係外，還不能將此二進位的記數方法派上其他用場。邵雍的這項發明，已為當時的程顥所理解，並為之命名為「加一倍法」。程顥認為邵雍的「加一倍法」比揚雄的太玄數更高明。當時邵雍聽到程顥的話之後驚撫其背說：「大哥，你恁聰明！」邵雍的「加一倍法」受到後來的朱熹的重視。在朱熹那裡，「加一倍法」又被稱作「加一位法」。而「加一倍法」的要點就在於，加一位，即加一倍。按照邵雍「加一倍法」的原理，每增加一個爻位（實即數位），二進位數表中所包含的自然數的數目便會增加一倍，比如二進位六個數位包含了六十四個自然數（0－63），若增加到七個數位，那自然數的數目也便翻了一番，而包含一百二十八個自然數（0－127）。若增加到八個數位，便包含二百五十六個自然數（0－255）。而若從八個數位增加到十五個數位，那自然數的數目便翻七番，而包含三萬二千七百六十八個自然數（0－32,767）。如此類推，數位越多，包含的自然數的數目也越多。而即使再多數位，其中包含的自然數的數目再多，要用二進位的記數方法寫出它所包含的所有自然數，也並不困難。這也就是說，只用兩個符號便可以以一種明白無誤的邏輯方法（可操作、可驗證的）表示任何自然數。反過來也可以說，一切自然數都可以用兩個符號以邏輯的方法表示出來。邵雍的「加一倍法」意味著中國早在九百多年前的北宋時期，已經發明了二進位的記數方法，這是中國先哲的智慧和光榮，我們作為後人應該記住它，而不應該抹煞它！-----------------------------------*本文得到董光璧教授撥冗審讀指正，在此謹致謝意。(作者單位：湖南大學嶽麓書院)鏈接：自然數系的二進位表達法數是人類在長期實踐活動中逐漸形成的抽象概念，它們主要用來表示事物的多少（這種數是根據一一對應的原理確定的）和事物間的次序（這種數是依靠一種其元素依次排列的標準集合來確定）。我們熟知的自然數就具有這兩方面的功能。抽象的數的概念要通過適當的方式表達，其表現形式在人類文明的不同時期有不小的差異，現在普遍使用印度－阿拉伯數碼1,2,3,……和十進位值制來表達自然數。嚴格地說，全體自然數組成的無窮集合N＝（1,2,3,……）和在其中定義的加法（＋）和乘法（·）運算一起構成自然數系。所謂十進位值制（有時也簡稱為十進位），是在歷史長河中形成的一種自然數系的表達方式，它只需要利用十個不同的數碼（現在通用的是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9。此時我們稱這種表達方式的基為十），按逢十進一的進位法，以及數碼在不同的位置表示不同的值的規定，就能比較方便地表達數的大小、次序並進行運算，而且它適用於所有的自然數。我們知道，在歷史上還出現過其他的表達數的方式，如現在仍在使用的、用於表示時間的六十進位。特別引起人們關注的是自然數系的二進位值制（簡稱二進位）表達方式，因為現代電子計算機就使用二進位。《數學百科全書》（科學出版社，2002,北京。譯自蘇聯的《數學百科全書》）中的相關條目稱，二進位是「基為2的位值記數系統」。也就是說，在這個系統中，只需要利用兩個數碼（現在通用的是0和1），按逢二進一的進位法，以及數碼在不同的位置表示不同的值的規定，就能像十進位一樣，對所有的自然數表示其大小、次序並進行運算；此處定義的一位數的加法為1＋1＝10,一位數的乘法為1·1＝1。用二進位表達的自然數很容易轉換成該數的十進位表達，反之亦然。它們之間的對應，如：0對應於0,1對應於1,2對應於10,3對應於11,4對應於100,5對應於101,6對應於110,7對應於111,8對應於1000,9對應於1001。2007對應於11111010111。袁向東（中國科學院數學與系統科學研究院研究員）《萊布尼茨二進位與伏羲八卦圖考》上海人民出版社2006年8月出版胡陽、李長鐸合著《萊布尼茨二進位與伏羲八卦圖考》，該書第一章考證了萊布尼茨在發明二進位制之前的1687年曾讀過比利時耶穌會教士柏應理(PhilippeCouplet,1623~1693)介紹中國的古代經典包括《周易》的著作，從而了解相關的易圖與卦序。該文指出，柏應理曾著有《中國哲學家孔子》(ConfuciusSinarumphilosophus)一書。這部書於1687年在巴黎出版。在這本書中的「緣起與宗旨」部分，從第38頁至第50頁對伏羲八卦圖做了介紹。特別是在第41頁與43頁之間的插頁，畫出了「伏羲八卦次序圖」和「伏羲八卦方點陣圖」兩張。而在第44頁還有一圖題為「六十四卦圖」。艾田蒲在「萊布尼茨與中國(Ⅲ)」一書中寫道，萊布尼茨於1687年在致馮·黑森－萊茵費爾(L.E.VonHessen-Rheinfeds)的一封信中提到了不久前在巴黎出版的一部有關孔子的著作，並已閱讀。根據這個線索，胡陽、李長鐸從德國「柏林科學院」AKADE-MIE-VERLAG·BERLIN出版的《萊布尼茨》(GOTTFRIEDWILHELMLEIBNIZ)(1970)一書第25頁中查到此信，該信編號為：N.9,題為：「萊布尼茨致函馮·黑森－萊茵費爾」(LEIBNIZANLANDGRAFERNSTVONHESSEN-RHEINFELS)，發信時間為：1687年12月19日9點法蘭克福(Frankfurta.M.,9./19.Dezember1687.)。萊布尼茨在這信中提到「Fohi」一詞，這個詞就是漢語中的「伏羲」，不言而喻，萊布尼茨見過柏應理書中的「伏羲八卦次序圖」、「伏羲八卦方點陣圖」和「六十四卦圖」三張圖。胡陽、李長鐸這篇考證文章所說的「六十四卦圖」，屬於後天六十四卦圖，亦即是今傳本《周易》，其卦序之間沒有二進位進位的關係。但「伏羲八卦次序圖」和「伏羲八卦方點陣圖」兩圖，屬先天圖，則有二進位進位的關係。
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