機器人動力學（一）空間向量（Spatial Vectors）簡介

從本文開始介紹用於機器人動力學建模與分析的空間向量方法。本文是對一篇講義的編譯。這篇講義通過對物體運動和描述方法的分析，引入了一種更為有效的描述剛體運動的方法，這種方法使用的基本工具就是六維的空間向量。

什麼是空間向量？

空間向量(Spatail Vectors)首先是一種向量，它提供了關於剛體運動狀態或施加在其上的力的完整描述。它與歐氏向量提供的關於運動狀態和受力的完整描述是一樣的。特別的，空間向量將剛體運動或力的線性運動和旋轉運動兩個方面結合成了一個單獨的量。

空間向量為什麼好用？

在對單個剛體或剛體系統進行運動學及動力學的描述、分析和計算的時候，空間向量為我們提供了簡潔的符號。

• 更少的未知數
• 更少的方程
• 更省力
• 更少的錯誤

向量（Vectors）

• 根據定義，向量就是向量空間（vector space）中的的一個元素
• 向量空間則是一種數學結構，它包含了一個交換群 ，一個域 ，以及一個二元運算符它定義了一個映射 . 的元素就叫作向量（vector）， 的元素叫作標量（scalar）
• 對於所有的向量，加法和標量乘法都需要被定義

不同種類的向量

大部分向量都有一些額外的屬性。我們將使用的向量有三種，它們各自有自己的特殊屬性

向量場

向量場就是一個函數，它將歐氏空間中的每一個點映射為這個點的歐氏向量。事實上，它為空間中的每一個點結合了一個大小和一個方向。向量場可以描述各種物理現象，比如：

• 力場（重力、磁力等）
• 流體流動
• 剛體速度

下圖是一個向量場示意圖

下面是兩個向量場相加的圖例

速度向量場

體固定點（body-fixed point）是一個固定在剛體相對位置上的點，當剛體運動的時候這些點也跟著運動，如圖

可以想像一下整個空間中都充滿了這種體固定點，那麼當剛體運動的時候我們就定義了一個向量場。特別的，物體速度可以定義一個速度向量場，這個場指定了體固定點在通過空間里的每一點時的線性速度。

剛體在三維空間中運動時所有可能的速度都由向量場來描述，向量場的集合可以構成一個六維向量空間。這個空間的元素就是空間速度向量（spatial velocity vectors）

螺旋運動（Screwing Motion）

剛體最常見的運動模式就是螺旋運動（screwing motion）。它由一個移動和一個關於空間特定直線的旋轉組成。這條直線叫作瞬時旋轉軸（instantaneous screw axis），速度向量場則呈現螺旋狀。

現在，物體的運動可以用兩個數和一條線來描述了：

• 一個是線速度的大小
• 一個是角速度的大小
• 那條線則是瞬時旋轉軸

質點和剛體速度的區別是很顯然的：

• 質點只有大小和方向（三維的歐氏向量）
• 剛體有兩個大小和一條線（六維空間向量）

坐標

現在我們可以用兩種方式來描述剛體的速度：

1. 用一個向量場
2. 用兩個數和一條線

然而，所有的速度都是向量空間中的元素，所以我們還有第三種方法：

• 六個基向量（six basis vectors）的線性組合

在這種情況下，速度就可以用六維坐標向量(6D coordinate vector)來描述，這就是最有效的方法了。

最常用的基向量組合：

1. 笛卡爾坐標系中關於 三個坐標軸的單位旋轉
2. 相同坐標繫上 三個軸上的單位移動

我們把這個基稱為普呂克基(Plücker basis)，它產生了普呂克坐標系統（Plücker coordinate system）

總結

• 空間向量是根據它們的行為定義的
• 空間速度可以視為一個向量場
• 空間速度可以視為一個螺旋運動
• 空間速度可以用一個坐標向量來表示

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