不一樣的笛卡爾&伽利略的革命

摘自《笛卡爾的自然哲學》和《西方文化中的數學》

十七世紀是數學物理學mathematicalphysics 誕生的時代，像伽利略、惠更斯、牛頓這些著名人物都將數學應用於物理問題。

笛卡爾看起來也該在這場思想運動中佔有一席之地，畢竟他是十七世紀傑出的數學家，他的《幾何》一書是數學史上的偉大著作。他的寫作廣泛的涉及到了物理問題，他的機械論世界觀深刻的影響了的同時代的人。甚至相比他的形而上學，他對事物和廣延性的認識更能確保他成為一個數學物理學家。對他來說，事物只是幾何實體。不管他多少次聲明他的物理學僅僅是數學就不奇怪了。比如，在《原理》一書中他寫道：

我唯一接受的原則，或說我唯一要求的原則：物理學由幾何學和純數學來構建；應用該原則可解釋所有自然現象，而且能提供非常確定的證明。

類似的，1640年3月11日他寫給馬林·梅森的信里：

如果我只能說出事物會怎樣，而沒有證明他們不會是其他樣，那我就對物理學一無所知。物理學精簡為數學法則後這就成為了必然。我覺得在我知識涉及到的範圍內，我能做到這兩方面。

但除了所有這些，除了他的自吹自擂，看起來笛卡爾從來沒能將兩個領域結合到一起。在與他差不多同時代的人，伽利略的鮮明比較中，比如，笛卡爾的成熟物理學幾乎完全是定性描述。當然，笛卡爾討論反射、折射、彩虹的光學作品，《Dioptrique》和《Me?te?ores》中，有嚴格的數學證明。光學是當時被稱為混合數學的學科的分支。笛卡爾早期的零碎工作，尤其是他給以撒·貝克曼寫的東西和接下來幾年做的，都有嚴格的數學證明。但在《Le Monde》和之後的《Principia》（原理）中，幾乎看不到任何計算、等式和幾何學證明。

以他《原理》第二部分到第四部分的物理學為例，笛卡爾保留的基本法則，在根本上是數量的：尺寸×速度。但它沒有以定量的方式給出，在之後的章節里也沒有被以任何定量的方式明確引用。笛卡爾給出了之後被稱為慣性法則的觀點：勻速直線運動的物體將保持勻速直線運動，除非被外部物體干涉。從這裡笛卡爾得出了離心力，並說拋石繩（或是拋石機？）中的石頭趨向於脫離拋石繩。離心力是書中第三部分位於他的宇宙學核心的渦旋理論的基礎。根據該理論，圍繞一個中央太陽，行星周圍的渦流載著行星排列成一定次序。在他的理論中，光被簡單的解釋為渦流的壓力，渦流中稀薄物質的離心力。壓力的數學表示，渦流速度必然要造成的我們觀察到的現象的任何東西，行星軌跡的任何東西，笛卡爾都沒有給出定量表達。他的宇宙學完全是定性描述，就像他在第二部分討論的哥白尼、托勒密、谷第的宇宙學一樣。最後，在第四部分他討論了磁體。他給出了一些磁現象，比如穿過礦石細孔運動的細小的螺旋排列的顆粒，被認為可以解釋磁吸引和排斥。依然沒有任何定量描述吸引力和排斥力的嘗試。Alexandre Koyre?如是說：「眾所周知，笛卡爾的物理學，正如在《原理》中出現的，沒有任何用數學表達的法則。其實和亞里士多德用到的數學一樣少。」笛卡爾的物理學可以被當做小說來看，正如他向伊麗莎白（普魯士流亡公主）說的：有優美的圖表，漂亮的圖片，但沒有哪怕一個等式或幾何學證明。《原理》中的物理學史純文字的。

這只是傳統的智慧，大部分評論者認為笛卡爾如此。但信件給了我們一個完全不同的笛卡爾形象。在他的信件中，尤其是和梅森的通信中，我們可以發現一個非常有才能的數學物理學的參與者。在本文中要討論的就是這個不一樣的笛卡爾。

Physico-mathematici paucissimi：數學物理學和伽利略體系

討論笛卡爾之前，先大體上說一下笛卡爾初次登上舞台時，十七世紀早期的數學、物理學和它們的關係。Isaac Beeckman在筆記里寫道，讓他感到驕傲的是，笛卡爾在一篇叫《Physico-mathematici paucissimi》的文章中發現Beeckman有非凡的結合數學和物理學的才能。當然笛卡爾這是在恭維他，Beeckman也知道。貝克曼這裡的意味是什麼呢？

眾所周知，亞里士多德的自然哲學和數學有模糊不清的關係。嚴格的說，對於正統的亞氏學說，數學在自然哲學（物學）中沒有真正的位置；數學處理抽象的東西，不是事物的自然本質和各種原因，因為事物是以物質的形式存在於世界上的。另一方面，存在一個一直以來的傳統的混合數學（mixed mathematics）。它包括天文學、光學、音樂這些學科，在這些領域數學用來處理有關於現實物質世界中物體的問題。一個領域裡（混合）數學的處理和物理學的處理有特色鮮明的不同。比如在天文學裡，數學處理行星的運動現象，基於過往的經驗建立數學模型來預言未來的現象，但自然哲學處理宇宙物質的本性、運動的真正原因等等這類問題。數學天文學家對保存現象感興趣，物理學家對了解真正的原因感興趣。

「Physico-mathematics」一詞在十七世紀初被廣泛應用。有時候它看起來只是指傳統觀念的混合數學。其他時候它看起來是指包括混合數學和（單獨的）關於本性、原因的討論。在這個最吸引人的應用中，它試圖將混合數學中應用的數學思想擴展到其他那些更多的採用傳統物理學方法處理的分支學科。這或許就是becckman洋洋得意的原因。

儘管該時期有一批人試圖將數學和物理學結合起來，但有一個項目在十七世紀早期顯得尤為重要。伽利略在1620s~1630s（甚至更早）的工作，展現了一個如何應對物理學中重物運動問題的非常精緻的觀念，並將它們歸於數學方法處理。通過一系列試驗，伽利略能夠表達出自然下落中的物體，下落距離與時間的平方成正比。他也能將這些研究擴展到更多方式——斜面上球的運動，鐘擺的運動。他的同時代人印象最深的是他關於拋擲運動的研究。將勻速水平運動和豎直的均勻加速運動合併，他能展現一個拋擲運動軌跡為齊曲線（拋物線）。在這些研究中，伽利略提供了一個理解數學如何在物理學中應用的有力、有說服力的範例，一個如何做新物理學的範例。稱其為伽利略體系。伽利略體系在重物的物理學（自然哲學）上有自己的解釋——物體具有落向地球中心的「自然傾向」。它使用了一些法則（後來被稱為慣性法則——每個物理保持勻速直線運動直到被比如伽利略的自由落體法則之類的干擾），以觀察為基礎，同時從力學（當時的力學是關於簡單機械比如斜面、滑輪的科學）借來論證，給出了各種情況下重物行為的數學解釋。伽利略體系不是伽利略個人的工作（可以看出它是個雜燴）。它清楚的包含了力學本身的要素，可以被追溯到阿基米德，託名亞里士多德的《力學》和很多16世紀的作者。但在十七世紀早期，是伽利略最好的將這個新的靈魂注入了物理學。

在這場思想運動中的著名參與者之一，神父馬林·梅森，笛卡爾的好友和聰明的贊助者，17世紀20年代中期第一次接觸到伽利略和他的想法的時候，梅森被他研究運動的方法深刻影響了。梅森出版了伽利略作品的法文改編版，在自己的作品中介紹伽利略的思想，並完全吸收了伽利略physico-mathematics的風格：1634年，伽利略在羅馬被定罪後不久，梅森在巴黎出版了一本《Les me?chaniques de Galile?e》，是伽利略沒有出版的關於簡單機械和碰撞的數學理論的手稿的法文翻譯（該書有梅森的闡述和注釋），該手稿現在被叫做《Le meccaniche》。1639/1640年他在巴黎出版了《Les nouvelles pense?es de Glile?e》，是伽利略的《Discorsi edimosttrazioni mathematiche intorno a duo nuove scienze》（Leiden，1638）的簡單法文改編本。伽利略體系在重物運動上的研究也深刻滲透到梅森自己的作品中，包括《Harmonie Universelle》（Paris，1636/37）、《CogitataPhysico Mathematica》（Paris，1644），《Novarum boservationum，TomusⅢ》（Paris，1647）。

在《Harmonie Universelle》中伽利略的處理方法是梅森迷戀伽利略的象徵，《Harmonie Universelle》的主要話題是音樂，是傳統混合數學的分支。但《Harmonie Universelle》開始論述聲音，它的本質和性質，包括大量運動的討論。在目錄下面，梅森總結了伽利略自由落體和重物滑下斜面的八條定理：「mouvemens naturels des corps pesans」。該書的BookⅡ是關於「Des mouvemensdetoutes sortes de corps」的。在這本書里伽利略對重物運動的數學處理對他的影響最顯著。在這裡梅森處理了自由落體，自由落體和地球轉動的複合運動，斜面，自由下落物體是否一直加速，鐘擺的運動。。。的細節問題。該書的最後有標題為《Nouvelles Observations Physiques et Mathematiques》的部分，該部分梅森討論了重物在空氣和水中的自由下落，外力作用和自然運動的合成，物體距離地球中心不同距離時的重量。所有這些討論表明了梅森試圖擴展混合學科中的數學思想以理解重物的運動，該項目對梅森來說，明顯的受伽利略的直接影響。

但該時期另有一個重要的伽利略項目的參與者，他在該領域的作品不如梅森的那樣廣為人知，雖然依然重要：勒內·笛卡爾。

笛卡爾，梅森，physico-mathematics

30年代末40年代初梅森寫給笛卡爾的信中，他寫了很多他當時的作品中關心的議題，這些議題與伽利略體系的新數學物理學緊密聯繫。笛卡爾以某種方式給了他答覆。在這些交流中我們看到一個非常不同的笛卡爾。雖然應該討論的例子很多，但這裡只提醒大家關注一個特例。

在《Harmonie Universelle》里，梅森已經提出了這樣的問題：一個物體的重量在遠離或靠近地球中心的時候是否會增加或減少。梅森對該問題很感興趣，當時的人也很感興趣。笛卡爾於1638年6月13日給梅森寄了一封信，大體上以伽利略體系的論證方式，簡要的討論了該問題。在用一長段討論了重量的本質之後（笛卡爾認為這是個經驗問題，不夠形上），笛卡爾討論了物理學上引起重量的原因，轉向了用伽利略模式對該問題進行數學處理：「Ie pass maintenant aux raisons mathematiques。。。」他寫道。只能通過假設重量的本質和它如何運作是這個世界的物理事實，才能做出這樣的數學處理。為此，他寫道：

我們應該假設每一個重物的微小部分總受到一個力或具有一個下落的傾向，不管它遠離或靠近地球，不管它處於什麼樣的環境。我討論過，這個假設可能不為真；但為了簡化計算，我們應該作出該假設。同樣的方式天文學家假設恆星的平均運動是規則的，以方便計算它們真正的不規則的運動。

笛卡爾在信中其他的討論都以該對重量的假設為基礎。這樣他得出了證明：

現在依據絕對重量不變的假設，我們可以證明所有堅硬物體（剛體）的相對重量。。。在靠近地球中心的時候比遠離地球中心時小。

該處和信中剩下部分討論的相對重量不是笛卡爾在信的前面討論過的重量，那個重量是引起物體具有朝地球中心運動的傾向的內在原因。他將討論的是物體靜止時的重量概念。比如，在靜止狀態，我們會問用多少重量去維持一個被特殊滑輪系統吊起的物體。有人會說在一個斜面上需要一個較小的重量來維持一個物體（靜止），另一個角度大的斜面上需要較大的重量（維持同樣的物體），所以同一個物體在一種情況下比另一種情況有更小的「相對重量」。這就是笛卡爾接下來關注的相對重量的概念。他說，該情況（斜面）下物體的相對重量在靠近地球中心時更小。

讓我們從考慮笛卡爾在信中對斜面的討論開始。他從回顧關於斜面的通常性描述開始。寫道;

寫作力學的作者都同意，在靜止於斜面AC的情況下的相對重量，與絕對重量的比如同AB比AC。如果AC是AB的兩倍，物體在開放空間重200磅，維持它在斜面AC上的相對重量就是100磅。

但，笛卡爾提到，該計算是建立在理想狀態上的。然後他說，如果我們將BC、AC看做真實的直的線，我們必須假設重物沿著與它們平行的線有向下的趨勢，當然嚴格的來說這是錯的。明顯的事實是，當我們採用地球是球體的事實時，一條真直線斜面相對於真正的豎直（指向球心）形成不了恆定夾角。連接物體和球心的線是接下來笛卡爾討論的基礎。讓我們假設重物趨向於球心O，斜面AC是真直線，笛卡爾寫道：

假設平面AC是完美平滑的，相對重量比絕對重量不等於AB比AC，除了在頂點A；當重物在低處時，比如在D或C，該比例會變小。

為什麼如此？平面上任何給定的點（很明顯這裡取了一個截面而不是整個平面），真正的豎直（物體被完全放開後下落的方向），是連接該點到球心的線。相似的，真正的水平與真正的豎直垂直。現在，如圖，重物越接近E，它與真正豎直的夾角越趨近直角，即越趨近水平。平面越趨近水平，維持在其上的重物靜止需要的重量越小。

該證明是笛卡爾對該問題的基本回答。考慮堅硬物體ABC落向球心O，因為物體是堅硬的，最靠近C的部分被限定沿CFH移動，最靠近A的沿ADG移動。在這種方式下，笛卡爾暗示，我們可以認為A、C是沿著直斜面ADG、CFH運動的重量。然後，根據上面論證的，靠近球心的時候保持這些部分的均衡需要的重量會變小，這個論證可以在A、B，B、C之間的每一個小部分上重複。唯一不能運用的就是物體的中心部分B。於是，笛卡爾得出：

因此整個物體靠近球心的時候比遠離球心的時候輕，需要證明的就是這點。

（給出該證明後，笛卡爾立刻給出另一個證明，通過觀察槓桿，他展示了另一個觀點：物體離球心近的時候比遠離球心時重！）

梅森留下了深刻印象。收到笛卡爾的長信後，他問能否將其出版，估計是想包含在自己的其中一本書里，就像在《Harmonie Universelle》中包含了Roberval的Traite?de mechanique一樣。1644年梅森在出版的《Cogitata physico mathimatica》里大量闡述引用了笛卡爾（該）信件的內容，在相似主題下的其他通信內容也被大量引用。

梅森的書經常引述他人作品，所以這很正常。但比較30年代和40年代初笛卡爾寫給梅森的信件和梅森的《Cogitata physico mathimatica》後，結果讓人非常驚訝。這些信，某種意義上，是梅森一些出版物的草圖，說笛卡爾是這些出版物的合作者並不十分誇張，他是一個沉默的合著者。可以將梅森的《Cogitata physicomathimatica》看成笛卡爾的匿名出版物之一，是沒有以自己名字出版的數學物理著作。從本文我們看到笛卡爾是當時工作在法國和義大利的數學物理學圈子的重要一員，按照伽利略體系將重物的數學和物理學結合在一起。

同時我們不應該忽視笛卡爾沒有從他的工作中獲得大眾聲望的顯著事實。梅森當然尋求笛卡爾對引用他們通信內容的同意。笛卡爾給他許可，但要求不要將其直接歸於自己。笛卡爾並不是對自己的工作感到慚愧，但同時他不想讓它和自己的名字聯繫起來。梅森出版它的時候，僅僅將其歸於一位「clarissimus vir」或一位「illustrisvir」。儘管笛卡爾樂於在通信中和梅森討論這些話題，但在公開場合他不想讓自己的名字與它們有聯繫。儘管他允許梅森出版他的文字，笛卡爾自己卻沒有出版。笛卡爾自己出版豐富，但從不認為公開談論充斥著他和梅森通信的那種physico-mathematics問題是合適的。為什麼？

笛卡爾與伽利略的重物物理學

為了回答這最後一個問題，讓我們回到伽利略體系處理數學物理學的方法。已經說過，該體系是17世紀早期做數學物理學的最有影響的體系，直到17世紀末數學物理學家才在艾薩克·牛頓的工作中找到和伽利略匹敵的體系。伽利略體系的基礎是假設重物都有一個落向地球中心的傾向，它們在下落時相同時間增加的速度相同。一旦我們有了這個假設（還有一些其他的），這個項目就開始運作了：做出這個假設，我們可以用伽利略體系中精緻的特色鮮明的數學方法開始處理自由落體，斜面，鐘擺問題。

當代人一般認為，對笛卡爾來說，數學對物理的適用性基於這樣的事實：物體的本質是幾何上的廣延。也正是這個對物質和廣延性的認識使笛卡爾無法接受伽利略體系的假設。因為物體除廣延性之外不包含任何其他東西，物體不可能有任何內在傾向；特別是，物體不論其內部還是本身，都沒有落向球心的傾向——或傾向任何其他地方。通過它們自身，物體傾向於在運動中保持運動，在靜止中保持靜止，但沒有沿任何特定方向運動的傾向。重量——向地球中心運動的傾向，笛卡爾解釋為物體和環繞地球轉動的稀薄物質組成的渦旋的相互作用。嚴格的來說，物體通過碰撞稀薄物質的微粒被推動向球心。

因此，笛卡爾評論道，伽利略體系中關於物體的假設是錯的。物體不像說的那樣傾向於落向球心。如果你假設它們有，那麼不論它們離中心多遠它們都保持下落的絕對傾向（這不可能），因此該假設是錯的。又由於笛卡爾認為重量是所謂的物體與稀薄物質的微粒碰撞引起的，伽利略自由落體法則也是錯誤的。笛卡爾1640年3月11日寫給梅林：

物體下落的第一個時刻，它被稀薄物質推動著，給它一個單位的速度；在第二個時刻，推動變得稍小，又給它一個幾乎一個單位的速度，然後繼續如此。這造成了在下落的開始階段，速度幾乎與下落時間的平方成比例（原文估計有錯，這裡明顯是距離而不是速度）。但這個比例在下落了數英尺後完全失去了，速度不再有任何增加。

自由下落的物體不會像伽利略的法則那樣持續加速。它們將在開始下落後加速，持續一小段時間，此時受伽利略自由落體法則支配，但當它們達到一定速度之後，由於渦旋中微粒速度的關係，它們的加速將減慢，直到最終達到一個恆定速度。

當梅森讓笛卡爾在伽利略體系內研究時，他很願意這樣做。但因為重量的真正原因已經建立，這樣的工作對他來說是一種遊戲，而不是真正的物理學，僅僅是純數學的活動。如果我們假設物體下落與伽利略法則一致，我們將得到拋擲物體的齊曲線軌跡：

如果我們這樣假設，很容易得出拋擲物應該按齊曲線運動的結論；但這些假設是錯誤的，他的結論也可能遠離事實。

類似的，為了用數學方法處理物體靠近球心時的重量問題，笛卡爾不得不做出假設「以簡化計算」，儘管這些假設是錯誤的。最後你得到的答案，僅僅和你一開始做出的假設一樣好壞。笛卡爾不認為假設多好，最後結果當然也不好。

這樣說來，笛卡爾拒絕用自己名字出版他在數學物理學上的實踐，並不是拒絕在該學科上進取，僅僅是對伽利略體系的批判。Koyre?描述了笛卡爾和伽利略在氣質上的不同：

思想，或意見，伽利略的和笛卡爾的明顯不同。它不是純數學的；它是physico-mathematical。伽利略沒有發展關於加速運動的可能方式的假說；他探求的是真正的方式，自然界使用的方式。

Koyre?幾乎完全錯了，至少從笛卡爾的視角看是這樣。笛卡爾追求的是建立在對自然到底是什麼樣的理解之上的物理學，關於現象之下的原因的真正知識。在他看來，伽利略關於運動的數學物理學是一個數學空想，建立在武斷的假設上，「un roman de la nature」，是用數學語言表達的幻想。笛卡爾想要的是真實的physico-mathematics，多大程度上是物理就多大程度上是數學：關於運動的數學式科學，包含作用的真實原因的知識。只有當我們知道了重量的真實原因我們才能有真正的關於重物的科學。

因為這個原因，與梅森通信的那個伽利略系物理學家，笛卡爾，選擇躲在匿名後面，再一次，「larvatus prodit」，他戴著面具走到前台。

數學物理學的笛卡爾體系？

目前為止我們聚焦了笛卡爾對伽利略體系的重物物理學的反應，以及他為什麼不想追隨它。一個更深層的問題仍然存在。儘管笛卡爾拒絕了伽利略用數學處理重物物理學的方式，人們可能會問，那麼，為什麼笛卡爾不建立自己的體系？部分的解釋是可能重物的物理學對笛卡爾來說不是很重要，不如其對伽利略那樣重要。這確實沒錯但，雖然如此，物體在稀薄物質的渦旋中的行為是笛卡爾的核心，重物在靠近地球的地方的行為只是以上行為的特例。儘管渦旋和物體在渦旋中的運動在《Principia》中極為顯著，正如我們先前說的，他在這裡的論述，是完全定性的。

笛卡爾當然試著給出重物和其在渦旋中行為的數學描述。在笛卡爾早年的作品就如出版的1618年末Beeckman的日記和一些笛卡爾差不多同時期的文章中，我們可以看到一個建立重物的數學物理學的嚴格嘗試。在那裡笛卡爾處理問題，比如處理位於伽利略體系核心的自由落體問題時，使用了和伽利略一樣的假設：落體均勻加速。他可能處理的很糟糕，陷入了謬論，但他處理的並不比年輕時的伽利略差。後來，他提出重量的原因後，似乎用另一種方式處理了支配自由下落的數學法則。1631年初，寫《LeMonde》的時候，他寫給梅森：「我想我現在可以決定一個下落物體的速度增加率，不止在真空，而且在空氣中。」 這表明以稀薄物質微粒的碰撞導致它們落向球心為基礎，他正在嘗試解決物體在實際下落時支配它們的法則。從Leibniz自17世紀三十年代保存的（笛卡爾）筆記中，至少有一篇文章處理該問題：

但為什麼這些關於重物的理論沒有出現在他的出版作品裡？為什麼他沒有成功的提供一個伽利略體系的替代物？一般認為這是因為笛卡爾缺乏深刻的洞察力，不能看到伽利略和其他人看到的東西：數學可以在物理學理論中起到的作用。比如Paul Tannery說笛卡爾的失敗是因為他只看到數學在數字，形狀，幾何量中的應用，而缺乏數學解決（物理）問題的觀念，而伽利略將它發展到極致。這並不很正確，就如之前指出的，通過梅森，笛卡爾參與到了他那個時代的伽利略物理學中，雖然他選擇不用自己的名字出版出來。這是個他可以做下去的遊戲，但他（礙於自己成型的理論）沒有選擇做下去。這表明他創建自己的physico-mathematics失敗的原因在別處。

部分的原因可能是，他對世界本質的觀念導致他面臨的問題複雜化。笛卡爾的重量概念里，重物下落時因為它與地球周圍渦旋的單個微粒碰撞而被推向球心。就像其他很多人指出的，（這樣假設導致）了解支配重物自由下落的數學法則需要的計算異常複雜。

複雜性是個嚴重的問題，夠笛卡爾受的。然而還有一個問題笛卡爾必須面對：缺乏合適的試驗。在《Discours》的第六部分，笛卡爾發牢騷稱要完成他的體系，他必須做大量的金貴的花費時間的試驗。相信缺乏試驗是笛卡爾完成重物的數學處理以與伽利略競爭的充分原因。他1640年3月11日寫給梅森：

我沒法確定每個重物開始下落時的速度，因為它是一個純事實問題，依賴於稀薄物質的速度。

就像笛卡爾在他從1638年6月13日開始寫給梅森的關於重量的信所言，這是個的現實問題「直到人類能夠做出某些試驗才能真正回答」。但稀薄物質的速度（可能包括它在距離球心不同距離時如何變化）不止影響下落的第一時刻速度，還影響物體下落的任何時刻速度（實際上，它影響所有在渦旋中的物體的行為，包括行星和彗星）。在稀薄物質的速度是「純現實問題」的條件下，一些東西只能通過試驗了解，所以自由下落的法則不得不在一定程度上以試驗為基礎。當然，不是伽利略建立他的自由落體法則的那種試驗。伽利略扔球，讓它們滾下斜面，觀察繩子末端物體的擺動。根據笛卡爾的重量概念，受渦旋中稀薄物質微粒的作用，物體最終獲得最大速度，那麼笛卡爾建立實證的自由下落法則需要的是，物體落下大的多的距離，足夠讓真法則在觀察者面前揭示出來的距離。這樣的觀察對笛卡爾來說無法做到。1638年6月13日他寫給梅森：「在我們的大氣中的試驗得出的，不能告訴我們從更低或更高（高出雲端）的高度落向球心時的情況。」阻礙了正宗笛卡爾重物數學物理學的，不是觀念問題，不是他數學能力問題，也不是他將數學應用到物理的能力問題。看起來困難是笛卡爾沒有做出這樣的試驗或做出建立自由落體的真正法則需要的觀察的能力。

儘管笛卡爾試圖用別的數學物理觀念取代它，伽利略體系在笛卡爾死後半個世紀仍然在物理學中保持著影響。該影響將持續到艾薩克·牛頓的工作，牛頓指出如何通過觀察月球和行星的運動來建立重物的數學理論，修正了伽利略的法則，做成了笛卡爾想做沒做成的事兒。

M·克萊因：伽利略的革命

近代科學成功的秘密，就在於在科學活動中選擇了一個新的目標。這個由伽利略提出的、並為他的後繼者們繼續追求的新的目標，就是尋求對科學現象進行獨立於任何物理解釋的定量的描述。伽利略第一個認識到，關於事件原因和結果的玄想（典型的如亞氏一系），遠遠不能增進科學知識，絲毫不能給人們以任何揭示和控制自然界運動的力量。有鑒於此，他提出要以一個鐘關於現象的定量描述來取代那些玄想。

一個球落下，我們可以沒完沒了的猜想球下落的原因，伽利略建議我們另闢蹊徑，他給出的答案是d=16t^2

然後，伽利略決心尋求描述自然行為的數學公式。近代科學在實用方面和理論方面最激動人心的成果，主要是通過熟練運動日積月累的定量的、描述的知識才獲得的，而不是通過關於現象原因的形而上學的、神學的甚至是機械論的解釋。

尋找描述現象的公式的規劃和決策，緊接著又引出了這樣的問題：公式中應該涉及什麼量？伽利略要遵循的下一個原理，是劃分哪些是可測量的量，哪些是不可測量的量。這樣，他研究的問題就轉變為，使關於自然想像的諸方面，基本性質的內容與能夠被測量的內容彼此分開。

為了實現這個目標，伽利略必須開闢新的道路。中世紀的先輩——那些亞里士多德的追隨者們，利用一些諸如起源、本質、形式、性質、因果性、目的之類的概念研究自然界，但這些範疇本身不能定量化。笛卡爾把物體在空間和時間中的運動，當做是一條固定的自然界基本現象，一切活動都可以用這些運動的機械現象予以解釋。

伽利略通過分析和思考自然現象，決定將注意力集中在這樣一些概念上，如空間、時間、重量、速度、加速度、慣性、力和動量。後來者又補充了能、能量和其他概念。有些概念如慣性，甚至並不明顯地為物質所具有：它們的存在必須從觀察中才能推斷出。其他一些概念如動量，則歸功於伽利略的獨創。這些概念後來被證明意義很大。

伽利略研究科學的方法中，另一個基本要素就是為科學建立數學模型。伽利略和他的信徒們相信，他們肯定能找出物理世界的一些定律，這些定律將無可置疑的必定是真理，就如歐式幾何的公理一樣。也許冥思苦想、試驗或觀察能揭示出這些物理學公理，至少它們一旦被發現，它們的真理性憑直覺就可推斷為真。利用這些十分重要的直覺，17世紀的科學家們希望能推導出大量其他精確的真理，就如歐式幾何的公理推導出定理一樣。（歐幾里得真是萬世師表。。。）

因此，伽利略的規劃包含3個主要特徵：

一、找出物理現象的定量描述，使它們能包含在數學公式中

二、分離出並且測量最基本的現象的性質，這些性質在公式中就是變數

三、在基本的物理原理基礎上，建立起演繹科學

為了使這個規劃得以實施，伽利略必須找到基本定律。研究基本定律是一項巨大的任務，伽利略必須再一次打破陳規。關於物體運動的研究中，他的方法必須考慮地球在空間中的運動，以及地球自轉，這些事實本身就足以使文藝復興時期的龐大力學體系——亞里士多德體系失去效力。

亞里士多德認為，每一個物體都有一個自然位置，物體的自然狀態就是處於靜止中的自然位置。重物體的自然位置位於地球中心——即宇宙中心。輕物體，如氣體，它們的自然位置在天空。對於不在自然位置的物體，在沒有其他外力作用的情況下，將趨向自然位置。這樣就產生了自然運動，比如從手中落下的物體趨向球心運動，但向上拋起或提起一個物體時，產生的運動則偏離自然狀態。

既然靜止是自然狀態，那麼自然運動和偏離運動都必須歸結為某種力的連續作用，否則運動將會停止。所有的運動也都會受到連續不斷的阻力，在任何情況下，運動的速度與力成正比而與阻力成反比。自然運動中，力就是物體的重量，阻力來自物體運動中的媒介質。因此在同一種給定的媒介質中，較重物體必然下落的較快。在偏離自然狀態的運動中，力由人的手或機械施加，而阻力來源於重量。較輕的物體則阻力較小，速度就較大，施加一給定的力，較輕物體運動的較快。

解釋某種特殊的現象，需要特殊的理論。下落的物體，力由重量提供，與介質中的阻力一樣，是個常數，因此速度也應該是個常數。（額外的）加速度，即速度的增加量，通過物體從前一個位置到後一個位置的空氣推力可以計算出。這樣，空氣就被設想為在物體後面施加了一個力，從而使物體加快了速度。

亞里士多德的上述定律，由二分觀察八分美學、哲學原理得到。在許多世紀里，這些被當做宗教、哲學和科學著作的金科玉律般的基礎。伽利略揭示自然界的基本規律，就像哥白尼提出日心說一樣，阻力極大。

按亞里士多德的理論，使一個物體保持運動就需要一個力，哪怕是在非常光滑的地面上運動，也應該給予一個力。但，伽利略對這個現象的觀察，卻與亞里士多德不同。事實上，一個運動的物體，只受空氣的輕微阻礙和受與運動表面之間的摩擦力的阻礙。如果這類的阻礙不存在的話，那麼維持自然運動就不必需要推動了。它將繼續無限的保持相同的速度，而且，沿一條直線運動。這條運動規律，一個不受外力作用的物體，將無限的以勻速繼續在一條直線上運動，是伽利略發現的。明顯的，對同一種情況，伽利略所發現的這條定律，比亞里士多德的理論揭示的要深刻的多。該定律表明，一個物體只有受到一個力的作用時，才會改變其速度。這樣，物體具有抵抗速度變化的特性，物質的這種特性，稱之為物體的慣性質量，簡稱質量。

伽利略的第一條原理就與亞里士多德的理論矛盾。僅僅依靠觀察，幾乎不可能使亞里士多德改進自己的理論，或啟發其他人改進他的學說。亞里士多德持有現實主義觀點，他一再說要通過實際觀察後再做結論。伽利略研究問題時是作為一位數學家，通過忽略一些因素而突出其他事實，將現象理想化，就如同數學家通過去除某些東西，突出個別性質而將緊繃的線和直尺的邊緣理想化一樣。通過忽略摩擦和空氣阻力，而且想像物體是在一個純歐式空間中運動，伽利略就發現了這條基本原理。將問題用幾何方法處理，再得出定律。伽利略這裡的觀點，是標準的數學家處理理想圖形的觀點。現代科學成就產生的一個悖論是，科學家或者數學家通過理想化，似乎故意使一個問題變得面目全非，以致使他有意採取與一般觀點不同的方法，然而他們在後來竟能使問題獲得正確的解決。伽利略的這套方法被證明極其成功和有效。

一個運動著的物體，如果給它施加一個力會出現什麼情況？在這裡，伽利略做出了第二個重要發現。連續不斷的施加一個力，將會使物體的速度增加或減少。稱單位時間內增加或減少的速度為物體的加速度，單位為距離每二次方時間。第二定律所描述的是：如果一個力使得一個物體的速度增加或減少，那麼用適當的單位來表示，這個力就等於物體的質量與它的加速度的乘積。

F=ma

意義：不變的力在一個質量不變的物體上產生不變的加速度。如果一個物體有加速度，必然有力施加在其上。從一定高度下落的物體的確有加速度，那麼一定有力作用在上面，這個力就是地球的引力，在伽利略時代，這個觀念已經為某些人接受，但伽利略沒有在這個觀念上花太多時間去思考。他把精力花在對下落物體進行定量化研究上。

伽利略發現，忽略空氣阻力，所有下落到地球表面的物體都有相同的加速度，32英尺每二次方秒。物體下落的初始速度為零。

v=32t

然後他證明了物體在t秒內下落距離的公式

d=16t^2

以上公式沒有出現物體的質量。

用以上公式得

d=v^2/64

一個例子就是從地面向上拋物體。如脫手時速度為每秒100英尺，如果沒有阻力作用，按照第一定律，物體保持這個速度，t秒內物體向上運動的距離，等於速度乘以時間。但，物體向上運動的同時，受到來自地球的吸引力，就像一個作自由落體運動的物體一樣，t秒內該物體被吸引向下的距離為16t^2

h=100t-16t^2

我們看到，利用物理學原理，數學推理能演繹的推導出定理。數學演繹——他的工作的實質——產生了關於物理世界的知識。

從這些證明出發，伽利略又開始進行觀察，從中獲得了另一個運動定律。如果一個物體攜帶者另一個物體，如飛機載著乘客，則乘客首先應遵從飛機的運動，這似乎毋庸置疑。但如果乘客突然從飛機上跳下來，那麼他仍然將有飛機的水平方向的運動，如果沒有空氣阻力和向下的地球吸引力，乘客就完全與飛機一道飛行。這條定律解釋了，地球自轉和繞太陽公轉，地球上的物體為什麼沒有被甩出去。

這條定律對拋物運動的潛在價值非常明顯，伽利略不久就利用了它。研究拋物運動時，他觀察到，一個物體的運動可以歸結為兩個同時獨立的運動。一個平拋的物體，一個運動時水平方向的直線運動，由拋出的速度產生，另一個垂直向下。這兩種同時存在的運動的合成，就導致物體沿一條曲線向下運動，如伽利略所指出的那樣，是齊曲線（拋物線）的一部分。但是，下落物體的水平運動和垂直運動彼此獨立。平拋出的速度較快，物體的水平運動也較快，而向下的運動將保持不變，因此落地時間不變，而水平運動距離變大了。伽利略將整個同時獨立運動原理應用於炮彈運動的研究，證明炮彈的運動也是齊曲線的一部分，當與地面成45°角發射炮彈時，射程最大。

所有這些成果和許多其他成果，伽利略在《關於兩門新科學的方法和數學證明》中給出了詳細的闡述，這是一部耗費他30年心血的傑作。這部著作中，伽利略開創了近代物理學數學化的歷程，建立了力學科學，設計和樹立了近代科學思維的模式。

就在他準備出版他的手稿時，被人以不信仰基督教為由，禁止出版任何著作。只得秘密送到荷蘭出版（荷蘭當時真是天堂，笛卡爾在那裡入伍，退役後呆了20多年）。1638年該書出版，沒幾年伽利略就死了。

一位在比薩大學就讀的青年學生，去參觀比薩城大教堂，對一盞懸掛著來回擺動的大吊燈產生了興趣。他很快注意到，吊燈擺動一段大弧，似乎與它經過一段小弧所花的時間一樣多。這個年輕學生已經發現了一條支配所有擺動運動的科學定律：一個單擺完成一次擺動所需的時間，與擺的幅度無關。不久，這條定律被用於設計當時這位年輕人正需要的、具有廣泛用途的鐘錶，當時他只能靠數脈搏判斷時間。

伽利略是一位文學大師，他寫出了17世紀最優美的義大利散文，他寫詩歌，寫評論，開但丁文學講座，他的科學著作同時也是文學名著。在他遭受痛苦的歲月里，繪畫、音樂給他帶來了安慰。

他死了。

義大利思想的獨立精神也凋零了。