數字蛻皮遊戲

數字蛻皮遊戲

在數學家眼裡，數學是一門藝術，有太多令人陶醉和欣賞的奇妙之處，僅僅是一堆枯燥的數字，在數學家眼裡也可以跳出很多花樣舞蹈，從而令他們茶飯不思地鑽到數字堆里。下面是一些例子，相信你也會感興趣。

    數字也會落入黑洞

    任取一個數，只要數中的每個數字不都相同，比如不能取666666或3333之類的數，其它的都行，拿578964523875894632917來說吧，數一數這個數有多少個偶數，多少個奇數，總共多少位數。這很容易，結果是9個偶數，12個奇數，總共21位數。然後把偶數個數放在前面，奇數個數放在中間，總位數放在後面，那就是912 21，可以組合出91221這個數。對91221重複上一個過程，可以得到2（2個偶數）、3（3個奇數）、5（總共5位數），構成235，對235再重複上述過程，得到123，再將123重複進行上述過程，仍得到123。對任何一個數字不重疊的數來說，123就好像是一個數字黑洞，跌進去就再也爬不出來了。

    更大的數或更小的數，按照上述過程進行下去，最終都會停留在123上，對於兩位數和個位數也是這樣，例如：1這個數，有0個偶數，1個奇數，總共1位數，於是湊出11這個數；11有0個偶數，2個奇數，總共2位數，於是湊成22；繼續，再湊出202；之後是303（0按照偶數對待），再之後就是123了。看來123真的是數字的黑洞。

    還有其它玩法得出的數字黑洞，例如任取一個三位數，個、十、百位數字都不相同，然後把這三個數字按大小重新排列，得出最大數和最小數。用最大數減去最小數，得到一個新數。再讓這個新數重新排列，再相減，最後總會落入「495」這個數字「黑洞」中。例如847，重新排列後得最大數874和最小數478，兩者相減得396；再重新排列得963和369，兩者相減得594；重排後得954和459，兩者相減得495，繼續下去，還是495，跌入黑洞了。對於四位數，6174是它們的黑洞。對於五位數，它又有怎樣的數字黑洞呢？讀者可以自己試一試，五位數的數字黑洞是幾個數轉圈形成的。

    可是，為什麼會這樣？這些是數學家的事，他們整日思考的就是這一類的問題，只是證明過程不是我們所能輕易論述清楚的。

    不怕蛻皮的奇妙數組

有這樣的兩組數組，一組是：

（123789，561945，642864），另一組是：

（242868，323787，761943），

每組數組都由多個數組成，每組數組裡各數的加和與另一組數組裡的各數加和相等，即：

123789+561945+642864

=242868+323787+761943。

當然這沒啥稀奇的，但有點獨特的是，各個數都從左邊去掉一位，或都從右邊去掉一位，形成的新的兩組數組，其加和還是相等的，

即：

23789+61945+42864

=42868+23787+61943，

繼續從左邊去掉一位，

3789+1945+2864

=2868+3787+1943……

直到最後9+5+4=8+7+3。

讀者可以從右邊依次去掉一位，同樣是各個數加和相等。也許這還沒什麼奇妙的，繼續往下看。

這兩組數組的各個數平方之和也是相等的：

123789²+561945²+642864²

=242868²+323787²+761943²

=744380022042，

而從左邊都去掉一位後，各個數平方之和還是相等的：

23789²+61945²+42864²

=42868²+23787²+61943²，繼續，

3789²+1945²+2864²=

2868²+3787²+1943²……最後，

9²+5²+4²=8²+7²+3²。

讀者可以從右邊去掉一位，得到的數組，同樣是各個數平方之和相等!這就讓人驚訝了，這讓人感覺這樣的兩組數組可以像蠶一樣蛻皮，蛻多少層皮都不影響兩組數組加和及平方和相等的性質。

也許你已經感覺到，這樣的兩組數可不好找。當然在數字的海洋里漫無目的地尋找，是不好找。仔細研究一下它們有什麼規律，（123789，561945，642864）與（242868，323787，761943，中，每個數都是由下面的個位數組合成的，即：

（1，5，6）與（2，3，7），

（2，6，4）與（4，2，6），

（3，1，2）與（2，3，l），

（7，9，8）與（8，7，9），

（8，4，6）與（6，8，4），

（9，5，4）與（8，7，3），

而且這些個位數組成的數組都具有加和及平方和相等的性質。那麼是不是說，如果一位數組成的數組，加和及平方和相等的話，那麼組合到一起形成的兩位到多位數數組，也是加和及平方和相等？且不怕一層層蛻皮？

試一試？一位數的好找，例如：

（1，6，8）與（2，4，9），

（9，4，5）與（7，8，3），

（3，8，4）與（6．2，7），

（3，7，8，與（4，5，9），

（3．7．2）與（6．1．5）等，

就是加和及平方和都相等的數組，把這些個位數組合成多位數的新的數組，得到：（193333，648787，854842）與（276466，482521，937975），讀者可以驗證一下，這樣的兩組數組也是具有加和相等，平方和相等的性質，而且不怕一層層蛻皮。還真的是這樣的規律，研究者試驗了不知多少數字，可以說是屢試不爽，當然對此也有相關的證明。讀者若有興趣，也可以自己組合出多個這種性質的數組。而且，利用那些個位數數組可以隨意組合出任何位數的數組，數字也可以重複使用，例如只是利用（1，6，8）與（2，4，9）構造出的（11，66，88）與（22，44，99，同樣具有上述性質。

蛻皮數組

123789，561945，642864

242868，323787，761943

123789+561945+642864＝242868+323787+761943

23789+91945+42864＝42868+23787+61943

3789+1945+2864＝2868+3787+l 943

789+945+864＝868+787+943

89+45+64＝68+87+43

9+5+4＝8+7+3

123789²+561945²+642864²＝242868²+323787²+761943²

23789²+61945²+42864²＝42868²+23787²+61943²

3789²+1945²+2864²＝2868²+3787²+1943²

789²+945²+864²＝868²+787²+943²

89²+45²+64²＝68²+87²+43²

9²+5²+4²＝8²+7²+3²

數組組合

123789，561945，642864

242868，323787，761943

1，5，6     2，3，7

2，4，6     2，4，6

1，2，3     1，2，3

7，8，9     7，8，9

4，6，8     4，6，8

4，5，9     3，7，8

多位數數組是同樣性質的個位數數組組合成的

    巧妙的數字們

其實加和（一次方和）和平方和（二次方和）相等的數組屬於等冪和數組，不過等冪和數組並不都具有蛻皮的性質。其實等冪和數組還不僅是各個數的一次方和二次方和相等，還有三次方和，四次方和，甚至直到十次方和都相等的數組呢。例如這樣兩組數組（1，6，7，17，18，23）與（2，3，11，13，21，22），讀者可以計算一下，其平方和，三次方和，四次方和，五次方和都相等。例如

1⁵+6⁵+7⁵+17⁵+18⁵+23⁵

=2⁵+3⁵+11⁵+13⁵+21⁵+22⁵

=9770352。不僅如此，把數組中每個數都加上同樣的數字，得到的新的數組也是具有幾次方和都相等的性質。例如這五個數組成的數組，每個數都加2，得到（3，8，9，19，20，25）與（4，5，13，15，23，24），每個數的一到五次方加和也是相等，讀者不妨驗證—下。

    當然，巧妙的數字太多了。例如有一個數12345679，只要用9的倍數去乘它，得到的乘積竟是一連串數字重疊的數，例如用9（9的1倍）去乘，得到111111111，用18（9的2倍）去乘，得到222222222……用81（9的9倍）去乘，得到999999999。當乘數超過81時，乘積會有變化，但也有規律，讀者可以自己試一試。如果用3的倍數去乘的話，會得到重複出現的3個數位循環出現的乘積，例如乘3得37037037，乘12得148148148，乘57得703703703，乘102及102以上的3的倍數，得到的乘積會發生點變化，但也有規律。這只是一個小小的例子。

    通過這些例子，相信你的興趣也來了，數學家可以用一生的時間去證明哥德巴赫猜想的數字遊戲，去研究用直尺和圓規三等分一個角的可能性。很多人對數學家的研究不理解，認為沒必要，就像外星人看高爾夫球賽一樣：既然拚命想讓球進洞，拿球丟進洞里不就行了。但真正的數學家不僅把數學當遊戲來看的，他們更是驚嘆於數學的奇妙和藝術魅力，樂於去發現它們。

好有規律的數

l2345679

l2345679×9¹＝111111111

l2345679×9²＝222222222

l2345679×9³＝333333333

l2345679×9⁴＝444444444

l2345679×9⁵＝555555555

l2345679×9⁶＝666666666

l2345679×9⁷＝777777777

l2345679×9⁸＝888888888

l2345679×9⁹＝999999999