集總參數元件組成L型網路實現阻抗匹配

05-27

集總參數元件組成L型網路實現阻抗匹配

來自專欄學渣的思考

寫寫我對使用Smith Chart解L型集總參數匹配網路問題的理解。

第一步，L型電路形式選擇。從電阻較大者的角度思考（不論是負載阻抗 $Z_{L}$ 還是特徵阻抗 $Z_{0}$ ），需要先並聯電納jB以降低該阻抗實部模值 $left| R ight|$ ，再串聯電抗jX。即在不進一步改變實部大小的前提下，消除先前並聯的電納對虛部的影響，實現匹配 $Z_{L} =Z_{0} =Z_{in}$ 。因此有了教材的結論：

歸一化 $ar Z_{L}$ 在 $1+jar{x}$ 圓內（ $R_{L} > R_{0}$ ）時，選擇集總參數元件網路(a)。

歸一化 $ar Z_{L}$ 在 $1+jar{x}$ 圓外（ $R_{L} < R_{0}$ ）時，選擇集總參數元件網路(b)。

不論選擇以上哪種電路，都需要將 $1+jar{b}$ （網路(a)）或 $1+jar{x}$ （網路(b)）圓關於原點（匹配點）旋轉 $pi$ ，獲得「輔助圓」 $1-jar{b}$ 或 $1-jar{x}$ （圓心在負半實軸上坐標(0.333,0)處）。

我拿到史密斯圓圖，先在標題旁邊註上「注意估讀」，在左右兩端分別註上短路點和開路點，然後畫上輔助圓。

第二步，問題一般給定負載阻抗值 $Z_{L}$ ，設計方向一般為自負載端至源端。若選擇(a)型網路，需將 $ar Z_{L}$ 關於原點旋轉 $pi$ 弧度獲得歸一化導納 $ar Y_{L}$ ，以便與 $jar{B}$ 進行運算，整張圖因此變為導納圓圖。若選擇(b)型網路，首先面對的是 $jar{X}$ ，故只需要在圖上標出歸一化阻抗 $ar Z_{L}$ 的對應點即可，此時整張圖是阻抗圓圖。

第三步，沿等電導圓（(a)型）或等電阻圓（(b)型），將 $ar Y_{L}$ 或 $ar Z_{L}$ 旋轉到最初所作的「輔助圓」上，讀取一正一負上下兩個交點的歸一化電抗值，減去負載對應點的歸一化電抗，獲得L型集總網路的 $ar{B}$ （(a)型）或 $ar{X}$ （(b)型）。

第四步，這兩個交點關於原點旋轉 $pi$ 的中心對稱點，為其相反性質的歸一化值（(a)型導納變阻抗，(b)型阻抗變導納與第一步相同），求其共軛，就能得到L型集總網路的 $ar{X}$ （(a)型）或 $ar{B}$ （(b)型），各有上下一正一負兩個值，且絕對值相同。

第五步，電抗元件提供了兩個自由度，據此結合給定的工作角頻率 $omega =2pi f$ ，算出參數 $C=B/omega$ 以及 $L=X/omega$ 。若集總網路的 $ar{X}$ 和 $ar{B}$ 為負值，說明電抗元件處在與取正值相反的位置上，即

當 $ar{X} >0$ , $ar{B} >0$ ，則 $C=ar{B} /(omega Z_{0} )$ , $L=ar{X} Z_{0}/omega$ , $B_{C} =ar{B} / Z_{0}$ , $X_{L} =ar{X} Z_{0}$ ；
當 $ar{X} <0$ , $ar{B} <0$ ，則 $C=-1 /(omegaar{X} Z_{0})$ , $L=- Z_{0}/(omegaar{B} )$ , $X_{C} =-ar{X}Z_{0}$ , $B_{L} =-ar{B}/Z_{0}$ 。

解釋：在本問題中，對圓圖上的要素旋轉 $pi$ 弧度，實際上暗含了兩種類型的預期。一種是變更圓圖性質（阻抗-導納）而不變更虛部正負取值，另一種是變更虛部取值（圖下半部為負-圖上半部為負）而不變更圓圖性質。二者看似對立，本質是統一的，畢竟 $e^{-j heta }$ 當 $heta =pi$ 時就能變換電抗與電納性質了。不過該問題中還是分開考慮比較方便。

第一步作輔助圓屬於第二種情況，圓圖上半部變為負電抗區域，預先完成了第一個網路元件參數取負值的過程。然而，為什麼可以沿用原來（圖上部為正電抗區域時）的標度讀取歸一化電抗值？因為標度是相對的，差值卻是絕對的。我們並未改變讀取負載 $ar Y_{L}$ 或 $ar Z_{L}$ 的方式，與此相應，旋轉180度後的「輔助圓」 $1-jar{b}$ 或 $1-jar{x}$ 也要置於相同體系中讀取某點的值，這樣才能保證差的正確。而在旋轉180前後「末減初」的方法不變，所以差值仍然能用原標度讀出。好比-8~-4與12~16，二者末減初都得4。

兩種旋轉180度的類型區分也可以解釋，為何第三步中獲取第二個網路元件參數時要取共軛值。因為先前作「輔助圓」旋轉180度後在圓圖上半部形成的負電抗區域，現在又旋轉180度移回了圓圖下半部，也就不存在「輔助圓」中預取負值的情況了。

（圖片來自參考教材：Microwave Engineering 4th edition, David M. Pozar, John Wiley & Sons, Inc, 2011033196）