關於Katok猜想

05-26

關於Katok猜想

2018年4月30日，著名數學家Anatole Katok不幸去世。

他在數學上是我的曾祖父，也就是我導師Jean Lafont的導師Ralf Spatzier的導師。但是我未曾有幸見過他，而且也永遠沒有機會了。然而對於我而言，我的很多數學思想、數學品味乃至數學審美，都很大程度上受他影響，所以我覺得自己多少應該寫點什麼。只是Katok一生涉獵甚廣，之前也有知友們詳加介紹（見如何評價Anatole Katok的數學成就？），加上鄙人才疏學淺未能通盤了解，所以只能嘗試著來介紹一下自己稍有了解的Katok猜想。

Katok猜想的敘述，我認為本質上是一種剛性定理，它詮釋了一類空間關於一類性質的獨特性。也就是說，人們發現了某些空間具有一些簡單的性質（比如說好貓會抓老鼠）後，神奇得發現，竟然只要滿足了這些簡單的性質之後，空間就只能是這樣的一類空間了（會抓老鼠的貓就是好貓）。或者說，這些性質可以完全刻畫這類空間。筆者非常喜歡這樣的結論，它往往敘述簡單而內容深刻，其美感是不言而喻的——龐加萊猜想就是這樣的例子。

那麼Katok猜想到底是說的哪一類空間以及哪一類性質呢?

1.空間——秩為1的（負曲率）局部對稱空間（rank one locally symmetric space）

局部對稱空間（非正曲率）有兩種描述方法。從微分幾何的觀點看：它是一個滿足曲率張量的共變導數為0（ $abla R=0$ ）的流形，也即曲率張量平行的流形。從李群的觀點看：它的萬有覆蓋為G/K，其中G是一個非緊半單李群，K是G的極大緊子群。

而秩為1的情形下，或者說負曲率的情形下，我們有更清楚的描述，它的萬有覆蓋可以完全分類為實雙曲空間 $mathbb H^n$ ,復雙曲空間 $Cmathbb H^n$ ,四元數雙曲空間 $Hmathbb H^n$ ,和Cayley平面 $Camathbb H^2$ 。

2.性質——兩種不變測度的熵相同

一個緊緻無邊負曲率黎曼流形M的單位切叢 $T^1M$ 上有自然的測地流 $g^t$ :一個單位向量v在 $g^t$ 作用下對應於始於v沿測地線向前流t個單位後所在的切向量。 $T^1M$ 上可以定義兩種 $g^t$ 不變測度：Bowen-Margulis測度和Liouville測度。測地流關於這兩個測度都是遍歷的，也就是說，不變集合要麼是零測度的，要麼是全測度的（詳見動力系統的基本知識：遍歷論）。

事實上，關於不變測度，它還對應了一個數值，稱為測度熵，它描述了相應測度的可測集在 $g^t$ 作用下的某種混亂程度。而在所有不變測度當中，Bowen-Margulis測度的熵是最大的，它等於拓撲熵。拓撲熵有個等價的幾何定義(體積熵)——流形萬有覆蓋 $ilde M$ 上球體積關於半徑的指數增長律，即 $h_{top}=lim_{r ightarrow infty}frac{log(vol(B(x,r))}{r}$ ，其中 $B(x,r)$ 是中心為x，半徑為r的球，而容易看出此極限與x的選取無關。而Liouville測度就是M的單位切叢上（自然誘導的Sasaki度量）的體積形式，一般來說，它的熵要小於拓撲熵。Katok猜想，Liouville測度熵只可能在局部對稱空間上達到最大可能，等於拓撲熵，並且他在1982年證明了二維情形下是對的。

所以總結來說，Katok猜想的敘述為：如果一個負曲率緊緻無邊黎曼流形M的單位切叢 $T^1M$ 上Liouville測度熵等於拓撲熵，那麼M一定是局部對稱的。

這個猜想非常難。我們系David Fisher教授曾經和我聊起這個猜想，他說他不覺得這個猜想短時間內有人能證出來。我合作者也跟我提過他曾經考慮過這個問題，清楚其本質困難所在。當然，年輕人要有鴻鵠(hao)之志，若是證出來了，哪怕是3維情形，我覺得也是不愁工作的。