六年級奧數課堂：整數問題之一(3)

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　　例5 一個七位數的各位數字互不相同，並且它能被11整除，這樣的數中，最大的是哪一個？

　　，要使它被11整除，要滿足

　　（9 7 5 b）-（8 6 a）=（21 b）-（14 a）

　　能被11整除，也就是7 b-a要能被11整除，但是a與b只能是0，1，2，3，4中的兩個數，只有b＝4，a＝0，滿足條件的最大七位數是9876504.

　　再介紹另一種解法.

　　先用各位數字均不相同的最大的七位數除以11（參見下頁除式）.

　　要滿足題目的條件，這個數是9876543減6，或者再減去11的倍數中的一個數，使最後兩位數字是0，1，2，3，4中的兩個數字.

　　43-6＝37，37-11＝26，26-11＝15，15-11＝4，因此這個數是9876504.

　　思考題：如果要求滿足條件的數最小，應如何去求，是哪一個數呢？

　　（答：1023495）

　　例6 某個七位數1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那麼它的最後三個數字組成的三位數是多少？

　　與上例題一樣，有兩種解法.

　　解一：從整除特徵考慮.

　　這個七位數的最後一位數字顯然是0.

　　另外，只要再分別考慮它能被9，8，7整除.

　　1＋9＋9＋3＝22，要被9整除，十位與百位的數字和是5或14，要被8整除，最後三位組成的三位數要能被8整除，因此只可能是下面三個數：

　　1993500，1993320，1993680，

　　其中只有199320能被7整除，因此所求的三位數是320.

　　解二：直接用除式來考慮.

　　2，3，4，5，6，7，8，9的最小公倍數是2520，這個七位數要被2520整除.

　　現在用1993000被2520來除，具體的除式如下：

　　因為 2520-2200＝320，所以1993000 320=1993320能被2520整除.

　　例7 下面這個41位數

　　能被7整除，中間方格代表的數字是幾？

　　解：因為 111111＝3×7×11×13×37，所以

　　555555＝5×111111和999999＝9×111111

　　都能被7整除.這樣，18個5和18個9分別組成的18位數，也都能被7整除.

　　右邊的三個加數中，前、後兩個數都能被7整除，那麼只要中間的55□99能被7整除，原數就能被7整除.

　　把55□99拆成兩個數的和：

　　55A00＋B99，

　　其中□=A B.

　　因為7丨55300，7丨399，所以□=3 3＝6.

　　注意，記住111111能被7整除是很有用的.

　　例8 甲、乙兩人進行下面的遊戲.

　　兩人先約定一個整數N.然後，由甲開始，輪流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十個數字之一填入下面任一個方格中

　　每一方格只填一個數字，六個方格都填上數字（數字可重複）後，就形成一個六位數.如果這個六位數能被N整除，就算乙勝；如果這個六位數不能被N整除，就算甲勝.

　　如果N小於15，當N取哪幾個數時，乙能取勝？

　　解：N取偶數，甲可以在最右邊方格里填一個奇數（六位數的個位），就使六位數不能被N整除，乙不能獲勝.N＝5，甲可以在六位數的個位，填一個不是0或5的數，甲就獲勝.

　　上面已經列出乙不能獲勝的N的取值.

　　如果N＝1，很明顯乙必獲勝.

　　如果N＝3或9，那麼乙在填最後一個數時，總是能把六個數字之和，湊成3的整數倍或9的整數倍.因此，乙必能獲勝.

　　考慮N＝7，11，13是本題最困難的情況.注意到1001＝7×11×13，乙就有一種必勝的辦法.我們從左往右數這六個格子，把第一與第四，第二與第五，第三與第六配對，甲在一對格子的一格上填某一個數字後，乙就在這一對格子的另一格上填同樣的數字，這就保證所填成的六位數能被1001整除.根據前面講到的性質2，這個六位數，能被7，11或13整除，乙就能獲勝.

　　綜合起來，使乙能獲勝的N是1，3，7，9，11，13.

　　記住，1001＝7×11×13，在數學競賽或者做智力測驗題時，常常是有用的.