同餘數 | 三角形的千年之戀

05-25

同餘數 | 三角形的千年之戀

來自專欄高斯函數精

前言：鑒於 @中國科普博覽給我送了獎品，

我決定科普做到底，把這個答案下

參與 2018 年中科院公眾科學日的活動是怎樣的體驗？ - 范函子Skyline的回答 - 知乎

https://www.zhihu.com/question/277754944/answer/396072425

當時用的講解材料整理一下，有些是因為在場受眾的問題，現場沒有來得及講。這裡直接把我的稿子放上來，根據現場情況回憶，我進行了一點補充，並且為了方便閱讀，對觀眾對話內容進行了一些調整。

希望對沒來的但感興趣的讀者有用~

不知道大家進門前有沒有抬頭看一看這個沒有被隔壁物理所插上九十周年大旗的樓頂

有心的同學會發現這樣一個標誌：

這個東東呢，就叫作「趙爽弦圖」。

小學上數學課愛看教材上的小字部分的同學都知道，弦圖是我國數學家趙爽用來證明「勾股定理」的，也是我們俗話說「勾三股四弦五」的歷史來源。

「勾三股四弦五」，這樣的直角三角形的三邊都是有理數，我們稱它為「有理直角三角形」。比較湊巧的是，這個「勾三股四弦五」的直角三角形的面積又恰好是一個整數。

下面問題來了：

這樣子的有理直角三角形有多少呢？其面積n都是些什麼樣的整數呢？

這裡給大家寫幾個我們已知的n，大家可以來找一找這些n對應的三角形的三邊，找到了，我就給你送書，年齡小的優先哈~

n=5,6（劃掉），6不行，它太巧了，就是勾三股四弦五，這不算。7,13,14,15,21,22,23……暫時就這樣么多吧。

這樣的n，我們稱為「同餘數」。事實上，關於同餘數，最早的記載其實和直角三角形沒有什麼鬼關係的。最開始，我們是在一位歷史書不願意透露姓名的人類手裡發現這個問題的。

時間大概在公元972年……好吧，這個時間太精確了，所以或者更早以前吧，一個不知名的阿拉伯的手稿留下了這樣的問題——

給定某一個整數n，求一個平方數 $gamma^2$ ，使得 $gamma^2pm n$ 都是平方數。

這樣子的n呢，我們就稱為同餘數啦~

【一名小學的小朋友：啊我知道，我們上奧數課的時候講過，就是除以一個數餘數相等吧？】

【我：嗯不是哦~這裡的同餘不是mod來mod去那個同餘哦~】

這裡的「同餘」，不是小學奧數和高聯數論那個同餘的哈，它是「和諧」的意思，英文名叫「congruent number」，congruent這個詞直譯過來是「一致的，全等的」的意思，也可以說是「吻合的」。

好的，乍一看，這種數的數量必須很少，因為這相當於找平方數的等差序列。在座即使是小學的小朋友應該也知道等差序列是什麼了吧？我就不多加解釋了，直接舉個例子！

比如我們說24是個同餘數，因為我們有：

$5^2+24=49=7^2 \5^2-24=1=1^2$

OK，兩邊啪嚓一個相除4，

$frac{5^2}{4}+6=frac{49}{4}=frac{7^2}{4} \frac{5^2}{4}-6=frac{1}{4}=frac{1^2}{4}$

則有我們剛剛說的勾三股四弦五的直角三角形面積6是同餘數，所以我們考慮同餘數，只需要考慮沒有平方因子的就好啦~

那麼問題又來了，剛才我已經提示到了，我們的同餘數n我最小的只給了一個5，為什麼1, 2, 3, 4不是呢？

接下來的八卦就直接快進到500以後了，是1220年。食堂招牌例湯的鼻祖斐波那契，嗯，差不多是那個時代最偉大的數學家。此時，同餘數的問題進化成了伽利略把球丟下去的那個城市，比薩，的八卦，更準確的說，是斐波那契和義大利國王御前學者們的八卦，總之，找到一個有理數的等差數列，其公差為5，即 $x_1^2-x_2^2=5=x_2^2-x_3^2$

事實上，5應該是剛剛我寫的那堆數里最簡單的了，大家可以一邊聽八卦，一邊嘗試自己證一下~證出來就送書啊，年齡小的優先！

其實最開始呢，斐波那契自己都沒證出來5到底是不是同餘數，但他猜想是的，卻沒給出證明。包括後面的7也是他猜的，同樣沒給證明。故事在費馬的年代被推進。

【小朋友：這個費馬是費馬大定理那個嗎？】

【我：嗯對，就是那個嫌棄空白太小寫不下證明，害得大家浪費三百年時光去彌補他的玩笑的那個費馬。】

【學生家長：那這個同餘數什麼的是不是和費馬大定理有關係啊？我看費馬大定理好像也用了勾股定理的表述。】

【我：嗯是的，有關係的，比如證明1不是同餘數的時候就等價於4次方冪的費馬大定理情況，就是這個方程 $x^4+y^4=z^4$ 沒有正整數解。不過同餘數這個應該還是跟千禧年問題中的BSD猜想，Birch and Swinnerton-Dyer，關係更緊密一點。】

【一位水平疑似較高的吃瓜群眾：你能不能講一下BSD猜想？或者介紹一下最近的進展？】

【我：哈哈，不好意思，這個恐怕不能，我不是做數論的~萬一樓上有做這個的衝下來懟我班門弄斧就很尷尬了~不過BSD猜想簡單地說就是，關於這麼一個方程 $E：y^2=x^3+ax+b$ 的有理解的情況描述，也就是關心這條橢圓曲線上的有理點的結構，目前的進展應該是能證明很多無窮族的非復乘橢圓曲線有完整BSD公式成立？應該是這樣，大概是樓上的人去年新出爐的結果？啊……這個講錯了我不負責任的，希望樓上不要有人聽到下來打我……】

【該名（不願放過我的）吃瓜群眾：無窮族的非復乘橢圓曲線是什麼？然後BSD猜想和同餘數的聯繫是什麼呢？】

【我：講清楚這個無窮族的非復乘……要扯到郎蘭茲綱領了，這個真的嚴重超出了我的能力範圍，您就放過我吧。至於跟同餘數問題的關係最主要的一點就在於，在BSD猜想成立的情況下，模8餘5, 6, 7的n是同餘數，這裡的模就是剛剛有個小朋友說的除以一個數的意思了。】

【這位水平頗高的吃瓜群眾放過了我……】

好的好的，我們接著說費馬。費馬當時使用無窮遞降法，給予出一個並不難的證明，這個證明一會我會講。

但就是這個看起來如此簡單的證明，為什麼費馬之前無人做到？用現在的話，說白了就是心態問題——數學歸納法是往上走，但費馬往下走。這就是費馬非常得意的地方。

這個方法是數學歸納法的變形方式。但是，在心理上是個更大的挑戰。要用費馬無窮遞降法，首先要給出一個度量，比如面積。

不過至此，同餘數的問題就變成了最開始我們說的那個表述：找一個面積為n的有理直角三角形。現在還沒有人做出來的話，我開始講技巧了哈~

我們可以把三邊互素的直角三角形的三邊用很簡單的公式表示出來：

$a=2pq \b=p^2-q^2 \c=p^2+q^2$

於是我們就有了構造同餘數的秘方了：

$n=frac{pq(p+q)(p-q)}{square}$

這裡的p，q只需要考慮整數，而框框是個平方數。

【一個小姐姐：啊！我知道了！你這個就相當於降維嗎？】

【我：對。本來是三個的，現在只需要找兩個了，而且只需要考慮整數範圍就好了。】

【後來此名小姐姐和她的小夥伴發現了我接下來想說的p,q和n需要有共同的素因子的事情2333】

此時，我們考慮p,q儘可能多的平方數，並且盡量讓p,q,(p+q),(p-q)能構成n的素因子即可。

——當時現場由於時間和觀眾來往的問題，我只講完了以上部分——

於是，我們現在可以複製費馬當時證明1不是同餘數的場景了。

我這裡重複一下他是怎麼證明1不是同餘數的。

使用反證法。否則，一個有理直角三角形，面積為一個平方數 $t^2$ ，上面那個關於p,q的式子中，分子的四個因子必然均為平方數。

不妨令 $p=x^2, q=y^2, (p+q)=u^2, (p-q)=v^2$ ，從而有 $2y^2=u^2-v^2$

故，存在整數r, s，使得 $(u,v)=(r^2+2s^2,r^2-2s^2)$ ，也就得到了三邊邊長為 $r^2, 2s^2,x$ 的直角三角形，其面積為 $(rs)^2<t^2$ ，根據無窮遞降法，這是不行的！

於是，1就狗帶了。

我知道在大家的印象中，說到數論問題就想mod來mod去，這裡給出兩個不（我）加（不）證（會）明（證）的定理和相關八卦，有興趣的讀者自己去找paper~

一個定理：p為素數。若 $pequiv3(mod8)$ ，則p不是同餘數，但2p是同餘數；如果 $pequiv5(mod8)$ ，則p是同餘數；若 $pequiv7(mod8)$ ，則p和2p都是同餘數。

作為一個做統計的，我比較喜歡看到方程有解，然後零解or非零解一致收斂，那就簡直棒極了！可是做數論的跟我審美就很不一樣，他們好像很喜歡看到方程無解的樣子（求闢謠），然後據說是有解的情況他萌反而不好證。聽起來真可憐……

【題外話：如果能講到這裡，目測上面提到的那名水平頗高的吃瓜群眾會戲份+max】

我們除了平方數的等差序列和有理三角形外，還有一種刻畫同餘數的方式，也就是橢圓曲線。

沿用上面的a,b, $c=sqrt{a^2+b^2}$ 表示三邊，則 $n=frac{ab}{2}$ ，令

$X=frac{n(a+c)}{b}, Y=frac{2n^2(a+c)}{b^2}$

則有橢圓曲線方程

$Y^2=X^3-n^2X$

此時，n是同餘數，則等價於這個橢圓曲線有無窮多個有理數解。

這裡我們需要搞清楚的一件事是，橢圓曲線和橢圓的曲線是兩碼事兒~橢圓的曲線，大家都知道就是 $frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$ 嘛，但這個不是喲~這個叫「橢圓曲線」。

它的來歷是這樣子的。我們都知道，橢圓是圓被一腳踩扁的嘛，然後橢圓的面積好求，但周長難求，一求的話，就會出現根號帶三次的東東。OK，高中的同學都知道，如果只是帶平方的話，我們可以用三角換元從而簡化運算，但是三次方就……狗帶了，沒戲！

可是愛折騰的數學家哪裡會善罷甘休？既然如此，那就像當初定義三角函數一樣來定義一個橢圓函數吧！

由計算橢圓周長的式子，我們得到橢圓積分 $[f(x) = int_c^x {R[t,P(t)]dt} ]$ ，其中，c是一個常數，R是由橢圓兩個參數的有理函數，P是一個無重根3或4階多項式的平方根，兩邊平方，則可定義我們的橢圓函數。如同三角函數中，正弦求導得到餘弦；橢圓函數和它導數的關係恰好是三次，而橢圓函數滿足的方程就叫橢圓曲線。

這個橢圓曲線有什麼用呢？用處多了去了！比如現在密碼學裡頭就常常用橢圓曲線來進行加密。大致的處理方式就是給定一個橢圓曲線E，然後利用它的有理解去建立密鑰。

考慮這些有理解的問題，就可以開始談龐加萊的猜想和千禧年大獎問題之一的BSD猜想了。但這些太難了，不適合今天這個場景，我更是根本講不來，就不展開了。

就這樣，謝謝大家~

□

後記：

當然，那天也和一些人講了貝葉斯，還和更小的小朋友（小學二三年級）說起了三角形內角和180°的來由，以及質因子分解唯一定理。

總之，那天我玩得很開心，好像看到了自己想要的人生的樣子。

謝謝每一個路過我眼前，願意聽我說故事的人。

這裡的參考文獻就不列了，希望在知乎上的大家也喜歡這個故事，哪怕只有其中一小段。儘管你可能不喜歡數學也不喜歡我~