旋轉中的最值，動點軌跡突破法

05-25

旋轉中的最值，動點軌跡突破法

來自專欄愛數學做數學

旋轉變換是幾何常見變換，最值問題是常見中考考點，二者融合是壓軸題常見考法，因此，如何有效突破思維障礙，解決此類最值考題，是我們在中考備考中值得研究的問題。

題目

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD為AB邊上的中線，在Rt△AEF中，∠AEF=90°，AE=AF，AF<AC，連接BF，M、N分別為線段AF、BF的中點，連接MN

(1)如圖1，點F在Rt△ABC內，求證：CD=MN；

(2)如圖2，點F在Rt△ABC外，依題意補全圖2，連接CN、EN，判斷CN與EN的數量關係與位置關係；

(3)將圖1中的△AEF繞點A旋轉，若AC=a，AF=b(b<a)，請你求出EN的最大值與最小值.

解析

(1)CD為Rt△ABC斜邊上的中線，而MN為△ABF中位線，它們都等於AB的一半；

(2)補全圖2，觀察CN與EN，尋找包含它們的全等三角形是首選思路，連接EM、DN，發現△EMN與△NDC，藉助第1小問的結論證明方法，可同樣證明CD=MN，同時EM為Rt△AEF斜邊上中線而DN為△ABF中位線，可得ND=EM，然後觀察∠FMN、∠FAB、∠NDB，利用平行線同位角相等轉換，最後∠FMN=∠NDC，兩邊同時加上90°角，得∠EMN=∠NDC，於是這兩個三角形全等，判斷CN=EN；

(3)當△AEF繞點A旋轉時，線段EN的兩個端點均隨之運動，因此很難確定它的最大值與最小值，但在前一問中，我們證明了EN與CN相等，在旋轉過程中，它們的等量關係一直保持，因為包含它們的△EMN與△NDC雖然位置改變了，但全等的條件沒變，所以求EN的最值等同於求CN的最值；我們轉而觀察線段CN的變化，它卻只有一個端點隨之變換，即N點，另一個端點C是定點，同樣在前一問中，我們連接了DN，它是△ABF中位線，本小問中，它依然是中位線，恰好等於AF的一半，題目條件中，AF=b，所以DN長為定值，同時點D為定點，到定點的距離等於定長，聯想到圓，於是我們可以確定點N始終在以點D為圓心，DN為半徑的圓周上；

知道點N的運動路徑，剩下問題就好處理了，CN這條線段，射線CD與⊙D最近的交點和最遠的交點，即為所求的N點位置，CD=√2/2a，而半徑為b/2，最小值為它們的差，最大值為它們的和。

解決此類問題，要學會將動點問題進行轉化，兩個端點均在動，先轉化成一個端點運動，再去尋找運動中的不變數，例如定點和定長，從而確定動點運動軌跡，在軌跡中尋求最值。