排列組合——最常用的7種計數方法

排列組合——最常用的7種計數方法

老徐寫在前：

很多同學在學習數據分析這一模塊後，都有一個共同的感覺，那就是「難」，「難」，「難」，老徐覺得，之所以給人的感覺是難，主要原因還是這一模塊的題目靈活多變，好像給人的感覺是每一個題目都是自己沒有學過的。但是，其實我們還是沒有掌握其精髓，所以老徐今天這篇文章，就給大家總結一下排列組合最常用的7種計數方法以及其解題關鍵點。如果對你有幫助，請點贊。

一、窮舉法（枚舉法）

適合題目類型：

①答案選項數字偏小或者題目中總數較小——10個左右；

②骰子問題。（一枚骰子6種情況，2枚骰子36種情況）

注意事項：

枚舉法是最簡單也是最容易出錯的方法，所以在枚舉時要按照一定的規律去列舉，切不可想到一種列一種，這樣容易列少或者列多。

舉例：

【鞏固練習】（答案在文章最底部留言處）

二、捆綁法

適合題目類型：

「相鄰」或「在一起」的排列組合問題

注意事項：

對於某幾個要求相鄰的排列組合問題，可將相鄰的元素看做一個「元」與其他元素排列，然後對「元」的內部進行排列。

舉例：

【鞏固練習】（答案在文章最底部留言處）

三、插空法

適合題目類型：

「不相鄰」或「不在一起」的排列組合問題

注意事項：

對於某幾個元素不相鄰的排列問題，可先講其他元素排好，再將不相鄰的元素在已排列好的元素之間空隙中及兩端插入即可。

舉例：

【鞏固練習】（答案在文章最底部留言處）

四、隔板法

適合題目類型：

處理相同的東西分給不同的人，每人至少一個的排列組合問題。

注意事項：

隔板法就是在n個元間的n-1個空中插入若干個隔板，可以把n個元素分成（n+1）組的方法，應用隔板法必須滿足三個條件：

（1）這n個元素必須互不相異；

（2）所分成的每一組至少分得一個元素；

（3）分成的組彼此相異。

基本公式：n個元素產生n-1個空，分成m組，插入m-1塊板，所以總數為

。

舉例：

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五、分組除序法

適合題目類型：

處理不同的元素分給不同的組的排列組合問題。

注意事項：

不同的元素分給不同的組，如果有出現人數相同的這樣的組，並且該組沒有「名稱」，則需要除序，有幾個相同的就除以幾的階乘，如果分的組有名稱，則不需要除序。

舉例：

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六、特殊元素優先安排

適合題目類型：

對於帶有特殊元素的排列組合問題，一般應先考慮特殊元素，再考慮其他元素。

注意事項：

根據題目找到「特殊元素」，這才是解題的切入點。

舉例：

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七、正難反易法

適合題目類型：

對於一些直接求解較為複雜的問題，從正面入手很難解決，這時可從反面入手，從而將其轉化為一個簡單的問題來處理。

注意事項：

要能夠準確的找到一些問題的反面，比如「至少一個」的反面是「一個都沒有」等等。

舉例：

【鞏固練習】（答案在文章最底部留言處）

注意本題是豪華游5種。

以上內容來源於微信公眾號《老徐講數學》，答案在微信公眾號上公布，如有問題請聯繫老徐。

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