我們第一次接觸到的大型符號——連加號

05-25

我們第一次接觸到的大型符號——連加號

數學是無窮的科學。——外爾

我想連加號 $sum$ 應該是我們首次接觸到的大型符號，我們對它應該是既熟悉又陌生的。

1.求和符號的若干性質

我們通常記 $a_1+a_2+cdots+a_n$ 為 $sum_{i=1}^na_i$ ，這裡的 $a_i$ 稱為求和通項， $i$ 稱為求和指標， $i$ 會有一個取值範圍，比如 $i=1,2,...,n$ ，這個取值範圍有可能是一個集合 $I$ ，求和指標與字母的選取無關，也就是說上面的式子也可以記為 $sum_{j=1}^na_j$ .

①有的式子沒有標明求和指標的取值範圍，如 $sum_i x_i$ ，這種情況指的是求和是無窮多項或者是那些有意義的項之和；

②有的式子求和通項沒有求和指標，此時也要求和，如 $sum_{i=1}^3a=a+a+a=3a$ 。

③雙重連加可以交換順序：

$sum_{i=1}^msum_{j=1}^n a_{ij}=sum_{j=1}^nsum_{i=1}^ma_{ij},sum_{i=1}^msum_{j=1}^na_ib_j=sum_{j=1}^nsum_{i=1}^ma_ib_j$

④當雙指標之和為常數時：

$sum_{i+j=n}a_ib_j=a_0b_n+a_1b_{n-1}+cdots+a_nb_0$

⑤當雙指標之和變化時：

$egin{split} sum_{n=0}^msum_{i+j=n}a_ib_j&=a_0b_0 \&+a_0b_1+a_1b_0) \&+(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0) \&+ cdots \&+(a_0b_n+a_1b_{n-1}+cdots+a_nb_0) end{split}$

這個是不等於 $(sum_{i=0}^na_i)(sum_{j=0}^nb_j)$

⑥設 $i,j$ 指標最大值都為 $k$ 時：

$sum_{i eq j}a_ib_j=(sum_{i=0}^ka_i)(sum_{j=0}^kb_j)-(sum_{i=0}^ka_ib_i)$
$(sum_{i=0}^ka_i)(sum_{j=0}^kb_j)=sum_{i=0}^ka_ib_i+sum_{i e j}a_ib_j$

⑦當指標數涉及3個時，求和指標可以分解合併：

$sum_{i+j+k=r}a_ib_jc_k=sum_{i+t=r}sum_{j+k=t}a_ib_jc_k$

$egin{split} sum_{i+j+k=r}a_ib_jc_k=a_0sum_{j+k=r}b_jc_k+a_1sum_{j+k=r-1}b_jc_k+cdots+a_rsum_{j+k=0}b_jc_k end{split}$

$(sum_{i=0}^na_i)(sum_{j=0}^nb_j)=sum_{i+j=0}^na_ib_j$

$(sum_{i=0}^infty a_i)(sum_{j=0}^infty b_j)=sum_{i+j=0}^infty a_ib_j$

這些性質其實是顯然的，但是在最終運用的過程中其實也不簡單。

2.數論中經常出現的求和

①在 $n!$ 的標準分解中，素因子 $p$ 的指數： $h=sum_{r=1}^inftyleft[ frac{n}{p^r} ight]=left[ frac{n}{p^1} ight]+left[ frac{n}{p^2} ight]+cdots$

②兩個數論函數 $f(x),g(x)$ 的Dirichlet乘積或卷積： $f*g=sum_{d|n}f(d)g(frac{n}{d})$

③若 $F(n)=sum_{d|n}f(d)$ ，則有 $f(n)=sum_{d|n}F(d)mu(frac{n}{d})$ ， $mu$ 為Mobius函數，稱 $f$ 為 $F$ 的Mobius反演。

④由於很多數論函數規律性不強，所以會考慮它的算數平均值： $ar{f}(n)=frac{1}{n}sum_{mleq n}f(m)$ ，比如我們有 $d(n)=frac{1}{n}sum_{m=1}^nd(m)simmathrm{log}n$ , $d(n)$ 表示 $n$ 的因子個數。

⑤設 $x>0,p_1,p_2,cdots,p_s$ 為前s個素數， $phi(x,s)$ 表示不超過 $x$ 且不被 $p_i$ 整除的自然數的個數，則 $phi(x,s)=sum_{nle x}sum_{d|(n,p)}mu(d)=sum_{d|p}mu(d)sum_{nle x\d|n}1=sum_{d|p}mu(d)left[frac{x}{d} ight]$

⑥設 $x>1$ , $sum_{nle x}mathrm{log}~n=xmathrm{log}~x-x+O(mathrm{log}~x)$

⑦素數計數公式

$p_n=1+sumlimits_{m=1}^{2^n}lfloor lfloor frac{n}{1+pi (m)} floor^{frac{1}{n}} floor$ ，其中 $pi (x)=-1 +sumlimits_{k=1}^x F (k)$ 是小於等於x素數的個數， $F(n)= lfloor cos^{2} lfloor pidfrac{(n-1)!+1}{n} floor floor$ 或者 $=lfloor dfrac{n! mod (n+1)}{n} floor$ （雖然這個公式沒什麼用）