聲子偏振子 (phonon polariton)

05-25

來自專欄 Issue的科研筆記

這學期的期末大作業做的是聲子偏振子，在整理做ppt之前先用母語打一遍草稿吧233333（傳說中的寫英文報告之前用中文寫再翻譯避免抄襲大法好……）

偏振子(polariton, 但願是這個翻譯，並不確定……)是由電磁波和材料中的某種「激發」強耦合產生的一種粒子，例如聲子與光子強耦合產生的聲子偏振子(phonon polariton)、激子與光子強耦合產生的激子偏振子(exciton polariton)等等。這裡要注意區分偏振子和極化子(polaron)，前者是玻色子，而後者是費米子(例如電子和光子的強耦合)，描述存在很大的區別。學識有限，以下我們只考慮聲子偏振子。

本文將從經典的電磁學推導出發，得出由於聲子偏振子而帶來的反常色散曲線。接著，本文使用Hamiltonian將光學模和聲學模本徵值分解（類似於二次量子化），得出完全一致的結論，並將聲子偏振子與腔光力學(cavity optomechanics)系統中的強耦合建立聯繫(exactly the same)。接著本文將討論由聲子偏振子產生的一些有意思的現象和可能的應用，例如LO-TO模式分離、偏振子-光子晶體、表面聲子偏振子以及聲子偏振子的聲子對應。

這麼長大概沒人看吧……希望我的這麼少工作量的作業期末能混過去啊Orz……弱雞到期末覺得心力交瘁四處漏風要猝死了……

1. 傳統的電極化推導方法

我們首先從最傳統的固體物理課本[1]出發。讓我們假設有一個離子晶體，晶體中的離子永遠處於無休止的振動狀態……由於我們希望離子的振動與光子能夠達到強耦合，因此振動的能量和動量最好和光子相似。為了達到與光子相似的能量，我們不得不考慮頻率更高的聲子——光學聲子(THz數量級，與紅外光的頻率相當)，材料中聲學聲子的振動頻率太過緩慢，一般無法直接與光子發生耦合。對於THz的光子，可以計算出來它的波矢( $k=omega / c$ )十分小，因此我們可以放心大膽的使用長波近似進行以下討論啦～

首先從最簡單的雙離子晶體——NaCl出發。在外加電場 $E=E_0 e^{jωt}$ 的作用下，晶體中的一個離子的運動方程可以寫為：

$Mddot{u}+Mω_T^2 u=qE$

因此我們可以算出由這個過程所導致的電極化強度 $P=Nqu=frac{Nq^2}{M} frac{1}{(ω_T^2?ω^2 )} E$ 。由最終的電場 $D = epsilon(omega) E = epsilon(0) E + P$ ，可以得到：

$epsilon(omega)=?(∞)frac{ω^2?ω_L^2}{ω^2 - ω_T^2}$

以及大名鼎鼎的LST關係：

$frac{ω_L^2}{ω_T^2}= frac{?(0)}{?(∞) }$

由這個可能為負數的介電常數 $epsilon(omega)$ ，可得到這個漂亮的色散曲線，曲線之中 $omega_T - omega_L$ 的區域將會產生純虛數的折射率，成為一個「偏振子禁帶」(Reststrahlen band)，帶來很多有意思的現象：

聲子偏振子色散曲線[2]

2. 漢密爾頓量推導

上面的推導實在太經(wu)典(liao)了……作為一個會特徵值分解的少年，自然應嘗試一下使用類似於「量子化」的方式推導出同樣的結論。本文謹參考Hopfield model[3]進行一系列計算，此外還參考了[4]。

根據Hopfield model(沒錯就是那個遞歸神經網路的Hopfield，他老人家是物理教授出身 )，我們可以將這個系統看作一群(N個)諧振子們和光場的相互作用，由此可以列出它的總能量應該是

$H=sum_{l=1}^N left[ frac{p_l^2}{2m}+frac{m omega_T^2}{2} x_l^2 ?e x_l ??(r_l) ight] + frac{1}{2mu_0} int dr^3 B(r) cdot B(r)+frac{1}{2epsilon_0 }int dr^3 D(r) frac{ 1}{epsilon(r)} D(r)$

使用特徵模分解的方法，我們可以把這個很麻煩的漢密爾頓量寫作（這個部分可以參考我之前的一個知乎回答或者直接看論文吧hhhh）：

$H=sum_{l=1}^N omega b_l^* b_l ?frac{e}{sqrt{2} eta } (b_l + b_l^* )E(r_l )+sum_lambda sum_k ck a_{lambda k}^* a_{lambda k}$

$lambda$ 代表偏振方向。通過一系列神乎其技的化簡以後，我們可以得到如下式子：

$H=sum_lambda sum_k omega b_{lambda k}^* b_{lambda k } + ck a_{lambda k}^* a_{lambda k} + const imes (b_{lambda k} a_{lambda -k}+b_{lambda k}^* a_{lambda k} - b_{lambda k}^*a_{lambda -k} ^*- b_{lambda k} a_{lambda -k}^* )$

這個式子格外的眼熟，讓人一秒就想到腔光力學的那個經典方程[5]：

但這裡有一點點小區別：由於腔光力學中的聲子振動頻率較小，事實上在腔光力學系統之中，與聲子產生強耦合的是泵浦光和信號光的拍頻！如果把這個拍頻換成在我們體系之中的電磁波，把那個能量弱爆了的聲子換成我們體系之中的棒棒噠光學聲子，其實我們的系統和腔光力學系統並沒有什麼區別，強耦合的腔光力學系統其實也就只是一個聲子偏振子罷了。

由於我們處於強耦合狀態，不能直接認為相互作用前後的光子模和聲子模不變: 過強的耦合將使得兩個模式融合在一起，它們各自攜帶對方的信息，此時rotating wave approximation將完全不再適用。為了算出我們未來系統的本徵值，我們可以將此時的漢密爾頓量對角化，成為如下形式：

$H=sum_lambda sum_k [ Omega_+ (k) c_{lambda k}^dagger c_{lambda k} + Omega_- (k) c_{lambda -k}^dagger c_{lambda -k} ]$

$Omega_pm$ 可以直接通過原來的哈密爾頓量算本徵值直接求出，經過比對可以發現和經典方法所得到的完全一樣。這個時候的新模 $c_{lambda k}$ 相當於是光子模和聲子模的融合，當 $omega$ 遠離 $omega_T$ 和 $omega_L$ 這兩個特殊量時，可以認為新模約等於純粹的光子模（或聲子模），即此時的耦合量過小，對於系統的影響可以忽略不計。

事實上，這個問題可以用量子力學之中的「反交叉」原則(avoided crossing / anticrossing)來解釋：對於一個雙能級的系統，如果我們給漢密爾頓量加兩個非對角項的微擾，那麼新的漢密爾頓量本徵值(即新的能量)將可以計算如下：

圖片來自wiki

由圖中我們可以看出，隨著微擾w的升高，雙能級的交叉會得到避免，且越走越遠；當微擾為0時，兩個能能級將會相互交叉。這個原理會帶來一個特別有意思的現象，我們在下一節會進行仔細分析。

3. LO-TO分離

考慮兩個結構相似的晶體：金剛石和BN。兩者的能帶結構卻十分不相同（紅色圓圈處）：

圖片來自某網路課件，找不到reference

這個問題並不trivial。根據理論計算，金剛石型的立方晶體結構要求LO模和TO模在 $Gamma$ 點處簡併，即BN之中的LO模和TO分離本應不可能發生。該如何解釋這個現象呢？若在「放縮」到其他參數一致的金剛石和BN之中考慮長波縱模，因為BN是極性材料，在縱模的振動過程之中，將會有電偶極子被不斷產生和消滅，電偶極子和電偶極子的相互作用會帶來額外的能量，然而橫模就不存在這個問題，於是BN的橫縱模就會分離了……

然而金剛石不是極性材料，它並不存在這個問題。

我們也可以從「反交叉」原則來理解這個問題：在非極性物質之中，對於漢密爾頓量的非對角微擾將會消失，此時的能級必然相交如上上圖……

如果想更定量的去算的話，這個問題是density functional perturbation theory之中的一個經典問題，可以去看看……由於我弱智，沒看懂= =

4. 偏振子-光子晶體

嗯，這個部分是讓我最感興趣的一塊了！光子晶體本身就會產生禁帶，而偏振子又會給它帶來額外的禁帶，兩種禁帶加在一起，事情就會變的interesting起來～

下圖是經計算得到的一維CsI偏振子-光子晶體的能帶：

該一維晶體的結構為CsI-空氣-CsI，且晶格周期為6um[6]

這個圖中有三個很有意思的地方：

1) 在 $omega_T$ 下方的平帶

我們可以由LST關係得知，當頻率趨近於 $omega_T$ 時，介電常數趨向於正無窮，即折射率n也會趨向於正無窮。由此，在CsI與空氣的交界處，反射率 $R= left| frac{n-1}{n+1} ight|^2$ 趨向於1，即所有的波都會被反射回來集中在介質之中(對於 $n<infty$ ，會有少量光場泄漏到空氣之中，從而使得相鄰的介質塊得以互相耦合)。此時介質之中只能存在駐波， $omega_m = frac{m pi c}{nd} = frac{m pi c}{sqrt{epsilon(omega)} d}$ ，形成在偏振子禁帶下方的一系列平帶。

2) 在 $omega_L$ 附近出現的禁帶中的模

可以將這個模理解為因為空氣造成的缺陷而在偏振子材料之中形成的新模。該模會在介質之中衰減。

3) 在 $omega_L$ 附近出現的「透明點」

這個點對應於介電常數為1的點，可以通過人為調控晶體的結構、晶體的材料等改變位置，從而改變這個點的折射率改變速度。

當把以上的一維晶體變成二維晶體，可以調控的量就會更多，可以產生一些有趣的現象。

5. 表面聲子偏振子 (surface phonon polariton, SPhP)

由於SPhP的存在，使得介電常數可以為負，這不禁讓人想起了」表面等離激元「(surface plasmon, SPP)的產生。表面聲子偏振子的色散關係如圖：

圖片來自[7]，是SiC材料與空氣的接觸面

當一束頻率處於偏振子禁帶之中的電磁波打到材料上時，能夠激發材料表面的離子與電磁波共振，但由於此時的介電常數為負，該聲子偏振子將無法向材料深處傳播，形成SPhP，色散關係如圖。與SPP相比較，由於SPhP的損失主要來自於光學聲子的散射，而SPP的損失主要取決於自由載流子的壽命，因此SPhP的損失更小，壽命更長(ps量級)。此外，SPhP的波長更長，與主要在可見光和近紅外的SPS不同，它的波段集中在中紅外。

6. 偏振子間的相互作用

事實上，一些常見的非線性現象，例如二次諧波產生、和頻產生等等，其實如果發生在THz波段，都需要考慮偏振子對於結果的影響。由於色散曲線存在兩支，相位匹配將不會是普通的近乎線性的關係，而可能是不同支的點的相互疊加。這些情況都要具體計算具體分析。

一個尤其有趣的點是雙光子吸收。在吸收兩個光子以後，被激發到導帶的電子和禁帶中生成的空穴形成激子，而這個激子又可以和光子耦合形成激子偏振子(exciton polariton)，最終這個過程可以看作三個偏振子之間的相互作用！對這樣的情況，光的色散曲線需要重新討論。

7. 碎碎念

看文獻[2]看到一個很有意思的想法。聲波的方程和光波其實是幾乎完全一致的，二者二次量子化後的結果分別是聲子和光子，也都是玻色子。因此上面的所有討論都可以直接類比到材料之中的聲學聲子上去……當材料之中有某種「激發」的頻率和波矢達到和聲學聲子相似的量級，以至於形成強耦合時，也將形成屬於聲子的偏振子。

一個比較典型的例子，大概就是磁振子和聲子的相互耦合了……二者都是玻色子，強耦合時的方程和前面的推導一模一樣，不過如果這樣說的話那所有的強耦合其實都是一樣的= =這個topic太大了估計得再做好幾個project才能看懂呢……

Reference:

Kittel, Solid State Physics.
D L Mills, Polaritons: the electromagnetic modes of media, 1974, Rep. Prog. Phys 37 817
J J Hopfield, 1958, Phys. Rev. 112, 1555
A R Navin, 2006, PHYSICAL REVIEW A, 73, 063808
Markus Aspelmeyer, 2014, Rev. Mod. Phys. 86, 1391
K C Huang, 2003, PHYSICAL REVIEW B, 68, 075209
J D Caldwell, Low-loss, infrared and terahertz nanophotonics using surface phonon polaritons, 2014, Nanophotonics

***** 最後的最後……借知乎吐一下槽，都不敢發微信了……真的有人讀博讀的我這麼爛嗎？覺得周圍的人都發paper開會的就差上天了，而我連英語和期末考試這兩項最basic的東西都搞不定，每天都活在極度的自我厭惡之中，簡直懷疑自己的智商在決定讀博的那一刻和自信一起私奔了……

事情不會靠無數的雞湯好起來……每天睜開眼想到沒做完的一系列事情都希望永遠睡死過去……