隨筆：形象理解帕斯卡法則

在學習排列組合的時候，十有八九會遇到二項式公式（二項式展開），如果使用數學歸納法證明，會用到帕斯卡法則（Pascals Rule）。 在很多教材中，帕斯卡法則的解釋都交給了楊輝三角形。然而，這種看似「形象」的解釋還是不能夠讓我們有一個形象的認識，很多人依然想不通為什麼是這樣的。本文首先用小部分篇幅介紹一下帕斯卡法則（知道此公式的讀者可以跳過），以及後半部分對這個公式的形象化解釋。

本文需要基本的排列組合數學相關知識。

一. Pascals Rule（帕斯卡法則）

帕斯卡法則是一個在組合數學上關於二項式係數的恆等式，它說明 :

其中 表示Combination。也就是排列組合中的組合。

二. 筆者本人對此法則的粗淺理解

接下來就是本文的主要內容了。如何去形象地理解這個法則。

首先為了方便解釋，我先創立一個情景：假設有 個陳獨秀，現在要拎出 個，組成獨秀團，去買橘子。（獨秀團就是一個有 個陳獨秀的集合）。

然而，這 個陳獨秀中，有一個被李大釗叫去蹦迪了。於是現在我們只有n個陳獨秀了。如果我們現在要從這n個陳獨秀中選人組成獨秀團，毋庸置疑，由於那一個陳獨秀的缺席，可供選擇的組合少了，原先的組合數是 ，現在少了那一位陳獨秀，組合數變成了 。

那麼到底少了多少個可供選擇的組合呢？先別急，我們這樣想。我們現在從這n個陳獨秀中，隨便拎出 個陳獨秀，和那個被李大釗叫去蹦迪的陳獨秀一起，剛好能組成一個獨秀團。換句話說，在原先還有 個陳獨秀的時候，所有包含這個被李大釗叫去蹦迪的陳獨秀的獨秀團，因為那一個陳獨秀的缺席，全部解散了。所以說，少掉的組合就是原先包含這個蹦迪的陳獨秀的組合。而蹦迪獨秀可以和 個陳獨秀中任意 人組成獨秀團，如此，很明顯，少掉的組合數就是 。

至此，整理一下， ，移項得帕斯卡法則：

。

三. 寫在最後

這篇隨筆主要是分享筆者對帕斯卡法則的一些理解。其實數學中，有很多東西無法去形象直觀地想像出來。能直觀地去理解的東西自然是最好，若不行，那就學會去適應它。最後，本人對陳獨秀先生表示尊重，文中僅為舉例，無惡意。

推薦閱讀：