聊聊素數，與孿生素數，
來自專欄 名校公開課筆記
什麼是素數。
素數是我們小學就學習過的數學概念。
素數是指在大於1的自然數中，除了1和該數自身外，無法被其他自然數整除的數。 否則稱為合數。
人們經常把它類比成化學中的基本元素，化學中有100多種基本元素，這些基本元素可以構成我們這個色彩繽紛的世界。比如 兩個氫原子和一個氧原子可以構成水分子， 甲烷就是 一個碳原子和四個氫原子
等等。同樣的道理，一個大於1的自然數，要麼是素數，要麼是幾個素數的乘積。在數論中，還有一個概念，任何一個合數，都可以分解成幾個素數的乘積，而且合數的因數分解是唯一的。這個理論非常重要，它更加明確的確立了素數在數論體系中的地位，就像水分子只能分解為兩個氫原子和一個氧原子，一個合數，只能分解為唯一的一組素數的乘積。比如 120 只能分解為 2*2*2*5*3。
關於這個因數分解的唯一性的證明，可以參考 加州理工大學Tom Apostol 教授的數學分析，第二版的第六頁。
素數有多少呢？
這問題早在約公元前300年時，就已被歐幾里得解決。他發現素數有無窮多個。而且證明起來也非常巧妙。
不妨假設我們目前發現了 m 個素數，（2， 3， 5， 。。。pm ）
現在考慮它們的積再加1 ： （2 * 3 * 5 * … .. * pm + 1），
這是一個比剛才已經發現的m 個素數都大的數，也是一個自然數。它是素數嗎？
如果是，那我們就得到一個新的素數。注意一下，這裡構造出來的數 （2 * 3 * 5 * … .. * pm + 1），和剛剛已知的最大素數pm 之間其實還是會有其他素數的。比如 假設我們目前只知道2 ， 3，5 這三個素數，通過剛剛的公式可以得到 2*3*5+1=31 ， 31 是一個比我們已知的2 和3 還大的素數，但是在已知素數（2， 3，5）和求得的素數（31）之間，7，11， 13， 23，等等也是素數。
如果不是，那麼 既然這個數按照定義不能被 那些m 個素數整除，必然存在其他的素數，可以整除它，所以還是會存在新的沒發現的素數。比如，目前我們發現2，3，5，7，11，13 這幾個素數，然後通過 2x3x5x7x11x13+1=30031，我們發現30031 不是素數，但是30031不能被 2，3，5，7，11，13 整除，所以必然存在其他素數。結果我們發現 30031=59*509. 所以我們還是可以發現新的素數。
如何尋找素數，
化學家不斷的尋找和製造新的元素，數學家也想尋找更多的素數，
同為古希臘數學家的埃拉托色尼，給出了一個比較省力的演算法，後人稱之為埃拉托色尼篩法。
首先，列出從2開始的數。然後，將2記在素數列表上，再划去所有2的倍數。根據定義，剩下的最小的數——在這裡是3——必定是素數。將這個數記在素數列表上，再划去所有它的倍數，這樣又會剩下一些數，取其中最小的，如此反覆操作。最後剩下的都是素數。
這個是非常笨的方法，
當古希臘人用這種方法計算出長長的素數列表時，他們也許也曾驚異於素數分布的秩序缺失。這些自然數的組成單元，在自然數中的排列卻毫無規律，時而靠近，時而疏遠。而隨著數目越來越大，相鄰素數之間的距離似乎也越拉越長。
比如，100以內有25個素數（25%），而100萬以內的素數只有7.85%。
在無限延伸的自然數集中，向無窮的地平線望去，雖然仍有無窮的素數，但它們似乎也愈變孤獨。
沒錯，你聽的沒錯，人們用孤獨來形如 素數出現的頻率，雖然數字越大，素數出現的情況越少，但是它依然義無反顧奔向無窮。
高斯在15歲的時候，給出了一個簡單的描述素數分布規律的公式，
一個個地看，素數在正整數中的出現沒有什麼規律。可是總體地看，素數的個數竟然有規可循。對正實數x，定義π(x)為素數計數函數，亦即不大於x的素數個數。數學家找到了一些函數來估計π(x)的增長。以下是第一個這樣的估計。 π(x) = x/ln(x) 這個只是一個簡單的估計。
素數有什麼規律嗎？
既然知道素數有無窮多個，也知道越大的時候，出現的情況越少，那他有什麼規律嗎？
首先，除去 2， 3， 5， 7 等等這些比較小的人們不去考慮，對於大的素數，它肯定是以 1 ， 3， 7， 9 這四個數字結尾，比如 11， 17， 13， 19，開始人們認為這四個數字出現的概率是相等的。
但是漸漸大家發現情況不是那麼簡單。
斯坦福大學發現 素數也有自己的偏愛。 他們研究了前10億個素數，發現 如果一個素數以1 結尾
XX1， 那麼下一個素數，18% 是以1結尾，30% 是以 3結尾，30% 是以7結尾，22% 是以9結尾。
後來他們又研究了超過4000億個素數，發現了同樣的規律，素數討厭自我重複，大家可以看一下他們的研究。
論文標題：UNEXPECTED BIASES IN THE DISTRIBUTION OF CONSECUTIVE PRIMES
論文地址： https://arxiv.org/abs/1603.03720
孿生素數 素數成對出現？
最後給大家補充一個概念，孿生素數，
孿生素數（也稱為孿生質數、雙生質數）是指一對素數，它們之間相差2。例如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959等等都是孿生素數。
與之相關的，兩者相差為1的素數對只有
(2, 3)；兩者相差為3的素數對只有 (2, 5)。那麼相差2 的孿生素數有多少呢？目前的猜想是無窮多個，這個就是著名的孿生素數猜想
這個猜想正式由希爾伯特在1900年國際數學家大會的報告上第8個問孿生素數猜想題中提出，可以被描述為「存在無窮個孿生素數」。
這個猜想之所以非常奇妙是因為它會給人一種違反直覺的感覺，因為我們已經知道，隨著素數的增大，素數變得越來越稀少，所以直覺是兩個素數應該相差越來越大，但是數學就是這麼奇妙，在整體越來越稀少的情況下，
還是會出現 孿生素數，他們僅僅相隔2，比如 10016957和10016959 甚至更大，截至2016年9月為止，已知最大的孿生素數為 2996863034895 · 2^(1290000 ) ±1，此數有388342位目前素數的研究已經非常深入，而且也廣泛用在生活中，比如密碼學裡邊用了大量的素數知識，還有電子貨幣領域。
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