回曆、公曆、農曆的換算

回曆、公曆、農曆的換算

　　研究世界伊斯蘭教歷史，免不了要對以回曆所記載的歷史事實換算為公曆，或將所載的公曆換算為回曆。《回曆綱要》、《曆法叢談》、《萬年曆譜》以及《回回天文學史研究》[1--4]等專著都載有自回曆換算為公曆的算式，並稱兩歷因閏年的時間不同，故換算結果常有一日之差，惟均未討論一日之差的簡易訂正方法。1998年《北京大學學報》（自然科學版）載文討論了中國農曆與公曆、回曆的換算問題[5]。惟筆者依上列著作中所列算式推算結果；發現與實際所載日期誤差常大於一日，最高可達十日之多。因此有必要對計算中誤差的來源及計算公式的改進進行探討，特撰此文。

　

一、國曆換算為公曆

　

　　1．換算公式的導出

　　公曆每年365．242 199074075 日 （簡化為365．2422日），而回曆每年為354．367074375日（簡化為354．36707日），所以回曆一年只相當354．36707/365.2422=0.970223或0．970224個公曆年。又回曆元年元旦定在公元622年7月16日，由於當時曆法在推算上的誤差，致當時的7月16日，按現代的公曆應改為7月19日，自公元某年元旦至該年7月19日已達200日．相200/365.2422=0.5476公曆年；又因到回曆二年元旦才達到0．970224個公曆年，故自回曆紀年元旦換算為公曆的算式即為：

　　（回曆紀年一1）× 0．970224＋622．5476年

＝所求公曆年月日……………………………………………………………………………（1）

　　或 回曆紀年 × 0．970224＋621．5774年

＝所求公曆年月日……………………………………………………………………………（2）

　　式中621．5774來自622．5476－0．970224。

　　如所求某一歷史事實不在回曆元旦時，可將事實經過本年的總日數化為回曆年，加人回曆紀年總數中即可。

　　然而上列公曆一年的總日數，實際上是一回歸年的實測數，因現用公曆每年的日數實為365．2425日，它與一回歸年的日數只能是基本相符，到公元四千多年後會再出現一日之差。

　　實際上在明萬曆十年九月十八日，回曆990年9月16日，公元1582年10月4日前（包括4日）的公曆稱儒略曆，儒略曆每年365．25日，它每年與一回歸年的差值遠大于格列高利歷即現代的公曆，大約歷128年就需多閏去一日，至萬曆十年已經多閏出十日了。因此，對於儒略曆時期的回、公兩歷換算，不能仍採用（l）、（2）兩式，而需依儒略曆的年實際日數將上列二式略加修正即可，結果如下：

　　（回曆紀年一l）× 0．9702＋622．5393

= 所求公曆年月日……………………………………………………………………………（3）

　　回曆紀年 × 0．9702＋621．5691

= 所求公曆年月日…………………………………………………………………………（4）

　　式中0．9702為354．36707／365．25所得結果，而0．5393則系公曆某年元旦至其7月16日的總日數197被365．25日除之所得，622．5393－0．9702= 621．5691。

　　現將兩種算式自回曆第52年起，每隔百年所算得的公曆年月日列人下表：

　　

　　國曆換算為公曆

　　自表列計算結果得知，曆法不同不能用同一算式，否則誤差大大。萬曆十年前即已發現儒略曆的春分所在日期與實測結果相差較大，至萬曆十年已差十日，因此格列高利第十三就決心修改儒略曆，改革內容有兩點，其一，將公曆1582年10月4日之後一日原應為10月5日而改為10月15日，而星期序數不變，即該年10月4日為星期四，10月15日理應為星期一，實為星期五；其二，儒略曆每四年有一個閏年，四百年有百閏，格列高利歷仍保持儒歷四年一閏的傳統，但每四百年僅安排九十七個閏年，四百年中逢百年不閏，到第四百年加一個閏年[6]。儒歷與格歷的歲實分別為：

　　儒歷（365 ×300＋366 ×00）÷ 400年＝365．25日/年

　　格歷（365 × 303＋366×97）÷ 400年＝365．2425日／年而《明史·歷志》所載的回回宮分歷（太陽曆），一百二十八年閏三十一日，其歲實：

（128 × 365＋31）日÷ 128年＝ 365．2421875日/年

　　可見共置閏精度遠高於現代的公曆。

　　2．換算中一日誤差之訂正

　　《曆法叢談》以回曆1387年為例，求算合公曆之年月日。

　　解1：1387 × 0．970224＋621．5774＝1967．278088年

0．278088年 × 365．2422日＝101．569日公曆累計日數為101．57日可視為4月11日或4月12日。究竟是哪一日，當依兩歷在公曆4月11日或12日間所具有同一的星期序數以訂正。

　　依回曆歲首星期序數計算公式：

　　[（138－1）×131＋164] ÷30＝6057，餘20

　　6057÷7＝865，余 2

　　故回曆1387年元旦為星期2。（表）

　　按公曆自1583年元旦（星期六）至1967年4月11日，共歷：

1967－1583＝384年，在這384年中依格列高利歷四年一閏，百年不閏，四百年加一閏日的規則共歷93個閏日，又1967年元旦後一日起至4月11日又需加 100日，則

　　（384 × 365＋93＋100＋6）÷ 7＝140359＋7＝2001，余 2餘2即星期2，故回曆1387年元旦在公曆1967年4月11日。

　　因公曆計算星期日數採用數據較多，計算時難免有所遺漏，現引人公曆日期與星期推算表阿），供參考。

　　應用此表查找公元1967年4月11日星期序數步驟如下：

　　先在本表年份表前二位數字欄目中，查到19二字所在的位置；

　　再在年份表後二位數字欄目中查到67二字所在位置，自19二字處平行右移，67二字處垂直下移，二者在英文大寫字母欄目中相交於字母G處；

　　再自月份表欄目中查到4月，自4月所在位置平行左移，查到G在4月欄目所在位置；

　　自日期欄目查到11日所在位置，自此位置平行右移，使與4月份欄目G在星期表相交處知為星期　　　　　　　　

　　

　　結果與回曆計算所得相同。故知回曆 1387年元旦確為公曆1967年4月11日，而不是12日。

　　在換算中所得公曆日數常多於31日，甚至常在200—300日或更多，需要將此數化為該年的月日時，可用下列兩表。

　　表3 公曆月份及其累計日數

二 公曆換算為回曆

　

　　將回曆換算為公曆的算式移項，整理，即可得到公曆換算為國曆的算式

　　（公曆紀年一621．5691）÷0．9702＝回曆年月日（儒略曆）……………………………………………（5）

　　（公曆紀年一621．5774）÷0．970224＝回曆年月日（格氏歷）…………………………………………（6）

　　無論回曆換算為公曆或相反，大體都有一日之差，以星期序數訂正時，回曆換算為公曆，以回曆的星期序數為準；相反，以公曆的星期序數為準。

　

　　三 國曆或公曆換算為中國農曆

　

　　1．回曆換算為農曆

　　僅管中國農曆各年在年內月數日數都不是一個相對的穩定值，給回曆與公曆換算為農曆上帶來較多的困難，但仍然可以換算。中國農曆為陰陽合曆，在月份上與回曆同屬太陰曆，惟回曆每月以見新月為一月之始，其日約遲於農歷合朔（初一日）1—2日乃至3日，因此只要查清二者在月份上關係，便可將回曆換算為中國農曆。馬以愚先生稱：「回教紀年及齋戒之月，均依太陰曆。中國昔用夏正（即農曆），有閏之年，年為十三月。故齋戒之月，遇閏則連退。如今歲齋戒值夏正之九月，歲逢閏，改歲當以八月為齋。」[8]故若求得積年及所歷大陰曆的月數，即可依農曆十九年而有七個閏月的規律，將農曆換算為回曆，其日當有l——2日之差。

　　計算舉例：已知西域魯穆馬依澤公於宋太祖建隆二年（961）應召人華編修《應天曆》，並將伊斯蘭天文傳人中國，他的事迹已收人《中國伊斯蘭百科全書》[9]與《中國回族大詞典》[10]等，被列為伊斯蘭與中國回族之大事。據《懷寧馬氏宗譜》記載，依澤公應召人華時年已四十，生於回曆勒比阿立勿里月（拉比爾·奧沃勒月，即回曆三月）第二十日，故於宋真宗景德二年（1005）五月初十日。宋太祖乾德四年（966）八月十三日奉旨授世襲候爵兼司天監。求依澤公生於公曆與農曆的年月日。

　　解：馬依澤於宋建隆二年五月後來到中國時年已四句，已知建隆二年二月初三日為回曆310年元旦。由此可知馬依澤公生於回曆310年3月20日，合公曆

　　310×0．9702＋621．5691＝922．3311年

　　0．3311 ×365．25＝120．934275日回曆 310年元月1日合公曆922年5月1日，再加 78日為回曆3月20日，公曆7月18日。

　　又據農曆19年而有7個閏月，並依齋戒之月遇閏則遞退一月的規則，求算出回曆310年元旦約合農曆之月份為：

　　（922－622）＝300年

　　300 ÷19 ×7＝15．7895 ×7＝110．53個月又每閏12個月為一年除去不算

　　110．53÷12＝9餘2．53，即後退2月自武德五年六月初三日退後 2月為四月，即依澤公生於梁龍德二年四月二日再加 78日合六月二十一日或二十日。

　　2．公曆換算為農曆

　　張家驥稱：「《瀧岡阡表》中最末一段：『（宋）熙寧三年，歲次庚戌四月辛酉朔，十有五日乙亥，男修表』。試算為陽曆日期」。

　　他又說：「已知二十四節氣在黃道上的位置是固定的，但各年有平年和閏年之分，就使得回歸年天數與實際天數不等，每年在日曆上可差一天。這樣可以將陰曆經過任意整回歸年在現在的日曆上查到陽曆（陽曆一年相當陰曆的月數為 365．2422/29．530588＝12．36827個月）。例如，可先在1995年的日曆上查得與（該年）陰曆對應的陽曆日期，這樣就找到了臨時落腳點，也就是找到了陰陽互換的關鍵。例如，可先以陰曆四月初一（日）為引數，在1995年日曆上查到對應的陽曆為4月30日。由於已經計算出經過的月數，將經過的月數的尾數（小數）化為日，加在4月30日上，就得到經過（1995－1070）整年數的陽曆日期，也就是起始陰曆日期對應的陽曆日期，即得到了待查的日期為4月30日加上0．64957×29．530588得到（1070年）5月19．1821840日。這樣就得到了所給例子的陰陽曆日期換算結果……」。

　　0．64957月的由來，

　　（1995－1070）×12．36827＝11440．64957月

　　已知依澤公生於梁龍德二年（922）六月二十一日，依下表提供的2099年各月初一日的公曆月日數，可以算出龍德二年六月二十一日的公曆月日數

　　表5 公元2099年農曆各月初一日的公曆月日

　　（2099－922）× 12．36827＝1455．45379月

　　餘數為 0．45379月 × 29．530588日＝13．4O日

　　因2099年五月初一日（包括該年闖二月）在公曆6月19日，加上計算所得的13日為龍德二年六月初一日的公曆月日，即該年7月2日，則該年農曆六月二十一日為該年7月22日。

　　公元1995年六月初一日合公曆該年6月28日，代人以上計算程序亦得到上列相同或相近的結果。計算中發現農曆因閏月關係，其正月（如 1996年）常在該年公曆2月，此時可換用下表的公曆月日

　　表6 公元2100年農曆各月初一日與公曆的月日

　　3．計算結果的訂正

　　實際上上列公曆換算為農曆時常有較大的誤差，如熙寧三年四月初一日為公曆1070年5月13日，而不是5月19日。通過中國曆法所用的於支記日法求算所用兩歷的干支，對所求結果加以訂正。

　　如，馬依澤公生於回曆310年3月20日，自回曆曆元起算共曆日數為：

　　自回曆元旦至其3月20日，共歷79日。

　　自回曆元年元旦至309年元旦，共歷113個閏年196個平年。又回曆曆元在公曆622年7月16日，已知該日的干支序數為50，癸丑日，減1（因自甲子起算），餘49應加入下列算式中，

（309 × 354＋113＋79＋49）÷60＝1827．116667

0．116667 ×60＝7

　　干支序數為7，即庚午日。

　　求公曆922年7月18日的干支，儒略曆900年的干支序數為：

　　900 ×365．25÷60＝5478．75

　　餘數為，0．75 ×60＝45；

　　22年的於支序數為，

　　（22 × 365．25＋7）÷ 60＝134，餘2．5按3計，式中的7，為儒略曆元年元旦的干支序數；

又7月 1日自該年元旦起算共歷182日，干支序數為2，再加17日為7月18日

　　（45＋3＋2＋17）÷60＝1，餘7，

　　結果與回曆計算所得相符，即依澤公生於回曆310年3月20日，中歷庚戌日。

　　4 求首朔干支[11]

　　以上計算所得的中歷干支應為所求月內的幾日，如對所求月首（即月初一日）的干支尚不清楚，則求得的干支不能算出它在月內的日數。

　　首朔是指農曆每年冬至（平冬至）後第一個朔日，冬至都在農曆年前的十一月，故首朔就是所求該年前的十二月初一日的干支。（曆象考成後編》以雍正元年（172）冬至起算，其干支係數為32．12253，干支為丙申，而冬至後的 15．12633日為首朔，干支為壬子（33＋15．12633）。自此可求算出 922年 7月即農曆六月初一日的干支，以確定本文四·3節中所求的干支為該年六月第幾日。求算過程如下：

　　先以1722減921所得之數稱積年，積年乘歲實之積為經此積年所曆日數，所曆日數減32．12254之差被o後的餘數再為o所減，所得之差就是922年冬至的干支（計算中向上推算或上考往古要用60減）。所歷總日數減0．12254，再加上922年冬至之餘數將所歷總日數化為整數後，加上15．12633日所得之和用29．530588除之，除之所得餘數，再加上龍德二年冬至干支，得首朔干支，首朔干支再加上 6 × 29．530588後，累減60而得的餘數，為龍德二年六月初一日的干支，六月一日與月內干支差即為六月內的日數。計算過程如下：[（1722－921）× 365．2423442－32．12254]÷60＝4875．449784

　　0．44784 ×60＝33．01269，干支序數已過33。當為34，丁西日，經與《中西回史日曆》對照無誤。再求922年首朔干支，

　　292 59．1O99一0．12254十0．01269＝292559

　　（292559＋15．12633）÷ 29．530588＝990．4948

0．49498 ×29．530588＝14．1510，再加34，合49，干支為壬子，所得與史書所載相同。[12]因首朔再過六個月方是龍德二年六月初一日，故

　　（49＋6 ×29．530588）÷60＝3，餘46月83528，干支序數41為庚戌日，為六月初一日干支，再過二十日為六月二十一日，即馬依澤公出生之日，

　　（47＋20）÷60＝1，餘7，庚午日結果與回曆、公曆推算所得相同，即馬依澤公出生於回曆 310年 3月20日，農曆梁龍德二年六月二十一日，公曆922年7月18日。

計算中沒有採用定朔與定氣，可能有數時之差。

　　因將回曆，公曆換算成農曆時需用干支以訂正，特將於支次序列表如下：

　　表7 干支次序表

　　參考文獻

　　[1] 馬堅：《回曆綱要》，中華書局，1955年版。

　　[2] 鄭天傑：《曆法叢談》，台灣華同出版社，1977年版。

　　[3] 鞠德源：《萬年曆譜》，山西人民出版社，1989年版。

　　[4] 陳久金：《回回天文學史研究》，廣西科技出版社，1996年版。

　　[5] 張家驥：「陰陽曆日期互換的計算」，《北京大學學報》（自然科學版），1998年第 4期。

　　[6] 馬以愚：《回回曆》，商務印書館，1947年版；《曆法考證》手稿，1956年。

　　[7] 唐漢良：《曆法問答》，陝西科技出版社，1980年版。

　　[8] 馬以愚：《中國回教史鑒》，商務印書館，1947年版。

　　[9] 宛耀賓、楊克禮等：《中國伊斯蘭百科全書》，四川辭書出版社，1994年版。

　　[10]邱樹森：《中國回族大詞典》，江蘇古籍出版社，1992年版。

　　[11]樂吾氏：《歷算須知》，1935年編印，馬以愚先生抄錄；欽定《曆象考成後編》，文淵閣《四庫全書》， 台灣商務印書館重印。

　　[12]陳 垣：《二十史朔問表》，中華書局，1926年版。

　　「收稿日期」1999－10－13

　　「作者簡介」馬肇曾 北京科技大學化學系。北京100083

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