第9講 數字謎（一）

　　我們在三年級已經學習過一些簡單的數字謎問題。這兩講除了複習鞏固學過的知識外，還要學習一些新的內容。

例1 在下面算式等號左邊合適的地方添上括弧，使等式成立：

　　5+7×8+12÷4-2＝20。

　　分析：等式右邊是20，而等式左邊算式中的7×8所得的積比20大得多。因此必須設法使這個積縮小一定的倍數，化大為小。

　　從整個算式來看，7×8是4的倍數，12也是4的倍數，5不能被4整除，因此可在7×8+12前後添上小括弧，再除以4得17，5＋17-2=20。

解：5+（7×8+12）÷4-2=20。

例2 把1～9這九個數字填到下面的九個□里，組成三個等式（每個數字只能填一次）：

分析與解：如果從加法與減法兩個算式入手，那麼會出現許多種情形。如果從乘法算式入手，那麼只有下面兩種可能：

　　2×3＝6或2×4＝8，

　　所以應當從乘法算式入手。

　　因為在加法算式□+□=□中，等號兩邊的數相等，所以加法算式中的三個□內的三個數的和是偶數；而減法算式□-□=可以變形為加法算式□=□+□，所以減法算式中的三個□內的三個數的和也是偶數。於是可知，原題加減法算式中的六個數的和應該是偶數。

　　若乘法算式是2×4＝8，則剩下的六個數1，3，5，6，7，9的和是奇數，不合題意；

　　若乘法算式是2×3＝6，則剩下的六個數1，4，5，7，8，9可分為兩組：

　　4＋5＝9，8-7＝1（或8-1＝7）；

　　1＋7＝8，9－5＝4（或9－4＝5）。

　　所以答案為

例3 下面的算式是由1～9九個數字組成的，其中「7」已填好，請將其餘各數填入□，使得等式成立：

　　□□□÷□□=□-□=□-7。

分析與解：因為左端除法式子的商必大於等於2，所以右端被減數只能填9，由此知左端被除數的百位數只能填1，故中間減式有8-6，6-4，5-3和4-2四種可能。經逐一驗證，8-6，6-4和4-2均無解，只有當中間減式為5-3時有如下兩組解：

　　128÷64=5-3=9-7，

　　或 164÷82＝5-3＝9-7。

例4 將1～9九個數字分別填入下面四個算式的九個□中，使得四個等式都成立：

　　□+□=6， □×□=8，

　　□-□=6， □□÷□=8。

分析與解：因為每個□中要填不同的數字，對於加式只有兩種填法：1＋5或2＋4；對於乘式也只有兩種填法：1×8或2×4。加式與乘式的數字不能相同，搭配後只有兩種可能：

　　（1）加式為1＋5，乘式為2×4；

　　（2）加式為2+4，乘式為1×8。

　　對於（1），還剩3，6，7，8，9五個數字未填，減式只能是9-3，此時除式無法滿足；

　　對於（2），還剩3，5，6，7，9五個數字未填，減式只能是9-3，此時除式可填56÷7。答案如下：

　　2＋4＝6， 1×8＝8，

　　9－3＝6， 56÷7＝8。

　　例2～例4都是對題目經過初步分析後，將滿足題目條件的所有可能情況全部列舉出來，再逐一試算，決定取捨。這種方法叫做枚舉法，也叫窮舉法或列舉法，它適用於只有幾種可能情況的題目，如果可能的情況很多，那麼就不宜用枚舉法。

例5 從1～9這九個自然數中選出八個填入下式的八個○內，使得算式的結果儘可能大：

　　[○÷○×（○+○）]-[○×○+○-○]。

分析與解：為使算式的結果儘可能大，應當使前一個中括弧內的結果盡量大，後一個中括弧內的結果盡量小。為敘述方便，將原式改寫為：

　　[A÷B×（C＋D）]-[E×F＋G－H]。

　　通過分析，A，C，D，H應儘可能大，且A應最大，C，D次之，H再次之；B，E，F，G應儘可能小，且B應最小，E，F次之，G再次之。於是得到A=9，C=8，D=7，H=6，B=1，E=2，F=3，G=4，其中C與D，E與F的值可互換。將它們代入算式，得到

　　[9÷1×（8＋7）]－[2×3＋4－6]=131。