分數量子霍爾效應，partI

來自專欄 非平衡格林函數用於介觀輸運理論

分數霍爾效應應該是凝聚態中最有意思的現象了，而且同時也牽扯到很多新奇的應用。自1980年馮克利青發現強磁場下的量子霍爾效應兩年之後，崔琦等人在純凈的二維電子氣（限定：及低溫因為分數態的gap非常小，強磁場）第一次觀察到了1/3霍爾電阻平台，這給人的第一印象就是『夸克』。當然後來證實他們觀察到的東西並不是夸克，而是一種只有1/3電荷的複合費米子。至今為止人們發現了超過100中分數平台，其中絕大多數的平台的分母是奇數，而少數為偶數的，被預測具有非阿貝爾以及分數統計的Ising任意子。

分數霍爾效應與整數霍爾效應不同，必須考慮電子電子的庫倫相互作用才能得到滿足要求的分數平台。這個問題說起來也很簡單，電子電子相互作用可以看做微擾，而朗道能級的高簡併可以被微擾劈裂成一些列分立的能級，這些能級之間會存在微小的帶隙。而我們知道，整個朗道能級完全填充時可以貢獻1個電導的，那麼很自然的，當這些劈裂的能級被部分填充的話就可以獲得分數化的霍爾電導。看起來似乎很容易，只要用本科生都會的簡併微擾論就可以了，h但是事實上，在凝聚態中粒子數數以萬計乃至幾十萬幾百萬的情況下，微擾矩陣的對角化在現在看來是幾乎不可能實現的。

為了把這個問題講清楚，我們先考慮二粒子的庫倫相互作用的問題，

在量子力學中，我們處理這種勢的時候，都會認為存在守恆的角動量，這樣可以減少自由度，再考慮到磁場的作用，波函數滿足：

這個波函數局域在大小為 的範圍內，其中 ,而 則對應角動量量子數，可以通過角動量算符作用波函數檢驗：

只要朗道能級沒有交疊，這個問題可以搞定的，波函數滿足

其中 是質心的角動量，而 是量子粒子相對的角動量。這意味著，其實有了勢V，我們可以直接得到本徵態，而不需要求解薛定諤方程，並且所有的V(r)具有相同的本徵波函數，這是因為我們認為體系處於最低的朗道能級的結果。

對於體系多於兩個粒子的問題，我們並不能像前面那麼順利，但是我們可以確信的是，波函數的形式為：

因為電子是費米子，因此波函數必須要滿足交換反對易。Laughlin給出的試探解為：

當m為奇數的時候，這個波函數滿足交換反對稱，而當m是偶數的時候，這個波函數描述的應該是玻色子而非費米子。並且當兩個電子重疊的時候，波函數為0，體現了泡利不相容原理，而且波函數隨著離中心的增大而逐漸衰減。

為了檢驗分數填充，我們以 單粒子 為例，這時候波函數的第一部分可以寫成：

這說明 具有 次冪，這說明第一個例子的角動量為 ,最大半徑為

,因此該粒子所佔的面積為 :

在這麼大的面積內，量子態的數目為：

不難發現，總量子態為 ，因此相應的填充係數為： 。