小明談女朋友的期望個數

來自專欄 輕鬆學概率

數學這門學科的特點是抽象，這是必然的，因為它代表一種普遍規律，比如微積分，各門學科都會用到它，所以就不能具體化。但作為老師上課就需靈活地將抽象還原為具體以便讓學生理解，對於有些枯燥的例題甚至可以進行趣味化改編以提高學生學習興趣！

例：擲一次骰子，點數從1到6共六種情況。假定擲骰子時上述六種結果的出現是等概率的，那麼不停擲骰子直到所有結果都出現為止，求所需拋擲次數X的數學期望E(X).

分析：此題可以改編為：

小明談女友，設下一個女朋友為某一個星座的概率等可能，即為1/12，請問如果小明為斷地談，直到所以星座都出現為止，求他所需談女朋友的個數的期望值。

要想解決些題，需知道幾何分布這個知識點。

什麼是幾何分布？

幾何分布是離散型概率分布。在伯努利試驗中，成功的概率為p，若X表示出現首次成功時的試驗次數，設X=k,前k-1次皆失敗，第k次成功的概率，則

P(X=k)=p(1-P)^(k-1) , 0<p<1

可以求出幾何分布的數學期望為1/p,以小明談女友為例，出現金牛座的概率為1/12,那麼小明不停地談直到女友為金牛座他所需談女友個數為12個。

再看題目：

小明談女友，設下一個女朋友為某一個星座的概率等可能，即為1/12，請問如果小明為斷地談，直到所以星座都出現為止，求他所需談女朋友的個數的期望值。

分析：假設第一次出現金牛座，需一次，那麼接著出現其它星座的概率為11/12,所以出現金牛座後首次出現其它星座的期望次數為12/11次(幾何分布的期望)。好，已經出現了兩個星座了，比如是金牛座和白樣座，那麼接著首次出現其它星座的期望次數是多少呢？因出現其它星座的概率為10/12,所以期望次數為12/10次，所以最後全部出現12個星座的期望次數為1+12/11+12/10+12/9+…+12/2+12≈37。

故小明需要平均談37個左右的女朋友才能恰好出現所有星座。

回到原題：

擲一次骰子，點數從1到6共六種情況。假定擲骰子時上述六種結果的出現是等概率的，那麼不停擲骰子直到所有結果都出現為止，求所需拋擲次數X的數學期望E(X).

解：E(x)=１+６/5+6/4+6/3+6/2+6/1=14.7

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