從真實空間到傅立葉空間

來自專欄 丹麥洗衣房之宇宙無限大

物理對我的吸引力之一，來自於它教會了我用其他的方法看這個世界。

從家裡走出門，外面陽光燦爛，來自太陽的光子打在我的皮膚上。太陽光子的能量被身體中的電子所吸收，我於是感覺到了溫暖。

爬上鋼管開始旋轉，不小心加速太快，頓時頭暈目眩。我於是張開雙臂，用角動量守恆幫助自己降低旋轉速度。

在深夜的中央公園放孔明燈。燈罩里的空氣被慢慢加熱，熱空氣分子之間的距離越來越遠，壓力越來越低。孔明燈最終被外面的冷空氣抬起來，送上夜空。

除了具體的物理現象，我的抽象思維也受到改變。我的研究方向是宇宙學，所以時常需要離開真實空間，進入傅立葉空間。

1.

因為大學讀商科，我直到讀天體物理博士時才接觸傅立葉變換（註：我看到維基百科有兩種翻譯，「傅立葉」和「傅里葉」，因為我的輸入法自動顯示「傅立葉」，為了方便，下面我採用這個翻譯）。傅立葉變換非常簡單，即使數學基礎薄弱，我仍然可以毫不費力地默寫出公式：

F(k)是函數f(x)的傅立葉變換（第一行），如果對F(k)做逆傅立葉變換（第二行），又可以得回f(x)。

很長時間，我雖然可以解出相關的數學題目，卻不明白傅立葉變換究竟有什麼鬼用。它的物理意義在我腦海等於零。

有一次又在作業里被要求做傅立葉變換，我坐不住了，於是請教高年級的同學，「傅立葉變換有什麼好玩的，為什麼大家都愛它。」

師兄解釋，「傅立葉變換有很多有趣的性質，比如，」他叉叉叉畫了一張圖，「一條無止境的正弦波，在傅立葉空間里，就只是一個簡單的尖峰」。

他見我面無表情地呆站在那裡，又舉了一個例子，「如果在真實空間是一個高斯分布，在傅立葉空間……」他又叉叉叉畫了第二幅圖，「它還是一個高斯分布。」

我在內心翻了個白眼，問：「然後呢？」

接下來的解釋稍微有意思一些。他說，「許多在真實空間里看上去很複雜的波形，其實是一些簡單正弦波的疊加。這個可以用到很多地方，包括電台發出來的聲波，海洋里波浪的形狀，太陽活動周期。」

「通過傅立葉變換，你可以把任何波形分解成不同頻率的正弦波，有效地去提取其中的信息。」

「傅立葉空間」也可以理解為「頻率空間」，古代人聽的AM或者FM電台，就時常用電台波段的頻率來命名電台。例如南昌音樂故事廣播電台，是FM90.6兆赫。

不過AM和FM發射信號的原理不同。AM（Amplitude Modulation）是通過改變聲波的大小（藍線，時高時低），而FM（Frequency Modulation）則是通過改變信號的頻率（綠線，時緊時松）來傳輸信號。比起AM，FM的優勢在於，聲音在傳輸過程中突然變小了也沒有關係，所以不會像開車時聽AM那樣常有雪花噪音。

雖然你可能不知道，但我們的大腦隨時隨地在做傅立葉變換–––當我們看到一大片綠葉，我們在腦海中把波長為540納米（1納米＝10^-9米）的光，傅立葉變換成了對應綠色頻率的信號。

而當我們聽到粉筆刮在黑板上發出刺耳的一聲，我們把空氣中傳播的聲波，傅立葉變換成高頻率的信號，然後耳朵感到一陣酸痛。

2.

後來，在量子力學中，我終於用到了傅立葉變換。在海森堡「不確定性原理」中，粒子的位置與動量不可同時被確定–––位置的不確定性越小，動量的不確定性越大，反之亦然。

「不確定性原理」的宏觀解釋（不完全準確，但可以幫助理解）：左圖中，如果你能精確地看到小球的位置，就無法得知小球的方向和速度。右圖中，你能精確地測量小球滾動的方向和速度，但小球的位置也隨之非常模糊，無法精確測量。

上圖是比較粗暴的宏觀解釋。在量子力學中，描述粒子位置x的波函數，經過傅立葉變換後，變成描述動量p的波函數（請忽略掉積分符合前面的一堆常數）。

這個公式因為用了希臘字母ψ和φ，看起來有些複雜，但是如果把ψ和φ換回F和f（忽略掉各個常數），就變回了我前面的第一個公式。

我後來總結，許多物理公式我學不好的原因是因為它們用希臘字母。事到如今，我仍然寫不出來ξ（xi）和ζ（zeta）。考試的時候經常浪費很多時間在檢查我的希臘字母究竟拐對了彎沒有。

回歸正題……我很快回想起了師兄給我畫的那些圖：

在這裡，左圖的藍線可以看成是位置x的分布，越窄說明越精確。右圖可以看為動量p，也就是x的傅立葉變換，同樣也是越窄越精確。你可以看到，左邊一旦窄了，右邊就會寬，反之亦然。這就證明了x和p不能同時精確，也就是其中必有一個是不確定的。

雖然那時我對微觀量子世界中粒子的「波粒二象性」半懂不懂，但是傅立葉變換的解釋讓我覺得，算湊合說得過去吧！

那時候《星際迷航》電影上映，裡面有個瞬間轉移器Transporter，可以把人體瞬間分解然後在另外一個地方重新組合起來，看起來就好像瞬間轉移了。

我琢磨，根據海森堡的「不確定性原理」，這不可能啊–––如果你把一個人拆了，雖然你可以把他身體里的粒子放回原位，但粒子不知道接下來要怎麼運行（也就是沒有動量信息），那整個人下一秒不馬上就散架了嗎。

我上網搜索，果然已經有人向劇組提出了該疑問。劇組居然還認真思考了這個問題，並且在以後的劇情里加了一個「海森堡補償器」（Heisenberg Compensators），專門用來消除「不確定性原理」。雖然覺得很離譜，我仍然為劇組的用心良苦而感動。

3.

之後的兩三年，傅立葉空間一直都不痛不癢地存在我腦海中，直到我選了宇宙學做畢業論文。

在真實空間中，我總要用到的「兩點相關函數」通常是用希臘字母ξ來表示。每次寫它的時候，我都覺得萬分痛苦。

而在傅立葉空間，同樣的兩點相關函數（不過就改名字叫「能譜」了）是用C表示。光是為了這個生活上的便捷，我已經開始對傅立葉空間有了好感。

宇宙學中，非常重要的一副地圖（也許應該叫「天圖」哈哈）是「宇宙微波背景」（Cosmic Microwave Background，以下簡稱CMB）。宇宙微波背景的光來自137億年以前的宇宙初期，是宇宙大爆炸遺留下來的痕迹。它是我們學習宇宙的最寶貴的資料之一。

下圖顯示了過去30年中，三個時期的太空望遠鏡Cobe，WMAP，Planck觀測到的CMB。隨著科技越來越先進，圖的解析度也越來越高。

這幅圖和我們平常習慣的世界地圖差不多，除了我們不是往地球上看，而是往太空看，並且我們用的不是肉眼，而是微波波段的望遠鏡。

然而，如果我們一個像素一個像素地去看這幅圖，無法找到太多線索，因為宇宙微波背景的光子是隨機分布的。放大宇宙微波背景圖，只看得到一堆噪音而已：

但如果我們對這CMB圖做傅立葉變換，馬上就得出一條非常簡潔的曲線：

上圖為宇宙微波背景的傅立葉變換：能譜（Power Spectrum）。橫軸為角尺度（l），可以理解為電台的頻率，但是現在不是時間上的頻率了，而是空間上的頻率。縱軸為能譜，可以理解為圖1里的紅色尖峰。不過在這裡，因為各個頻率的正弦波都有貢獻，所以尖峰變成了一條曲線。

空間上的頻率可以看作是你圍繞球轉一圈，顏色變了多少次。下圖裡面l＝0就是什麼都沒變，l＝1變了一次（北極特別紅，南極特別藍）。從前到後，l＝5就是紅藍紅藍紅地來回變了五次。從左到右，m告訴你變的圖案可能不一樣（但頻率還是一樣的）。這個圖像在量子力學求電子的能級時，也經常要用到（你看萬物都是相通的呢！）。

因為CMB圖是二維，為了得到能譜，我們必須先做二維的傅立葉變換，然後再對所有相同的角尺度求平均值，最終得到一維的結果。不過這些細節不太有趣，我先忽略掉。

對於沒有看習慣CMB能譜圖的同學來說，這條曲線的意味可能比較模糊。下面兩幅圖是進一步解釋：

上圖為WMAP團隊對於CMB能譜的解釋：紅色曲線是實際測量，告訴我們宇宙微波背景在不同尺度下的能譜。直線為對比，表示如果所有的小點都是均勻分布的情況。上面三個顯微鏡告訴了我們在不同尺度下，預期的圖像。就像我上一個圖解釋的那樣，l越大，紅藍紅藍變換的頻率就越高。

對於傅立葉空間中的小尺度，我們測量的是真實空間中的大尺度，而l＝1000的尺度，我們看到的恰恰相反，是密度很高的小點點。顯微鏡左半邊是實際的CMB，右半邊是均勻分布的CMB做對比。

上面這個動圖來自芝加哥大學Wayne Hu教授。左圖顯示了在每個尺度下，我們看到的微波背景。和前一幅圖表達的意思完全一樣，但是手法不同。

貼完這個圖，我想起來有幾位同學問我的問題：如何學好物理概念。我不能代表大眾，但是個人來說，除了翻看教科書，我最喜歡的捷徑是用關鍵詞搜索相關圖片。

只要不是弦理論那種世界上也沒有幾個人能搞懂的東西，力學、電磁學、量子力學、相對論這些被世界各地各種語言教爛了的概念，肯定已經有許多熱心人士思考過很久要怎麼解釋。去知乎、quora、油管、google image上面去搜，肯定有一款適合你、讓你有「噢！原來如此」的感嘆。如果你運氣好，還能搜到類似上圖的動圖！

回到傅立葉空間的CMB能譜圖，為什麼它如此重要？

上圖是非常典型的、一張圖能搞暈全地球人的典範。但是因為信息非常豐富和全面，我還是忍不住貼過來。黑線是我們觀測到的總體能譜，其他的彩色線是宇宙中各種物理現象（早中晚期都有）對其影響。

接下來這張圖我覺得更加優美。我去年在巴西教宇宙學暑期學校時，逼迫同學們盯著它看了足足十分鐘。

四個小圖裡，作者Wayne Hu用不同的顏色表示了四個物理現象對能譜的影響：

（a）宇宙的曲率（宇宙究竟是平的還是捲曲的）會讓曲線左右移動；

你看，在傅立葉空間里，所有的物理現象一目了然。

目前的宇宙學觀測可以近乎完美地用「ΛCDM模型」來描述（雖然仍有一些爭議）：

六個常數就可以描述我們所在的宇宙啦，簡單得讓人難以相信！

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