再閑談波動率1——Vega到底是什麼東西

來自專欄 魔王們的暗黑煉金捲軸

看到標題想了解：預測」波動率從而形成「交易策略」，如果做Vega「策略「，」量化交易中的Vega「的知友現在可以點右上角了。本文和本系列接下來都是無意義的假設和虛假的理論，僅僅討論一個問題，Vega是什麼？波動率是什麼？

起因：

事情的起因是@ChristianZhao 跟貓談起他的研究，他一直在做基於分數布朗運動的隨機波動率期權定價模型的Vega。 最大的困難就是——Vega不存在……所以一度有個蛋疼的困境。 當時貓給他的建議，不妨找到有同樣功能的替代品，來完成對沖目的而不是糾結非得計算一個對波動率的偏導。

當然這個研究對象本身就是有問題的，因為SV風險本身就對vega來說就是missing risk。 也就是他研究的東西本身不管Vega。

而這個事情沒有這樣過去，Vega是個什麼東西，本身就是個問題，因為作為函數變數的波動本身村不存在都是個問題？那麼說到底Vega是幹啥的？

幾種比較簡單的嘗試:

第一種簡單的嘗試是，當我們獲得一個波動率過程的時候，我們能算出他的期望作為一個常數，然後在一個產品期限的條款內，求出對這個期望的敏感度。 問題很明顯，該期望對應的常數波動率對產品能正確定價么？波動率的分布非一階特性會不會對產品的價格有影響？ 我們知道，波動率的分布對於一些路徑依賴產品有非常啊的影響，基於這個原因，第一種嘗試是不恰當的。同理不恰當的還有用波動率過程生成曲面在期限內取平均。

第二種簡單的嘗試是，我們不糾結什麼是」波動率「，任我們的分布複雜到什麼情況，對可能用到的非一階參數都求敏感度，這樣不就不會漏掉任何風險了么？實際上，不止一個人這麼做，甚至有人對CGMY的每一個參數都做了敏感度分析，但這些參數沒有一個能顯示在PnL上。雖然複雜模型模型可以擬合各種複雜分布，但是用來做PnL的只有能夠被對沖的。也就是哪怕」波動率「不存在，我們分析了一堆複雜參數的敏感度，到最後還是只能當成波動率來處理。

第三種嘗試是，既然必須參數化，還必須簡單參數化（BSIV），還不能是常數，那對曲面上每個點求一個Vega，然後看我們需要哪個或者那些」Vega「不就好了？這是一個非常聰明的做法，比較典型的是類似在債券里用PCA分解期限結構一樣，《dynamic hedging》也提到了類似的multi factor Vega。 也就是對曲面做一些因子化，然後對每個因子求Vega。

然而有一個問題沒有解決，就是這裡無論怎麼做，都忽略了一個問題：所謂波動率難道不是Spot的一個統計量（即使是IV，也只是model implied的這個統計量罷了）。如果Spot變了，Vol會不會變？ 被連帶出的問題還有Vega和Gamma到底是不是同一個東西？

這個問題，很嚴峻，因為他把上面所有嘗試全部挑戰了。 因為需要定價，我們不得不去估計Spot的某種分布（過程）；而因為上面嘗試二提到的問題，我們還不得不假設他有一個波動率，然後我們希望，這個波動率的分布能揭示分布的某種統計特性（比如heston一類模型，試圖對三四階矩都進行參數化並反映到波動率的分布里，但是做的不那麼好）。這些都很苛刻。

那我們不禁問了？這怎麼辦？難道我們只能放棄所有這些虛假的假設，甚至放棄分布，放棄模型然後用」不用任何假設的純data based 200層深度在線強化神經網路「去擬合價格么？

實際上上述方法三已經能解決部分問題了，我們確實需要從曲面入手。

Moneyness and Vanna：

sticky monyness 曲面的提出，實際上部分解決了上面的這些問題。為了避免波動率只跟K發證關係，從而導致上述提出的挑戰性問題，人們根據對數收益合理的定義了 log moneyness (對數在值度） ：ln(S/K) 。 這樣，在敲定K之後，曲面實際變成了S的曲面，我們希望看到的「波動率和價格發生實質關係」好像得到了實現。

實際上，問題並沒有完全解決，因為這裡只是替換了K和S的概念而已。為了更進一步解決這個問題，人們提出了一個新Greeks： 。 作為「delta的Vega」， 這個敏感度可以一頂程度上解釋，「多少波動率變化解釋了產品對S的敏感度」這個問題。

那麼，聰明的人會這麼想： 既然這樣，為什麼不能讓波動率反過來是Spot的函數呢？ 實際上，如果不是因為波動率是Spot的二階統計量這一尷尬的事實，這麼做或許是可行的。那麼我們把這個想法修改一下：我們讓波動率是在值度的函數，然後我們定義比對數在值度一個更合理的在值度量就好了。

因此，最後一個delta可能就變成了：

這年頭連搞個delta都不容易啊……

希望這些虛假的理論能給一些在職者一定幫助。

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