數論的奧數題總是很有趣（18年5月14日）

來自專欄 每天來道奧數題

新的一周來到了，

祝一切順利！

這是奧數君第497天給出奧數題講解。

今天的題目是數論問題，

所用知識不超過小學4年級。

題目（4星難度）：

對任何一個自然數，將它的各位數字相加都能得到一個新自然數，對新自然數繼續求各位數字和，有限次以後，總能得到一個個位數。比如1997得到的個位數是8，這種最終得到8的數被稱為「發財數」。請問在1-2018這2018個自然數中，發財數有多少個？

答案：224個。

輔導辦法:

將題目寫給小朋友，讓他自行思考解答，若20分鐘還不能解答，由家長進行講解。

講解思路：

這種類型的問題，

涉及到2018個自然數，

首先想到就是要尋找規律，

最直接的做法就是寫一些數找規律。

步驟1：

先思考第一個問題，

1-20分別對應的個位數有什麼規律？

這個問題很簡單，直接計算：

就是1-9循環2次，最後是1，2。

步驟2：

再思考第二個問題，

所有的自然數是否都是1-9不斷循環？

答案是肯定的，

可以用遞歸的思路得到：

如果n對應的數字是a，

當a小於9時，

n+1對應的數字是a+1;

當a=9時，

n+1對應的數字是1。

步驟3：

再思考第3個問題，

共有多少個發財數？

由於結果是1-9不斷重複的，

2018=224*9+2，

所以發財數共有224個。

思考題：

對任何一個自然數，將它的各位數字相加都能得到一個新自然數，對新自然數繼續求各位數字和，有限次以後，總能得到一個個位數。所有自然數中，最終得到6的全部自然數的最大公約數是多少？

獲得思考題答案的方法：

關注微信公眾號「每天3道奧數題」(tiantianaoshu)

微信回復「20180514」可獲得思考題答案。

註：過4個月之後，關鍵詞回復可能失效。

http://weixin.qq.com/r/rDlaQm7ELDNTrSoh92y_ (二維碼自動識別)

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