這道循環小數的奧數題有點難（18年5月12日）

來自專欄 每天來道奧數題

今天是「512」大地震10周年，

雖然已經過去10年了，

但往事卻歷歷在目，

恍如昨日。

10年前的今天，

下午快要上班的時候，

我在重慶13樓的辦公室里正準備喝水，

突然水杯自己跳了起來，

接著整個樓都搖晃的厲害，

然後就聽見樓道里傳來「地震了」的聲音

......

等我用平生最快的速度從樓道里跑下樓，

第一件事就是給在解放碑的愛人打電話，

可是由於打電話的人太多，

聯通當時已經不太連通了。

大概半個多小時後，

電話終於通了，

聽說愛人也是從20多層的辦公室跑下樓的，

雖然腿酸了點，

但平安就好......

大地震教給我唯一的事，

就是珍愛生命，活在當下，

快樂生活每一天。

閑話說完，回歸奧數。

這是奧數君第496天給出奧數題講解。

今天的題目是循環小數問題，

所用知識不超過小學5年級。

題目（超5星難度）：

將最簡分數n/222化為循環小數是

0.3A2BA2BA2B…(A2B不斷循環)，

其中A和B是個位數。

請問n是多少？

答案：85。

輔導辦法:

將題目寫給小朋友，讓他自行思考解答，若20分鐘還不能解答，由家長進行講解。

講解思路：

前面在4月25日的文章中講過，

所有循環小數問題都要用到如下知識：

1/9=0.111…,

1/99=0.010101…,

1/999=0.001001…，

……。

本題中可先用1/999將循環小數化為分數，

再建立A,B和n之間的關係，

求出3個未知數。

步驟1：

先思考第一個問題，

將0.3A2BA2BA2B…化為分數是多少？

由於0.3A2BA2B…=0.3+0.0A2BA2B…，

而0.3=3/10，

0.0A2BA2B…=A2B/9990,

因此結果是3/10+A2B/9990=(2997+A2B)/9990。

步驟2：

再思考第二個問題，

A,B和n之間有什麼關係？

從步驟1和已知條件結合有，

(2997+A2B)/9990=n/222，

化簡即2997+A2B=45*n。

步驟3：

再思考第三個問題，

B的值是多少?

由於n/222是最簡分數，

故n是奇數，

則45*n的末尾一位數是5，

而最末一位是7+B得來的，

因此B=8。

步驟4：

再思考第四個問題，

A的值是多少?

利用步驟3的結論，

2997+A2B

=2997+28+100*A

=3025+100*A

=45*67+10+100*A,

因此10+100*A=45*(n-67),

即2+20*A=9*(n-67)，

故2+20*A=2*(10*A+1)是9的整數倍，

即10*A+1是9的整數倍，

由於A是個位數，

A只能是8。

步驟5：

綜合上述幾個問題，

將A=8,B=8代入步驟2的結論，

2997+A2B=45*n，

所以n=(2997+828)/45=85。

思考題：

把最簡分數n/22化為循環小數得到

0.3ABAB…(AB不斷循環)，

請問n是多少？

獲得思考題答案方法：

關注微信公眾號「每天3道奧數題」(tiantianaoshu)

微信回復「20180512」可獲得思考題答案。

註：過4個月之後，關鍵詞回復可能失效。

http://weixin.qq.com/r/rDlaQm7ELDNTrSoh92y_ (二維碼自動識別)