教小孩（續1）

05-24

教小孩（續1）

來自專欄數學教育雜談

這次在北京多待幾天，正好有個連續跟小朋友互動的機會，繼續在專欄說說吧。（如果再見到我還會更新，但是速更的內容就會寫得比較隨意些，見諒。）

昨天又去朋友那兒玩，去就看見小朋友在白板面前寫東西，仔細看是重複了一遍前一天給他講的餘弦定理的證明。正弦定理的證明他忘了我又給他說了說。

然後小朋友自己用之前給他講的 cos(x+y) 的公式算了算 cos2x, sin(x+y), sin(2x), sin(3x) 啥的。我就看看沒說話。算完 sin(3x) 作為 sin(x) 的一個三次多項式以後，想跟他說三等分角不可尺規作圖（結論他知道，但是不知道為什麼），講了講為什麼尺規作圖只能作出加減乘除和平方根，沒有講完整的證明。

之後想給他講用複數算拿破崙三角的證明（感謝前一篇里知友的提示），但是接下來的發展挺有意思的，和我想的完全不一樣（到昨天結束都沒講回拿破崙三角），倒也是很有趣的。一開始是向量的概念沒學過，跟他講了講。後來又講了講複數的極坐標表示 $re^{i heta}$ （對這個事情小朋友本來就多少知道一些），講到這裡我說，如果把 $x+iy$ 這種形式當做定義的話，那麼 $e^{i( heta_1+ heta_2)} = e^{i heta_1}cdot e^{i heta_2}$ 這件事情是需要證明的。小朋友剛知道 $cos(x+y)$ 之類的計算，對於「證明」的過程倒是不難接受，就是不知道為什麼這在邏輯上不是顯然的——他覺得既然已經寫成指數函數了，就必然滿足那個性質。見招拆招，我只好跟他退，先退到指數函數的定義，再退到實數的定義，所以實數到底怎麼定義呢？需要定義自然數，再定義整數，然後定義有理數……

到這裡我就不得不跟他講自然數的定義了。這對他來說不是全新的內容，之前他肯定在某些書上看到過，但是囫圇吞下去的內容正好有個反芻的機會。我定義的自然數有兩種，一種是 0, 另一種是 s(n), n 是一個自然數。他說，還沒定義完就能用自然數的概念嗎？我說，這個就跟你寫程序的時候做遞歸一樣，他感情上接受了（之前跟家長交流知道他寫過一些 racket/scheme. 不過用這個講我心裡略滴血，感覺繞了個圈子，明明應該反過來講的）。小朋友顯然是看過某些書上提到的皮亞諾公理的，知道 s 應該滿足哪些性質（是走在馬路上聊的，忘了他說的是不是全部，前面也是我開的頭，我說除了 0 以外任意一個自然數都是 s(n) 的形式，然後小朋友補充了幾條，比如 s(x) = s(y) 那麼 x = y 之類），所以交流起來並不困難。

定義完自然數要定義加法，這個是我寫給他看的。看完他就自告奮勇要定義減法，減法還挺難的，他對 $m - n$ 給了個依賴於 $m < n$ 與否的定義，那定義不是特別自然，但是是對的（他的定義， $m > n$ 的時候 $m - n = s(m - s(n))$ ， $m = n$ 的時候 $m - n = 0$ ）。這裡又要定義什麼是 $m < n$ 了，難得有個輸出 boolean 值的函數，我就定義給他看了——

$(0<0?)$ False.

$(0<s(n)?)$ True.
$(s(n) < 0?)$ False.
最後 $(s(m)<s(n)?) = (m < n?)$

這個對於他而言其實還挺好接受的。然後我們比較快地定義了整數和有理數（這塊感覺他之前肯定看過一些，不詳述了），他繼續讓我定義實數（這是我挺佩服的一點，小朋友今年才七歲，腦子裡的 call stack 就特別大，定義實數的過程中進入了「定義有理數」「定義整數」「定義自然數」等子過程，子過程 return 之後他還知道最初追求的是要定義實數，換個人估計早 overflow 了）。

實數怎麼給一個小孩定義，感覺也是挺挑戰的問題。「有理數的柯西列的等價類」這種，估計又要退到什麼是等價關係這類，我覺得不是最合適的辦法。最後我是這樣做的（其實是 constructive math 的辦法——定義實數的時候不僅提柯西列，還指定一個特別具體的收斂速度）：

$pi$ 是實數，你知道是 3, 3.1, 3.14, 3.141... 這麼一串有理數逼近的。如果有一串有理數 $b_0, b_1, b_2,...$ 滿足 $n>2$ 則 $b_n - b_2 < 0.01$ ， $n > 3$ 則 $b_n - b_3 < 0.001$ ，更一般地 $n> m$ 則 $b_n - b_m < 10^{-m}$ ，那我們就說 $b_0, b_1, b_2,...$ 給出一個實數。

定義完這些聊了聊什麼時候兩個有理數列給出同一個實數，也沒特別深入。然後晚上七點半小朋友跑書房遠程學英語去了（北京的兒童教育市場真是個很大的蛋糕... 感覺很神奇，我外賓了），就告一段落了。

晚上跟他爹聊了聊北京的低人權優勢（身家一兩千萬的還活得挺差欠一堆房貸，在北京也挺正常，低人權優勢不光是說很多人願意送外賣或者在血汗工廠打工）以及好的教育到底有多難多昂貴的問題。像這個小孩也是遇上了，願意聊，而且溝通起來不難，我們的結論是，可能是有不少人需要，但如果涉及市場化定價，這種服務也是很難定價而且溝通成本很高的，畢竟是個非標準化的東西。

歡迎評論，有機會再更新。