立體幾何奇妙一招：如何速算平面的一個法向量？

來自專欄 數學教育與文摘

（南寧三中 許興華數學）

【摘要】在大學裡矩陣和行列式的非常重要的作用就是解方程組了，矩陣那部分是用初等變換法解方程組，行列式這裡就是克萊母法則了，同學們要記牢！正如牛頓最早使用有向線段表示向量一樣，萊布尼茨在1693年給洛必達的信中就已經使用了行列式，對行列式的貢獻和影響比他人大一些。但就寫作時間而言，最早提出行列式的概念的是日本數學家關孝和，比萊布尼茨早十年。

在立體幾何的空間向量方法中，我們用得最多的一種計算就是：求一個平面的法向量n。

現在我們就來給大家簡要地介紹「用行列式的方法求平面的法向量」。

上面的知識點屬於大學數學內容，大家都沒有學過。看起來是不是很複雜？大家基本上沒有看懂，是嗎？

沒關係的！只要你認真閱讀下去，下面老師就讓你逐步掌握這種方法。用這種方法求平面的法向量的特點是：簡單明了，不易出錯！

那麼，如何利用行列式來求平面的一個法向量呢？

具體說來，有以下一些重要知識點：

（1）二階行列式的計算：四個數排成兩行兩列，就稱為一個「二階行列式」。

上面右圖中的紅色實線叫做「主對角線」，黑色虛線叫做「次對角線」。

所以，上面左圖的式子的含義是：二階行列式的值等於「主對角線」兩數的乘積減去「次對角線」兩數的乘積的差。

（2）簡單的三階行列式：九個數排成三行三列，就稱為一個「三階行列式」（如下圖）

（3）如下圖3，如果我們要快速求平面ABC的法向量，如何求呢？

（4）公式的簡單應用：

說明：在具體運用中，由於（-2,-4,-2）=-2(1,2,1)，為了計算簡便，上面例1的法向量u可取為(1,2,1).

（5）鞏固知識練習題：

（用上面介紹的求平面法向量的方法求解下列三個題目）

【來源】微信公眾號"許興華數學":