麥克斯韋方程組的理解（上）。

來自專欄 與相對論有關的一切

這一篇主要是先聊一聊麥克斯韋方程組是用來描述什麼的。

首先，我覺得，麥克斯韋方程組如果用四維矢量去理解，會顯得簡單的多。

所以下面都是用四維矢量的角度來講的。

有關四維矢量更多的信息可以看：雙生子佯謬與四維矢量 - 羅恩齊的文章 - 知乎

在狹義相對論描述的閔可夫斯基四維時空里，很多的物理量就需要用一個四維矢量去描述了。

以上是一些四維矢量的例子（在這一篇當中，光速c全都認為等於1）

為什麼我們要這麼去描述呢？舉一個例子。根據狹義相對論，同一個物體，不同運動參考系下測量它會有不同的重量。

但如果使用四維矢量來描述，就不會出現這樣的問題。

因為一個四維矢量其實包含了它的靜質量和速度這兩個數據。

現在回到麥克斯韋方程來。我們知道它是用來描述電磁現象的。

假如，一開始，假如我們並不知道麥克斯韋方程，現在我們要研究電荷。

當我們觀察一個帶電的球，會發現它會對周圍的電荷產生一個影響。電荷會受到一個力，使它的運動速度發生改變。

於是我們可以認為，在帶電球的周圍有一種未知的東西。我們把這個未知的東西取個名字叫做「場」。此時，我們對這個場還一無所知，不知道它是什麼，也不知道它有什麼形式。

那麼我們怎麼去研究這個場呢？我們只能通過這個場表現出現的現象來研究它，我們知道它會對在它內部運動的電荷產生影響。

我們可以讓運動的點電荷在這個場里運動，觀察它們在場里運動速度是如何改變的。

在這個場中，電荷從p點運動到極近的p』點，速度發生變化，就有如圖的公式（這裡出現的數學都是線性代數的內容）。

上圖是四維速度的外微分（這個外微分是可以通過觀察電荷在場里的運動來獲得的），它可以用來描述不同速度在同一個點是如何變化的。它是一個二階張量。

再根據計算，我們可以得到如圖的公式。這樣，我們發現速度的外微分，它可以用來描述運動電荷在場里會受到什麼樣的（力）影響。

既然如此，我們為什麼不直接用這個外微分來表示這個場呢？它已經能夠告訴我們電荷在這個場內會怎麼樣運動的一切信息了。

而為了更方便計算，我們引申出一個張量Fuv和一個四維矢量A，使它們有如圖的關係。

如圖，於是我們就可以用四維矢量Au來描述這個場了。我們就找到了用來描述這個場的數學工具了。

如圖，我們可以用電荷密度和電流組成的四維矢量J來描述電荷在四維時空中的分布。

同時，我們可以用四維矢量A來描述因為電荷存在而形成的那個場。

那麼我們現在需要做的就是找到這兩者之間的關係，這就是麥克斯方程組的作用了。

J和A我們都是可以通過測量獲得的，麥克斯韋發現它們有如圖的關係。

這是麥克斯韋方程組用四維矢量表示的形式，它其實就是講述了電荷與電荷周圍的場的關係。（現在我們先不糾結於它的內容，下一篇再具體研究它講述了什麼樣的故事）。

而上面那些物理量分別在三維空間和四維時空里的表示如圖。

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