「戰狼」投石機是如何戰勝敵軍的？

投石機是一種大型攻城武器，在中世紀或奇幻電影中經常可以看到它的身影。這種武器依靠將勢能轉化為動能來遠距離投擲物體。投石器看似簡單，實則有著一套複雜的動力系統。在這篇文章中，我們將使用「多體動力學模塊」構建一個簡化的配重式投石機模型，並重點研究一些設計特徵。

戰狼：終極攻城武器

投石機是一種遠程武器，它使用桿的擺動向目標投擲重物。戰爭一方通常利用它破壞城牆。有時也會用它投擲希臘火藥（Greek fire），造成更大規模的混亂和傷亡。觀眾可以在一些電影和電視節目中看到投石機的身影，比如《魔戒：王者歸來》（2003）；《馬可波羅》（2014—2016）；甚至在較早的《巨蟒與聖杯》（1975）中，城堡守衛竟然向著城外毫無戒心的亞瑟王砸了一頭牛！

歷史上，曾有一架名為「戰狼」的著名投石機，當時的英國士兵稱之為「Ludgar」。1304 年，在一次征討蘇格蘭的戰役中，英格蘭國王愛德華一世在圍攻斯特林城堡之前命令手下的工程師建造一架巨型的投石機，那就是有史以來最大的投石機——戰狼。傳言它能在 200 多米開外投擲出 150 公斤左右的巨石。

戰狼的小型複製品，這個配重式投石機在擺動臂的末端安裝了巨岩投石索。圖片由 Ron L. Toms提供。在 CC BY 3.0 授權下使用，通過維基共享資源分享。

這種大型投石機的配重質量一般相當於拋射物的十倍，也就是說，戰狼的配重約為 1.5 噸！只要戰狼發動了攻擊，對方的士兵基本很難倖存，面對強敵，駐守在城堡內的蘇格蘭軍隊不得不投降。但當時愛德華一世急於嘗試新建造的投石機，拒絕接受投降。他強迫蘇格蘭人留在城堡里，重新發動了圍攻。戰狼再次證明了自身的價值，其他事情，都交由歷史去評價。

投石機的工作原理很簡單。配重抬起，投石機撬高；當投石機發射時，配重降下，系統的勢能轉換成動能與勢能之和。拋射物經歷擺動後沿軌跡在特定點釋放，釋放點發生在投石索一端從擺動臂頂端滑離時。

對配重式投石機進行多體分析

在此例中，我們用「多體動力學模塊」和 COMSOL Multiphysics? 軟體 5.3 版本構建了一個簡易的投石機計算模型。

模型採用了下列假設和外形尺寸：

• 假定所有部件為剛性（包括投石索）
• 假定所有鉸接關節不產生摩擦
• 使用罰剛度防止拋射物穿入地面
• 垂直桿長度為 L5 ＝ 3.5 m，固定在地面上，代表支架
• 配重質量（M = 2000 kg）與拋射物質量（m）的比值為 100
• 配重懸掛在長度為 L4 = 1 m 的豎桿上
• 擺動臂總長 6 m，其中 L1 = 1 m
• 投石索長度為 L3 = 3 m

配重式投石機的模型示意圖。

當拋射物被擺動臂投擲到另一邊時，這個過程是非平凡的變速運動。如果投石機設計追求的是最遠投擲距離，這就產生了一個問題：在發射軌道的哪一點上發射重物，才能使投擲距離最遠？基礎力學指出，如果忽略空氣阻力和拋射物在發射時距離地面的高度，拋射物的投擲距離 s（測量標準為 x 軸正方向）可以表示為

其中 v0 和 α 分別表示拋射物在發射時的速度和角度，g 表示重力加速度。

因此，尋求最遠的投擲距離，相當於尋找使 s 值最大化的 v0 和 α 組合。你可能下意識地認為發射角度應該是 α = 45°。我們看一看該值是否適用於投石機模型。

下方動畫演示了投石機的運動。動畫繪製了投射軌跡上的 s 值，即在彈道的某一點上發射拋射物後的投擲距離。

從下方投擲距離與發射角 α 函數關係繪圖中可以看出，當在 α ≈ 38° 的位置上發射物體，此時的拋射距離達到最遠。結果表明，投擲角度與最佳角度的偏差小於 5° 時，只會對投擲距離產生數米的影響。換句話說，只要發射角度大致無誤，投石機就能發揮預期效果。

現在我們來研究一下，如果在參數掃描中把投石索拉長或縮短 10%，將會產生什麼影響？如下圖顯示，投石索的最大長度對最遠投擲距離影響巨大。所以，如果你在為中世紀的國王設計投石機時，應該特別注意這個設計參數。

藉助參數化掃描，你能夠輕鬆查看模型中其他的物理長度變化所帶來的影響（與此同時，配重應保持固定高度，使模擬一致）。歡迎訪問「案例下載」庫來獲取模型文件，並親手操作模型。

結束語

在本篇文章中，我們演示了如何利用「多體動力學模塊」建立一個簡單的配重式投石機模型。如果你有興趣了解更多關於多體動力學建模的信息，請閱讀下列文章：

• COMSOL Multiphysics 齒輪模擬簡介
• 陀螺儀動力學的模擬
• 卡車吊機的運動和力學

* 戰狼為什麼又被稱作 Ludgar 呢？因為英國士兵讀起戰狼的法文名稱（Loup de Guerre）時總是磕磕巴巴，因而將它縮寫成「Ludgar」。

經授權轉載自 http://cn.comsol.com/blogs/，原作者 Mats Danielsson。