1.2 測度 &外測度 &測度的完備化

05-24

1.2 測度 &外測度 &測度的完備化

來自專欄實變函數與泛函分析筆記

第一章 Measure theory

1.1 Ring和Algebra

1.2 測度 & 外測度 & 測度的完備化

（為什麼要引入測度，測度為何那麼定義）

符號說明

$forall$ ：對任意的（for all）

$exists$ ：存在（exist）

$i$ ：使得（such that）

$#X$ :表示集合 $X$ 元素的個數。如 $X={1,2,4 }$ 則 $# X=3$

$supset$ ：真包含。 $Asupset B$ ，表示A包含B且A不等於B

$supseteq$ :包含。 $Asupseteq B$ ，表示A包含B且A允許等於B

我們將 $Rcup{pminfty}$ 定義為擴充實數系，並規定運算如下：設 $x in R$ , $x pm infty=infty, pm infty+(pm infty)=pm infty$ $xcdotpm infty=pm infty(x >0), xcdotpm infty=mp infty(x <0)$

$0cdot(pminfty)=0，frac{{x}}{{pminfty}}=0$

註：(1) $left| x ight| <inftyLeftrightarrow x in R$

(2) $+infty+(-infty)$ 無定義

Section 1 測度的定義及性質

定義1 （測度）

設 $X$ 為全空間， $mathfrak{a}$ 為 $X$ 上的 $sigma$ 代數，函數 $mu：mathfrak{a} ightarrow[0,infty]$ 成為測度（measure），如果滿足：

(1) $mu(varnothing)=0;$

(2) $mu$ 是可數可加的（countably additive），即：

$mu( igcup_{n=1}^{infty}E_n )=sum_{n=1}^{infty}mu(E_n)$ ,for $E_n in mathfrak{a},E_icap E_j=varnothing(i e j)$

註：測度 $mu$ 的定義域為 $sigma$ 代數 ；測度 $mu$ 取值非負，允許為 $+infty$

定義2 (可加性和次可加性)

(a)可加（additive）： $mu(Ecup F)=mu(E)+mu(F) ,$ $for E,F in mathfrak{a}, E cap F=varnothing$

(b)有限可加（finitely additive）：

$mu( igcup_{n=1}^{N}E_n )=sum_{n=1}^{N}mu(E_n),$ $for E_1,...,E_N in mathfrak{a},E_icap E_j=varnothing(i e j)$

(c)次可加（subadditive）： $mu(Ecup F)leqmu(E)+mu(F) , forall E, F in mathfrak{a}$

(d)有限次可加（finite subadditive） : $mu( igcup_{n=1}^{N}E_n )leqsum_{n=1}^{N}mu(E_n),$ $for E_1,...,E_N in mathfrak{a}$

(e)可數次可加（countably subadditive ）:

$mu( igcup_{n=1}^{infty}E_n )leqsum_{n=1}^{infty}mu(E_n),$ $for E_1,E_2... in mathfrak{a}$

休息一會，回憶一下這些詞的含義：additive，finitely additive，countably additive，subadditive，finite subadditive，countably subadditive

定義3 （有限和 $sigma$ 有限）

（3.1） $mu$ 叫做有限（finite )測度，如果有 $mu(X) <infty$ 。

即測度 $mu$ 在全空間 $X$ 上的取值有限

（3.2） $mu$ 叫做 $sigma$ 有限（ $sigma$ finite）測度，如果 $exists {E_n} subseteq mathfrak{a}, ext{s.t.} mu(E_n)<infty forall n &X=igcup_{n=1}^{infty}E_n$

即，雖然全空間 $X$ 的測度為 $infty$ ，但 $X$ 可以表示為可數個 $E_n$ 的並，並且每個 $E_n$ 的測度是有限的。

$Delta$ 測度 $mu$ 的性質:

(1)測度具有有限可加性，即

$E_1,...,E_N in mathfrak{a},E_icap E_j=varnothing(i e j)Rightarrowmu( igcup_{n=1}^{N}E_n )=sum_{n=1}^{N}mu(E_n)$

由測度定義 $mu( igcup_{n=1}^{infty}E_n )=sum_{n=1}^{infty}mu(E_n)$ ，令 $E_{n+1}=E_{n+2}=...=varnothing$ 即得。

(2)測度具有單調性，即 $E,F in mathfrak{a}, Esubseteq FRightarrowmu(E)leq mu(F)$

$F=Ecup(Fackslash E)$ ,而 $E cap F ackslash E =varnothing$ ,由測度的可加性有 $mu(F)=mu(E)+mu(Fackslash E)$ ,而測度是非負的， $mu(Fackslash E)geq0$ ,即得 $mu(E)leqmu(F)$

(3) $E,Fin mathfrak{a},Esubseteq F,mu(E) <infty Rightarrowmu(Fackslash E)=mu(F)-mu(E)$

由（2）的證明過程有 $mu(F)=mu(E)+mu(Fackslash E)$ ，我們看這個式子的左邊 $mu(F)$ 和 $mu(E)$ ，若 $mu(E)=infty$ 則 $mu(F)=infty$ （因為由單調性 $mu(E)leqmu(F)$ ），此時 $mu(F)-mu(E)=infty-infty$ 無意義。因此要求 $mu(E)<infty$ ,此時就有 $mu(Fackslash E)=mu(F)-mu(E)$

(4)（測度具有可數次可加性、有限次可加性、次可加性）

$E_n in mathfrak{a} Rightarrow mu(igcup_{n=1}^{infty}E_n)leqsum_{n=1}^{infty}mu(E_n)$

令 $F_1=E_1,F_2=E_2 ackslash E_1,F_3=E_3ackslash (E_1 cup E_2),...$ ,則有 $forall n,F_n in mathfrak{a} ,F_n subseteq E_n &igcup_{n=1}^{infty}F_n=igcup_{n=1}^{infty}E_n,{F_n} ext{mutually disjoint}$ $mu(igcup_{n=1}^{infty}E_n)=mu(igcup_{n=1}^{infty}F_n)=sum_{n=1}^{infty}mu(F_n)leqsum_{n=1}^{infty}mu(E_n)$

(5)(Continuity from Below)

$E_n in mathfrak{a} & E_n subseteq E_{n+1} (E_nuparrow)Rightarrow$ $[mathop {lim }limits_{n o infty } mu ({E_n}) = mu (mathop {lim }limits_{n o infty } {E_n})]$

$mathop {lim }limits_{n o infty } {E_n}=igcup_{n=1}^{infty} E_n=E_1 cup(E_2 ackslash E_1)cup(E_3 ackslash E_2) cupcdots$ (兩兩互斥集的並)
則 $egin{align*} mu(mathop {lim }limits_{n o infty } {E_n}) &=mu(E_1)+mu(E_2ackslash E_1)+mu(E_3ackslash E_2)+cdots\ &=lim_{n ightarrow infty}[mu(E_1)+mu(E_2ackslash E_1)+cdots+mu(E_nackslash E_{n-1})]\ &=lim_{n ightarrow infty}[mu(E_1)+(mu(E_2)-mu(E_1))+cdots+(mu(E_n)-mu(E_{n+1}))\ &=lim_{n ightarrow infty}mu(E_n) end{align*}$

(6)(Continuity from above)

$E_n in mathfrak{a} & E_n supseteq E_{n+1}(E_ndownarrow) & exists n_0,mu(E_{n_0})< inftyRightarrow$ $[mathop {lim }limits_{n o infty } mu ({E_n}) = mu (mathop {lim }limits_{n o infty } {E_n})]$

$ngeq n_0$ 時， $E_{n_0}ackslash E_nin mathfrak{a}$ 且單調遞增，由上面的（5）有：
$mathop {lim }limits_{n o infty } mu ({E_{n_0}ackslash E_n}) = mu (mathop {lim }limits_{n o infty } {E_{n_0}ackslash E_n}) = mu (igcup_{n=n_0}^{infty}({E_{n_0}ackslash E_n}))$
上式最左邊= $lim_ {n ightarrow infty}({mu(E_{n_0}})-mu(E_n))={mu(E_{n_0}})-lim_{n ightarrow infty}mu(E_n)$ ，上式最右邊= $mu(E_{n_0}ackslash igcap_{n=n_0}^{infty}E_n)=mu(E_{n_0})-mu(igcap_{n=n_0}^{infty}E_n)$
比較即可得 $lim_{n ightarrow infty}mu(E_n)=mu(igcap_{n=n_0}^{infty}E_n)=mu(lim E_n)$
註：條件 $exists n_0,mu(E_{n_0})< infty$ 不能忽略，這是因為在這一步 $mathop {lim }limits_{n o infty } mu ({E_{n_0}ackslash E_n}) =lim_ {n ightarrow infty}({mu(E_{n_0}})-mu(E_n))$ ，保證了 ${mu(E_{n_0}})-mu(E_n)$ 不會出現 $infty -infty$

(7) $E_n in mathfrak{a} Rightarrowmu( underline{lim} E_n)leq underline{lim} mu(E_n)$

(i.e. $E mapsto mu(E) ext{lower semi-continuous }$ )

$mu( underline{lim} E_n)= mu( igcup_{n=1}^{infty}igcap_{k=n}^{infty} E_k) =mu(lim_{n ightarrow infty} igcap_{k=n}^{infty} E_k),$ $igcap_{k=n}^{infty} E_k$ 是單調遞增的，由（5）有 $mu(lim_{n ightarrow infty} igcap_{k=n}^{infty} E_k)= lim_{n ightarrow infty} mu( igcap_{k=n}^{infty}E_k) leqmathop {underline {lim } }limits_{n o infty } mu( E_n)$ 。
( 上式「 $leq$ 」成立原因。因為 $igcap_{k=n}^{infty}E_k subseteq E_n$ ,由測度單調性有 $mu(igcap_{k=n}^{infty}E_k )leq mu( E_n)$ ，再對兩邊取下極限得 $mathop {underline {lim } }limits_{n o infty } mu(igcap_{k=n}^{infty}E_k ) leq mathop {underline {lim } }limits_{n o infty } mu( E_n)$ ,
而 $mathop {underline {lim } }limits_{n o infty } mu(igcap_{k=n}^{infty}E_k ) =lim_{n ightarrow infty} mu( igcap_{k=n}^{infty}E_k)$ ，即得 $lim_{n ightarrow infty} mu( igcap_{k=n}^{infty}E_k) leq mathop {underline {lim } }limits_{n o infty } mu( E_n)$ )

(8) $E_n in mathfrak{a}, mu(igcup_{n=1}^{infty}E_n)<inftyRightarrow mu(overline{lim}E_n)geqoverline{lim} mu(E_n)$

(i.e. $ext{If } mu ext{is finite} ,E mapsto mu(E) ext{is upper semi-continuous }$ )

$egin{align*} mu(overline{lim}E_n) &= mu(igcap_{n=1}^{infty}igcup_{k=n}^{infty} E_k) （上極限的定義）\ &=mu(lim_{n o infty} igcup_{k=n}^{infty} E_k)（igcup_{k=n}^{infty} E_k是遞減的）\ &=lim_{n o infty}mu(igcup_{k=n}^{infty} E_k)（由(6)及mu(igcup_{n=1}^{infty}E_n)<infty）\ &geqmathop {overline {lim } }limits_{n o infty } mu( E_n) （由mu(igcup_{k=n}^{infty} E_k)>mu(E_n)然後取上極限） end{align*}$

(9) $E_n in mathfrak{a}, lim E_n ext{exists} & mu(igcup_{n=1}^{infty}E_n)<inftyRightarrow mu(lim E_n)=lim mu(E_n)$

$overline{lim }mu(E_n)leq mu(overline{lim } E_n)=mu(underline{lim } E_n)leq underline{lim }mu(E_n)leq overline{lim }mu(E_n)$
即 $mu(lim E_n)=limmu (E_n)$

Section 2 外測度（outer Measure）

接著所有的闡述都圍繞下面這個段話進行：
外測度 $mu^*$ 定義在全空間 $X$ 的所有子集上，抽出 $X$ 中滿足 $mu^*$ 可測的集合，即 $mathfrak{a} ={ mu^* ext{mesurable subsets of } X}$ ,則有結論：（1） $mathfrak{a}$ 是一個 $sigma$ 代數；（2）外測度 $mu^*$ 限制在 $mathfrak{a}$ 上就成為了測度。

定義4（外測度的定義）

$mu^*: mathscr{P}(X) o [0, infty]$ 成為外測度（outer measure）如果滿足：

$egin{align*} &(1)mu^*(varnothing)=0;\ &(2)mu^* ext{ is countably subadditive};\ &(3)E,F in mathscr{P}(X), Esubseteq F Rightarrow mu^*(E)leq mu^*(F) end{align*}$

註：外測度定義在 $X$ 是所有子集上，也就是說 $X$ 的任意子集都可以談論外測度。這與測度不同，測度定義在 $sigma$ 代數上，即只有一部分 $X$ 子集可以談論測度。

定義5 ( $mu^*$ 可測）

$mu^*$ 是定義在 $mathscr{P}(X)$ 上的外測度， $E in mathscr{P}(X)$ ， $E$ 是 $mu^*$ 可測的（ $mu^*$ measurable），如果滿足： $mu^*(A)=mu^*(A cap E)+mu^*(Aackslash E), forall A subseteq X color{green}{ ext{(Carathéodory 判別條件)}}$

註：由外測度的次可加性， $mu^*(A)leqmu^*(A cap E)+mu^*(Aackslash E)$ 恆成立，故常常利用 $mu^*(A)geqmu^*(A cap E)+mu^*(Aackslash E)$ 這一方向去驗證等式成立

定理1

$egin{align*} &mu^* ext{ is outer measure, } ext{let }mathfrak{a}={mu^* ext{ measurable subsets} }\ ext{Then} &(1) mathfrak{a} ext{is } sigma ext{algebra }\ &(2)mu^*|_{mathfrak{a}} ext{ is measure} end{align*}$

定理的證明要用定義驗證兩件事：(1) $mathfrak{a}$ 是 $sigma$ 代數（2） $mu^*$ 限制在 $mathfrak{a}$ 上成為測度
（待續）

例子/習題

1 定義 $mu^*(E)$ 為 $E$ 中點（元素）的個數，如果 $E$ 是有限的；定義 $mu^*(E)=infty$ ,如果 $E$ 是無限的。說明定義如上的 $mu^*$ 是外測度，並找出可測集。

我們用 $# A$ 表示集合 $A$ 元素的個數。
(1) $mu^*$ 的定義域為 $X$ 的所有子集，且取值為 $[0,infty]$
(2) $mu^*(varnothing)=0$ (空集是有限集，且元素個數為0)
(3)設 $E_iin mathscr{P}(X)$ , $mu^*(cup_{n=1}^{infty} E_i)leq sum_{n=1}^{infty}mu^*(E_i)$
(4) $E,F in mathscr{P}(X), Esubseteq F Rightarrow mu^*(E)leq mu^*(F)$

對於可測集 $E$ ,要求對任意的 $A$ ，有 $mu^*(A)=mu^*(A cap E)+mu^*(Aackslash E)$
注意到，若 $A$ =無限集，則 $A cap E$ 或 $Aackslash E$ 至少有一個是無限集（若不然，則 $A=(A cap E ) cup(A ackslash E)$ A表示為有限集的不交並，則A為有限的），故上面的等式恆成立。若 $A$ =有限集，則 $A cap E$ 和 $Aackslash E$ 都是有限集，又由 $A=(A cap E ) cup(A ackslash E)Rightarrow #(A)=#(A cap E)+#(A ackslash E)$ 即 $mu^*(A)=mu^*(A cap E)+mu^*(Aackslash E)$ 也成立。因此，任意子集 $E$ 都是可測集。

2 定義 $mu^*(varnothing)=0,mu^*(E)=1$ 如果 $E e varnothing$ 。說明 $mu^*$ 是外測度，並找出可測集。

$mu^*$ 是外測度。
對於可測集 $E$ ,要求對任意的 $A$ ，有 $mu^*(A)=mu^*(A cap E)+mu^*(Aackslash E)$
取 $A$ 為全空間 $X$ ，則 $mu^*(X)=mu^*(X cap E)+mu^*(Xackslash E)=mu^*(E)+mu^*(E^C)$
注意到，對上面式子要成立，只可能 $E=X ext{ or } E=varnothing$ 。因此可測集為 $varnothing, X$

3 設全空間 $X=mathbb{R}$ ，定義 $mu^*(E) = egin{cases} 0 & ext{ if }E ext{ is countable} \ 1 & ext{ if }E ext{ is uncountable} \ end{cases}$ ,說明 $mu^*$ 是外測度，找出可測集。

4 證明：如果某個外測度 $mu^*$ 是有限可加的，則 $mu^*$ 是測度。

Section 3 測度的完備化

定義6 （測度空間）

設有空間 $X$ ，在其上定義了 $sigma$ 代數 $mathfrak{a}$ 和測度函數 $mu$ ，那麼稱三元組 $(X,mathfrak{a},mu)$ 為測度空間。

定義7 （測度完備性）

$(X,mathfrak{a},mu)$ 為測度空間，稱 $mu$ 是完備的（complete），如果 $E in mathfrak{a},mu(E)=0,Nsubseteq ERightarrow N in mathfrak{a}$

定理2 設 $mu^*$ 是外測度， $mathfrak{a}$ 為所有 $mu^*$ 可測集( 即 $mathfrak{a}={ E in mathscr{P}(x):mu^*(A)=mu^*(A cap E)+mu^*(Aackslash E), forall A subseteq X }$ )，則 $mu^*$ 限制在 $mathfrak{a}$ 上得到的測度 $mu=mu^*|_{mathfrak{a}}$ 是完備的。

我們只需驗證， $E in mathfrak{a},mu(E)=0,Nsubseteq ERightarrow mu^*(A)geqmu^*(A cap N)+mu^*(Aackslash N), forall A subseteq X$
任取 $forall A subseteq X$ ，先證明 $mu^*(A cap N)=0$ ，這是因為 $mu^*(A cap N)leqmu^*(N)leqmu^*(E)=mu(E)=0$
由於 $Asupseteq Aackslash N$ ,故 $mu^*(A)geq mu^*(Aackslash N)$
進而有 $mu^*(A)geqmu^*(A cap N)+mu^*(Aackslash N)$
這就完成了證明。

例子（不完備測度的例子）

$mathfrak{a}={varnothing,X}$ , $mu(varnothing)=mu(X)=0$ ，若 $#Xgeq2$ ( $X$ 元素個數大於2)，則測度 $mu$ 不完備。因為此時對於 $X$ 有 $mu(X)=0$ ，我們取 $Nsubset X$ (真包含)，但 $mathfrak{a}={varnothing,X}$ ，即 $N otinmathfrak{a}$

下個定理表明，任意測度都擴充成完備的測度。

定理3 （測度完備化）

設 $mu$ 是 $sigma$ 代數 $mathfrak{a}$ 上的測度。

(1)令 $ar {mathfrak{a}}={Ecup N :E in mathfrak{a},Nsubseteq A, ext{where } A in mathfrak{a} & mu(A)=0}$ ，則 $ar {mathfrak{a}}$ 是一個 $sigma$ 代數；

(2)令 $ar{mu}(E cup N)=mu(E), ext{for} E cup N inar{mathfrak{a}}$ ，則 $ar{mu}$ 是 $ar{mathfrak{a}}$ 上一個完備的測度。

註：(1) $ar {mathfrak{a}}supseteqmathfrak{a}$ ;(2) $ar{mu}|_{mathfrak{a} }=mu$
（3）這個定理是說，對於不完備的測度 $mu$ ，我們可以將 ${Nin mathscr{P}(X):Nsubseteq A & mu(A)=0}$ (包含於測度為0的集合)添加到原來的 $sigma$ 代數 $mathfrak{a}$ 中，就可以將測度 $mu$ 完備化。

證明：（待）