Gauss與AGM(VII): Last Diary

05-24

來自專欄 A DIKTE

[註：題圖來自Gotthold Eisenstein → Carl Friedrich Gau?, Berlin, 1845 Jan. 25，是Eisenstein致Gauss的第一封信。本系列原本計劃加入Abel的部分內容，但其實有更好的替代，因此我們就略去了有關的篇章。我們建議讀者去閱讀Henrik Kragh S?rensen的書The Mathematics of Niels Henrik Abel: Continuation and New Approaches in Mathematics During the 1820s，這是我們略去內容的極好的補充。本篇主角不再是Gauss，可以算是Eisenstein生平的一點記錄(主要來自Norbert Schappacher，Andre Weil和Kurt Biermann)，數學內容取材自S. G. Vladut的書 Kroneckers Jugendtraum and Modular Functions 第三章以及Norbert Schappacher的文章Some Milestones of Lemniscatomy，同時本篇也是本系列的終章。]

1845年2月15日，年近七十的Gauss在寫給自己的老朋友Encke的信中提到一位年輕的學者[譯文來自高木貞治《近世數學史談》第三章，這段引文對應的德文曾出現在Paul St?ckel的文章《幾何學家Gauss》(Gauss als Geometer )當中，現根據Gauss原信件對St?ckel的引文作若干修正]：

…Er lebt noch in der [so] glücklichen Zeit, wo er sich ganz seiner Begabung hingeben kann, ohne dass er n?tig h?tte, sich durch irgend etwas Fremdartiges [darin] st?ren zu lassen. Ich werde [dadurch] lebhaft an die — l?ngst verflossenen! — Jahre erinnert, wo ich in ?hnlichen Verh?ltnissen lebte. Von der andern Seite erfordern auch gerade die rein mathematischen Spekulationen eine unverkümmerte [Application?] und unzerstückelte Zeit. …
……他現在擁有如此幸福的時刻，可以全身心地發揮自己的才能而不受外界所干擾。我也曾經處在和他相同的境況之下，那些(已經過去很久了！)的日子仍然栩栩如生地在我腦海中浮現。另一方面，純粹數學的研究也需要不受干擾的[應用？]和不被打斷的時間。……

我們大概可以想像Gauss是懷著怎樣甜蜜而苦澀的心情來回憶他的"英雄時代"(Heldenzeit，Klein語，指1798-1807年Gauss最富創造力的十年)。我們前文中所提及的絕大多數的工作，都是Gauss 1806年之前在不倫瑞克公爵的庇護之下進行的創作。然而生活不是歌謠。1806年Gauss的庇護轟然倒下。不倫瑞克公爵在這一年10月的耶拿會戰中被火槍打碎了雙眼和鼻樑，11月就去世了。失去了保護者的Gauss不得不去尋找新的經濟來源(儘管這已經不是他第一次碰到這種情況)。按Klein的說法，Gauss在哥廷根天文台的工作一開始並沒有給他任何收入，而且法國作為戰勝方強制徵收大量的賦稅，這進一步讓Gauss陷於經濟上的困境當中。Gauss前半生中最沉重的打擊也接踵而至。Gauss摯愛的妻子Johanna Osthoff Gauss(1780-1809)在產下她的第三個孩子之後去世。在她去世後的第二天(1809年10月12日)，Gauss寫信給自己"敬如父輩"(見Klein《數學在19世紀的發展》，第一章)的Olbers[譯文來自Dunnington的Gauss傳記，93頁]：

...Gestern Abend um 8 Uhr habe ich ihr die Engelsaugen, in denen ich seit 5 Jahren einen Himmel fand, zugedrückt. Der Himmel gebe mir Kraft, diesen Schlag zu tragen. Erlauben Sie mir jetzt, theurer Olbers, bei Ihnen ein paar Wochen in den Armen der Freundschaft Kr?fte für das Leben zu sammeln, das jetzt nur noch als meinen drei unmündigen Kindern geh?rend Werth hat. ...

......昨晚八點我合上了我的天使的眼睛，這五年來我從這雙眼睛中找到了天堂。老天給我力量抵禦這一擊吧。親愛的Olbers，請允許我和你一起度過幾個星期，在友誼的環抱中找回生活下去的勇氣，[現在]我的生命只對我三個幼小的孩子有價值。……

與此同時期的Gauss關於橢圓函數的筆記中也有Gauss的一條記錄[見Klein《數學在19世紀的發展》，中譯本11頁，Klein把這段記錄定在1807年-1810年]：

Der Tod ist mir lieber als ein solches Leben.
這樣活著還不如一死了之。

[很難想像Gauss有如此軟弱的時候。Gauss在Johanna死後寫的兩篇文字更是重磅催淚彈(見Dunnington的Gauss傳記，94-95頁)。但這大概才是Gauss不為人知的另一面。]

按照John Stillwell在其數學史著作Mathematics and Its History 中的評論，Gauss妻子的死對他的影響是極其巨大的：

If only Johanna had lived longer, Gauss might have become a very different man. But in 1809 she died, shortly after giving birth to their third child. Gauss was devastated by the blow and never quite recovered his equilibrium.

可以想像這樣的經歷或許是塑造Gauss"孤僻的個性"(Klein語)的一個重要因素。Abel在返回故鄉的途中特意繞開了Gauss，或許就與Gauss這種個性相關。但按照Klein的說法，Gauss並不是什麼時候都拒人千里之外。我們在本文開頭引用的信件中提到的青年學者——Gotthold Eisenstein，得到了Gauss前所未有的熱情對待。

Gotthold Eisenstein(1823-1852)是Johan Konstantin Eisenstein(1791-1875)和Helene Pollack(1799-1876)的長子。照Eisenstein在1843年的自述[鏈接即為此自述英譯本，德文來自1895年的雜誌Zeitschrift für Mathematik und Physik，全部翻譯來自鏈接所提供的英譯，下同]來看，與他的其他兄弟姊妹相比，他已經是非常幸運了。Eisenstein十七歲時腦膜炎帶走了他最小的妹妹，此前他的所有兄弟姊妹都是被同一種疾病奪走了生命。Eisenstein本人也受多種疾病的困擾，這恐怕給他本人的身心造成了難以磨滅的負面影響。用Eisenstein自己的話來說，就是：

Ich war in meiner Jugend ?usserst kr?nklich und schwach, daher auch sehr reizbar. ...Wahrscheinlich sind sie die Ursache einer, von Zeit zu Zeit wiederkehrenden, mich nun schon seit zwei Jahren verfolgenden hypochondrischen Stimmung, die ich nicht zu überwinden vermag.
我小的時候體弱多病，因此很容易發怒。……這恐怕是時不時地回到我身上的焦慮情緒[hypochondria，特指對自身健康狀況的焦慮情緒]的原因，它這兩年一直沒有離開我，我也沒能克服它。

終Eisenstein一生，他也未能擺脫這種負面影響。

從Eisenstein的自述來看，他的啟蒙教育來自他的母親，但激發他對數學的熱愛的人是教育大家Johann Heinrich Pestalozzi的學生。Eisenstein在寫自述時已經忘記了Pestalozzi的學生教他的具體內容，但Eisenstein從未忘記自己對這個人的敬意。在Eisenstein的記憶中拉丁語和繪畫是學完以後會慢慢退化的技能，但數學和音樂的才能大概陪伴了他很長的時間。自述中有一句話很有意思：

……Es ist immer gut, neben seiner Berufst?tigkeit noch ein solches zweites Talent auszubilden, das einem gleichsam den Eintritt in die Gesellschaft er?ffnet. Mann kann die Leute am Ende nicht mit mathematischen S?tzen unterhalten, aber eine hübsche Sonate oder Ouverture h?rt Jeder gern. ……

……一個人還是要學專業技能以外的第二特長，它會開啟一個人通往社會的道路。最終人還是不能用數學定理討人歡心，但大家都喜歡一場出色的奏鳴曲或序曲的演奏。……

從Eisenstein接受啟蒙教育起到1842年上半年，他一直沒有離開過柏林。1842年夏天Eisenstein和母親踏上了前往英國的旅程。此前Eisenstein就已經閱讀過了Euler和Lagrange的著作，而這次陪伴他踏上旅程的是Gauss《算術探討》的法文版。旅程中Eisenstein應當去過英格蘭，威爾士和愛爾蘭，Eisenstein一家一度還有定居在都柏林的打算，但最終還是取消了這個計劃。年輕的Eisenstein旅途中一直在研讀《算術探討》，有機會就演奏鋼琴。Eisenstein在自述中自嘲地說自己在歐洲大陸上不過是一般水平，在利物浦和都柏林別人倒把他當成鋼琴演奏的高手來看待。在都柏林Eisenstein碰到了Hamilton，並帶著Hamilton的一篇文章返回歐洲大陸。

1843年Eisenstein從預科學校畢業，進入柏林大學。Eisenstein的才能在此時爆發出來，1844年刊行的Crelle雜誌上至少包含Eisenstein用三種語言寫成的23篇文章。這一年三月Eisenstein見到了Alexander von Humboldt並得到了後者的終身照顧。在Humboldt的活動之下Eisenstein得到了普魯士國王以及柏林科學院的一些贊助，能夠從窘迫的境地當中稍稍解脫出來。兩個月之後，Eisenstein拿著Humboldt的推薦信去與他心中偉大的master會面。Eisenstein在兩周內與Gauss見了三次面，得到了Gauss的高度讚揚。André Weil後來用文學化的筆觸這樣寫道：

Gauss, one of the hardest men to please in the mathematical world, will invite him, still a first-year student, to a visit in G?ttingen, and from then on will take the deepest interest, not only in his work but also his well-being.

從1845年年初開始，Eisenstein就以每年一到二封信的頻率和Gauss進行交流。Eisenstein的絕大多數信件都只包含學術內容，他以最恭謹的姿態向偉大的Gauss彙報自己的研究成果。我們就拿第一封信的內容出來，看一下Gauss收到了Eisenstein什麼樣的研究成果。

1845年1月25日Eisenstein寫給Gauss的信是以Abel 1826年關於雙紐線的分劃問題引出的方程開頭的。我們已經在本系列的預篇以及Gauss與AGM(I)中提過，雙紐線的分劃問題可以歸結為求微分方程 $frac{mathrm{d}y}{sqrt{1-y^4}}=pfrac{mathrm{d}x}{sqrt{1-x^4}},pinmathbb{Z}$

的有理函數解 $y=frac{U(x)}{V(x)}$ ，其中 $U,Vinmathbb{Z}[x],mathrm{deg}U=p^2,mathrm{deg}V=p^2-1$ 。Abel則擺脫了 $p$ 是有理整數的限制。當 $p$ 是模4餘1的質數時，我們可以找到 $mathbb{Q}(i)$ 中的整數 $m=alpha+eta i$ 使得 $p=N(m)=alpha^2+eta^2$ 。Abel在1826前後研究的正是微分方程 $frac{mathrm{d}y}{sqrt{1-y^4}}=mfrac{mathrm{d}x}{sqrt{1-x^4}}$

的有理函數解。根據Euler的加法定理和歸納法，我們可以證明，這個方程存在有理函數解 $y=frac{U(x)}{V(x)},U,Vinmathbb{Z}[i][x]$ , 且 $U$ 的首項係數為 $pm 1,pm i$ 中的一個， $V(0)=1$ 。Abel應當很清楚 $mathbb{Z}[i]$ 模 $m$ 的剩餘在加法和乘法下構成何種結構：它與有限域 $mathbb{F}_p$ 具有相同的結構(為什麼？)。據此我們可以確定，如果 $U(x),V(x)$ 互質，那麼 $mathrm{deg}U=p,mathrm{deg}V=p-1$ (為什麼？)，而且Abel明確指出， $U/x,V$ 都是 $x^4$ 的多項式，這是我們在Gauss與AGM(II)中給出的雙紐線函數性質的直接推論。

Eisenstein著手探索的正是方程 $frac{mathrm{d}y}{sqrt{1-y^4}}=mfrac{mathrm{d}x}{sqrt{1-x^4}}$ 解的數論性質。我們在本系列的開篇篇末已經暗示過，我們可以倒轉 $V$ 的係數來得到 $U$ 的係數。Eisenstein在信中記 $x$ 的有理函數 $y$ 為 $y=xfrac{A_{0}+A_{1}x^4+cdots+A_{(p-1)/4}x^{p-1}}{1+B_{1}x^4+cdots+B_{(p-1)/4}x^{p-1}},$

分子分母多項式的係數都屬於 $mathbb{Z}[i]$ ，且 $A_0=m$ 。Eisenstein指出，他所研究的微分方程在 $ymapsto1/y,xmapsto1/x$ 作用下不變，那麼，有理函數 $frac{U(x)}{V(x)}$ 與 $frac{V(1/x)}{U(1/x)}$ 是同一個一階微分方程的解，它們其實只差一個因子 $i^mu,muinmathbb{Z}$ (為什麼？)。由此我們可以導出 $B_1=i^ u A_{(p-5)/4},B_2=i^ u A_{(p-9)/4},cdots, uinmathbb{Z}$ 。這就是"倒轉 $V$ 的係數來得到 $U$ 的係數"的含義。如果我們照Gauss的取法，取 $m$ 為"本原素數(primary prime)"，也就是 $mequiv1pmod{2+2i}$ 時，我們可以取 $u=0,A_{(p-1)/4}=1$ [為什麼？]。我們在下文中一概取 $m$ 為本原質數。

Eisenstein下面的工作和我們在預篇中提到的內容精神上是一致的。我們把有理函數 $y=frac{U(x)}{V(x)}$ 代回其微分方程，那麼我們有 $U^prime V-UV^prime=msqrt{frac{V^4-U^4}{1-x^4}}$ 。由於 $U,V$ 都是 $mathbb{Z}[i]$ 上的多項式，那麼 $sqrt{frac{V^4-U^4}{1-x^4}}$ 也是 $mathbb{Z}[i]$ 上的多項式。從而有 $U^prime V-UV^primeequiv 0pmod m$ 。Eisenstein把同餘式左側展開，一項一項對比係數，就有 $egin{align}A_0&equiv0pmod m\5A_1-3A_0B_1&equiv0pmod m\9A_2+A_1B_1-7A_0B_2&equiv0pmod m\cdotsend{align}$

這樣可以推出， $U$ 的各項係數除最高項係數以外都可以被 $m$ 整除，這也就意味著 $V$ 各項係數除常數項係數以外都可以被 $m$ 整除[為什麼？]。換言之，

$yequiv x^ppmod m$

[Remark: 我們要提示讀者，對於方程 $frac{mathrm{d}y}{sqrt{1-y^2}}=mfrac{mathrm{d}x}{sqrt{1-x^2}}$ 我們可以得到一個形式上類似的結論。這一點Eisenstein也是很清楚的。另外， $V$ 在 $mathbb{Q}(i)[x]$ 上一定不可約(為什麼？)]

Eisenstein的這個結論實質上是Gauss日記146條(也就是最後一條)證明的關鍵一步。Gauss在日記中實質上提出了這樣一個問題：

給定代數曲線 $x^2y^2+x^2+y^2=1$ 。通過數值計算可以發現，如果給定本原素數 $m=alpha+eta i$ ，那麼這條曲線在 $mathbb{Z}[i]/(m)$ 上的點[包含無窮遠點 $(pm i,infty),(infty,pm i)$ ]的個數似乎等於 $N(m-1).$

在1900年之前應當並沒有人花心思去研究Gauss的命題的證明。Robert Fricke曾經指出，這條曲線可以用我們在Gauss與AGM(I)提及的雙紐線函數參數化，也就是

$E:c^2(u)s^2(u)+c^2(u)+s^2(u)=1$ 而雙紐線函數的加法定理給定了這條代數曲線上的群運算。我們如何借用這些觀察來證明Gauss的命題呢？

Gauss的觀察實際上說明，Gauss本人在考慮曲線 $E$ 在有限域 $mathbb{F}_p$ 上的點的個數。特徵為 $p$ 的有限域最重要的自同構就是Frobenius自同構 $xmapsto x^p$ 。我們考慮 $mathbb{F}_p$ 的代數閉包 $ar{mathbb{F}}_p$ ，那麼 $ar{mathbb{F}}_p$ 在Frobenius自同構作用下不變的元素全部位於 $mathbb{F}_p$ 當中。因此 $E(ar{mathbb{F}}_p)$ 上的點屬於 $E(mathbb{F}_p)$ 當且僅當 $E(ar{mathbb{F}}_p)$ 上的點在Frobenius自同構作用下不變。而Eisenstein的推理告訴我們，Frobenius自同構在 $E(ar{mathbb{F}}_p)$ 上的點 $(c(u),s(u))$ 的像正是 $(c(mu),s(mu))$ ，這意味著 $E(ar{mathbb{F}}_p)$ 上的點 $(c(u),s(u))$ 屬於 $E(mathbb{F}_p)$ 當且僅當 $(c((m-1)u),s((m-1)u))=(1,0)$ 。 $E(ar{mathbb{F}}_p)$ 上這樣的點只有 $N(m-1)$ 個[為什麼？]，這樣我們就完成了問題的證明。Eisenstein最遲在1850年前後就擁有了證明Gauss命題的全部要素，但是，第一個正式發表在學術刊物上的證明要等到1921年才出現。

1845年的Eisenstein看起來前途無量，在數學界除Gauss以外，還有另一位大佬為他背書：那就是我們在本系列中多次提到的Carl Gustav Jacob Jacobi。而Eisenstein的不幸也正因Jacobi而起。本系列的作者已經在這個答案裡面提到過Eisenstein對二次互反律的證明，這個證明最早出現在1845年2月18日Eisenstein致Gauss的信當中。這其實並不是Eisenstein對二次互反律最早的證明。Eisenstein在1844年就給出了三個證明，而他在這一年的第二個證明給人留下了攻擊的口實。

Klein在《數學在19世紀的發展》中明確提過Jacobi的個性：他在進入哥尼斯堡大學的教授會時，遇到了一些麻煩，"因為他對其中每一個人都說過不中聽的話(weil er jedem der Mitglieder irgend etwas Unangenehmes gesagt habe)"。高木貞治在《近世數學史談》中說得更加直截了當：「性格火爆的Jacobi並不安於只做數學界的霸者，政治方面的運動他也參加了(火の玉のようなヤコービは數學界の覇王たるに安んぜずして、政治上の運動にも參加した。)」。1845年2月，Kummer在考慮Jacobi的意見後，授予了Eisenstein Breslau大學的名譽博士學位。而到1846年Jacobi對Eisenstein的觀感就產生了劇烈的變化。當Jacobi看到Eisenstein發表在Crelle雜誌28卷的證明之後，他在Crelle雜誌30卷上重印了自己1837年的一篇文章，同時加了一個附註，聲稱Eisenstein發表在Crelle雜誌28卷上的證明不過是他1827年與Legendre通信中提到的證明。Crelle雜誌的編輯Borchardt應當給Jacobi的聲明提過修改意見，因為Jacobi在同年2月23日致Bessel的信中使用的是更加嚴厲而刻薄的措辭：他直接指責Eisenstein並沒有獨立發現定理的能力，是一個"騙子和(文獻的)小偷"(Lügner und (literarischer) Dieb)。

當學界的大佬揮棒打來的時候，Eisenstein自然是沒有什麼還手之力的。對Jacobi而言這或許是給年輕人的必要一課，對Eisenstein而言這說不定就是世界的終結。在1846年4月20日Eisenstein致Moritz Abraham Stern的信[德文來自1895年的雜誌Zeitschrift für Mathematik und Physik，下同]中這種痛苦就表露得更加明顯。

…Das ganze R?tsel ist, dass es Jacobi verdriesst, dass ich nicht sogleich, nachdem ich von seinen Arbeiten über Kreisteilung erfahren hatte, ?ffentlich seine Priorit?t anerkannt habe, w?hrend ich doch Gauss so oft anführe. Dass ich nun dies unterlassen habe, daran ist blofs meine unschuldige Einfalt Schuld, da ich mich um dergleichen ?ufserlichkeiten nicht kümmerte, sondern nur an die Wissenschaft selbst dachte; durch Gauss habe ich nun einmal meine mathematische Bildung erlangt, seine Leistungen sind mir gel?ufig, und desshalb führe ich ihn an;…

……問題在於，我在了解Jacobi關於分圓[方程]工作的工作之後沒有立刻承認他的優先權，這把他激怒了，而我經常引用的是Gauss的文章。這該歸咎於我太天真幼稚，沒有這麼去做，因為我通常不太關心這些表面的東西，我只關心科學本身；我是通過Gauss得到我的數學教育，我也熟悉他的成果，因為這個原因我引用他；……

Eisenstein此時已經寫好了一篇文章，對Jacobi做一個回應，但是由於顧慮，他放棄了這件事情：

…Ich habe es- aber aufgegeben, dieses Manuskript wenigstens für jetzt drucken zu lassen, denn einmal ist Jacobi aufserdem ganz freundlich gegen mich, bis auf die allerletzte Zeit, wo ich ihn selten besuche, was aber an mir und nicht an ihm liegt, und dann darf ich ihn mir auch jetzt nicht erzürnen, weil ich meine Habilitation hier beabsichtige, wobei er mir einerseits nutzen andererseits aber auch sehr schaden kann. …
……我已經放棄了把文章付印的打算，至少現在不會，因為Jacobi也對我非常友好過，除了最近那一次，此後我就沒怎麼見過他(這也是因為我而不是因為他)，我現在也不能激怒他，因為我打算在這裡拿任教資格，藉此他一方面可以利用我，另一方面也可以嚴重地傷害我。……

Eisenstein在信中提到，Gauss和Humboldt做了一些努力嘗試把Eisenstein從這種情緒當中拉出來，這種努力也似乎奏效了，但Eisenstein在信中隨後就說了一些更加沉痛的話：

Ausser dieser wissenschaftlichen Anerkennung und Freude ist aber mein Leben sehr freudlos. Die Mathematik allein kann nicht glücklich machen und sie ist so schwierig, dass man nur selten die Genugthuung hat, einen Schritt vorw?rts zu kommen. Es fehlt mir hier an aller Geselligkeit, mit meinen Verwandten bin ich ganz zerfallen, denn dies sind Geldleute, die mich nicht verstehen und die ich nicht verstehe, die Fachgelehrten sind wieder zu hoch erhaben und zu stolz, als dass es zu einer rechten Innigkeit kommen k?nnte. …
除去這些科學方面的認同和歡樂之後，我的生活就非常無趣。只靠數學並不能給人帶來快樂，而且[數學研究]困難到你很難跨出令自己滿意的一步。我在這裡沒有社交，我和我的親戚們也斷絕了關係，因為他們這些人只認錢，他們不能理解我，我也不能理解他們，學者們又太自高自大，很難和他們建立真正親密的關係。……

連這位Gauss欽點的天才都說出這種沉痛的話語，可見學術研究之不易！

1846年，在Humboldt的努力之下，Eisenstein被免除了服兵役的義務。1847年5月Eisenstein獲得了柏林大學的任教資格，在柏林大學Eisenstein負責講授橢圓函數理論以及復變數理論[大概是複分析肇始時期的理論]。就在這一年，Eisenstein在Crelle雜誌35卷上發表了他的橢圓函數理論的大作(見Crelle雜誌35卷，153-274頁)。這部大作在它發表後四十年內一直被忽視，是Leopold Kronecker和André Weil將Eisenstein的研究重新帶回人們的視野。作者在這個答案中的一個想法強烈依賴於他們三位的工作，在此作者謹對三位表示最誠摯的謝意。Eisenstein在這一年還出版了自己的論文集，Gauss還親自為Eisenstein的論文集寫了序言，這可以說是無上的榮耀。

[Remark: Eisenstein橢圓函數理論課程的聽眾中就有時年21歲的Riemann。Eisenstein一直對Riemann非常感興趣，想必Eisenstein也注意到了Riemann的才華。但1850年1月14日Eisenstein在致Stern的信中回憶道：Riemann好像總是躲著Eisenstein。根據Riemann傳記作者Laugwitz的分析，Jacobi在1846年對Eisenstein的評價可能是原因之一；另一方面，根據Dedekind寫的Riemann生平來看，兩人在對複分析理論的理解上有著本質上的分歧：Riemann認為，複分析理論的根基應當在偏微分方程當中，而Eisenstein則是所謂的"公式人(Formel-mensch)"，執著於公式計算。但Weil曾經提過，Riemann對zeta函數的函數方程的推導很有可能受Eisenstein影響，而且Eisenstein在自己的自傳中也很明確地說過"我討厭無目的的計算"，因此像Klein那樣，把Eisenstein當做Riemann對立面的做法大概是不妥的。]

1848年1月始於義大利的波動與混亂迅速傳播到整個歐洲。地位超然的Gauss沒有在混亂中受到太大的衝擊，其他學者的遭遇則各不相同(Jacobi因為這次動蕩失去了薪水，他的政治地位也發生了永久的改變)。Eisenstein則莫名其妙地捲入了1848年3月18日-19日柏林大規模示威的混亂當中。根據Gauss與Encke在1848年8月11日的通信[見Dunnington的Gauss傳記，275頁]，Eisenstein在3月19日被捕，被棍棒毒打，與一群囚犯一起被迫步行到柏林郊外，最後在3月20日被釋放。Eisenstein為此被迫卧床一周，但更嚴重的後果是他自此可能被打上了標籤。回想1838年Gauss的女婿Heinrich Ewald的遭遇大概就能理解Eisenstein的心情。Ewald在捲入哥廷根七君子事件後，Gauss沒有為女婿出頭，而是轉託Humboldt向漢諾威國王Ernest Augustus一世求情。漢諾威國王在舞會上對Humboldt說：用我的錢，芭蕾舞演員，妓女和教授，要多少有多少(見Dunnington Gauss傳記200頁腳註)。學者們在國王看來不過是「以倡優蓄之」，而Eisenstein又因為3月的風波被放在了國王的對立面，用Eisenstein的話說，他從國王那裡領錢不如沒有，因為(1848年11月致Stern的信)

…denn ich h?nge dadurch ganz speciell von der Gnade des K?nigs ab, und das ist, wie Sie wohl denken k?nnen, in jetzigen Zeiten sehr übel. …
……我現在要仰仗國王的慈悲，你也知道，這在現在這個時候是糟透了。……

自此Eisenstein兩年間(1848-1849)沒有產出一篇文章。1850年Eisenstein才重回力量的巔峰，但他的時間已經不多了。1851年，Eisenstein的健康狀況已經惡化到無法正常教課的地步，次年10月11日，Eisenstein因肺結核去世，享年29歲。此前Humboldt為了避免Eisenstein重演Abel的悲劇，為他多方籌錢，試圖把他送到西西里去療養，但是當Humboldt拿到這筆費用的時候，一切都已經太晚了。Humboldt陪Eisenstein的靈柩到達墓地，並且給Eisenstein的父母以經濟支援。至於Eisenstein的墓碑，今天它已經不復存在。

[Remark: Gauss對Eisenstein的早逝必然也是無法釋懷。根據Dunnington的Gauss傳記，Rudolf Wagner在Gauss去世前三個月與Gauss曾有過一場對話。在對話中兩人提到Eisenstein的名字。Wagner詢問Gauss：Eisenstein是不是非常重要的數學家? Gauss的觀點是：Eisenstein是所有時代最偉大的那一類天才。Eisenstein本可以成為Gauss橢圓函數論和數論工作最好的繼承人之一，但是他早早地凋謝了。]

Gauss本人在生命的最後二十年里，並沒有意願發表自己年輕時的發現，但也沒有讓這些想法徹底消失不見。他對自己的許多成果守口如瓶，這也招來了一些攻擊(請讀者去閱讀Oscar Shenyin匯總的材料中Gauss與Bessel的書信。Bessel在書信中質問：要是Euler和Lagrange也像您這樣，把成果埋在故紙堆里二三十年再發表，他們是否還會有今天這樣的地位？)。Gauss對這類質疑的觀點有著這樣的回應(見1850年2月5日Gauss致Schumacher的信，譯文來自Buhler的Gauss傳記，72頁)：

Sie sind ganz im Irrthum wenn Sie glauben, dass ich darunter nur die letzte Politur in Beziehung auf Sprache und Eleganz der Darstellung verstehe. Diese kosten vergleichsweise nur unbedeutenden Zeitaufwand; was ich meine, ist die innere Vollkommenheit. In manchen meiner Arbeiten sind solche Incidenzpunkte, die mich jahrelanges Nachdenken gekostet haben und deren in kleinem Raum concentrirter Darstellung nachher niemand die Schwierigkeit anmerkt, die erst überwunden werden mu?.
如果你相信我所指的只是語言上的打磨和形式上的完美，那你就大錯特錯了。這些事情耗的時間相當少，我所指的卻是內在的完美。我的一些文章里包含的一些[問題的]切入點是花了我多年的思考時間的；當這些理論被提煉濃縮以後，看到的人不會相信一開始需要克服何種困難[才能到達如此地步]。

按Buhler的評論，Gauss並沒有有意隱瞞自己的理論。不到徹底理解整個理論，他就不想發表。我們只能說對此深表遺憾，畢竟，按照Gauss 的話來說[見Gauss全集第四卷，189頁。這一工作是Gauss在微分幾何方面工作的一個通告]，

Ab his stenitur ad maiora [This paves the way to bigger things].

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