為什麼 d+1 維經典模型對應於 d 維的量子模型？

05-24

這裡討論一下場論和統計力學的這種對應還是很有趣的。
1.d維時空的歐幾里得場論等價於d維空間的經典統計力學

標量場的路徑積分的生成函數，在Minkowski空間中為
$Z_M=int Dvarphi e^{i/hbarint d^dx[frac{1}{2}(partialvarphi)^2-V(varphi)]}$ ,其中 $(partialvarphi)^2=(partial_tvarphi)^2-( ablavarphi)^2$
進行一個Wick轉動 $t=-it_E$ 得到Euclidean空間的生成函數 $Z_E=int Dvarphi e^{-1/hbarint d^d_Ex[frac{1}{2}(partialvarphi)^2+V(varphi)]}=int Dvarphi e^{- E(varphi)/hbar}$ (1)
其中 $d^dx=-id^d_Ex=-idt_Ed^{(d-1)}x$ , $(partialvarphi)^2=(partial_{t_E}varphi)^2+( ablavarphi)^2$

而經典統計力學的系綜的配分函數為
$Z=prod_{i}int dp_idq_ie^{-eta E(p,q,)}$ ,其中E(p,q,)為系統總能量，比如對於N體有相互作用系統有
$E=sum_i frac{p_i^2}{2m}+V(q_1,q_2,.....,q_N)$ ，對廣義動量積分之後得到
$Z=prod_{i}int dq_ie^{-eta V(q_1,....,q_N)}$ (2)
比較一下（1）和（2）就可以看出如果指標i對應坐標x, 廣義坐標 $q_i$ 對應場函數 $varphi(x)$ ,則（2）式的形式和（1）完全對應，能量為V（因為動能部分積分積掉了）。同時，也可以看出在 $k_B=1$ 下， $hbarsim T=1/eta$

因此d維時空的歐幾里得場論等價於d維空間的經典統計力學。這裡說明一下，這種等價性，更多地體現在形式的一致性上。
2.D+1維時空歐幾里得場論在周期性邊界條件下等價於D維空間的量子統計力學
對於一個量子力學系統而言，對相空間(q,p)的積分改為求跡，則對於哈密頓量為H的系統而言，有
$Z=tr e^{-eta H}=sum_{n}<n|e^{-eta H}|n>$ (3)
則根據散射振幅的路徑積分表述 $<q_F|e^{-iHT/hbar}|q_I>=int Dq(t)e^{(i/hbar)int_{0}^{T}dtL(q,dot{q})}$ ，可以將時間T用 $-ieta$ 代替，令初態和末態均為 $|n>$ ,對 $|n>$ 求和

$sum_{n}<n|e^{-eta H}|n>=int Dqe^{iint_{0}^{eta}(-id au)[frac{1}{2}(frac{dq}{-id au})^2-V(q)]}=int _{PBC}Dqe^{-int_{0}^{eta}d au L(q)}$ ,其中拉格朗日量正是用歐幾里得時間表示的哈密頓量。由於配分函數中是求跡，且初末態相同，所以配分泛函應該在周期性邊界條件 $q(0)=q(eta)$ 下對所有路徑進行積分。PBC是指periodic boundary condition。
那就可以看出。如果H是D維空間（即d=D+1維時空）的哈密頓量，則配分函數Z為
$Z=tr e^{-eta H}=int _{PBC}Dvarphi e^{-int_{0}^{eta}d auint d^Dxmathcal L(varphi)}$ , $mathcal L(varphi)$ 是拉格朗日密度。積分是對所有路徑 $varphi(overrightarrow{x}, au)$ 進行，並且滿足 $varphi(overrightarrow{x},0)=varphi(overrightarrow{x},eta)$ .以上所有的場函數均為Bose場，對於Fermi場由於要考慮反對易性，Fermi場的路徑積分要用到Grassmann變數，這裡不做討論了。
所以

D+1維時空且 $0leq au leq eta$ 的歐幾里得場論等效於D維空間 的量子統計力學。
3. D維時空的歐幾里得場論等價於高溫下D維空間的量子統計力學
這裡就是 @qfzklm 所提到的那種情況。
因為在上文中考慮了場的周期性邊界條件 $varphi(overrightarrow{x},0)=varphi(overrightarrow{x},eta)$ ，所以進行Fourier變換的話，頻率離散化取分立值 $omega_n=2pi n/eta$ , $nin Z^{+}$ 。因此動量空間中的費曼積分對頻率 $k^0$ 的積分轉變為對求和。當把動量空間中的費曼積分化成 $int d^d_EkF(k^2_E)$ 後，這個積分可以被替換為 $2pi Tsum_nint d^DkF[(2pi T)^2n^2+overrightarrow{k}^2]$ (4)
可以看到，在 $T ightarrowinfty$ 時，由於費曼積分的形式是 $int d^dk frac{1}{k^2-m^2+ivarepsilon}$ , 因此在積分 $int d^dkF[(2pi T)^2n^2+overrightarrow{k}^2]$ 中， $(2pi T)^2n^2+overrightarrow{k}^2$ 位於分母上。也就是說在T趨於無窮大時，主導項是n=0那一項。
根據以上分析，由於動量空間中的頻率部分（對應坐標空間的時間部分）已經積分（即求和）掉了，因此(4)式表明本來是一個d維時空的積分，積掉時間一維後，最後變成了一個在D維空間的積分。
因此，D維時空的歐幾里得場論等價於高溫下D維空間的量子統計力學。而D維時空的歐幾里得場論本身等價於D維空間的經典統計力學。因此這其實說明量子統計在高溫極限下退化為經典統計力學。
參考文獻：A.Zee 《Quantum theory in a nutshell》(《簡明量子場論》)第一版第五部分第二節,P261--264.

簡單來說，你可以寫出一個配分函數的對應。
╮(╯_╰)╭
將d維的量子系統的配分函數寫出來，這個配分函數在虛時間方向是一個路徑積分，你可以沿著虛時間方向離散化來計算這個配分函數，而離散化後的配分函數正好就是d+1維的經典系統使用轉移矩陣方法寫出的配分函數，其中在+1維上的格點的數量，正好等於你之前離散化的份數。。
隨手找到一個資料參考：http://web.mit.edu/8.334/www/grades/projects/projects12/TimHsieh.pdf

題主是想說 AdS/CFT 對偶嗎？如果是的話，那是因為d+1維經典引力理論的邊界，是d維的SYM理論啊。用不太準確的描述來說的話，你可以把額外的那個維度z往邊界走的過程，類比成，某一個高維理論通過重整化流，流向fix point的過程。

所以隱變數一直排除不掉啊

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