世界數學難題：「四色定理不成立」的一些探討

文/余熙瑩（來源於微信公眾號：許興華數學）

摘要：本文用實例指出了四色定理不成立，並給出了初步的證明。數學界有一句名言：「一個反例就可以推翻一個著名的定理！」本人既然給出了反例，就期待專家及大眾驗證，一是看是否有人否定本人給出的反例，二是如果不能否定，則期待有關專家能從圖論理論方面給出四色定理不成立的更為嚴謹的證明。

關鍵詞：四色定理 機器證明

中圖分類號：0311.2018 文獻標識碼：A

1976年，美國科學家阿佩爾和哈肯宣稱他們用計算機證明了著名的四色定理：即一般地圖可用四種顏色正確染色。（有共同邊界的區域不能同顏色），不管大家是否承認阿佩爾等人的機器證明，四色猜想能否用非機器的一般演繹方式加以證明，至今仍是一個世界之謎。

現在我們就來揭開謎底：四色定理（或者四色猜想）是不成立的！

首先來看第一個反例，參看圖1。這個圖形共有114個區域，由6個環組成，第1環1個區域，第2環5個區域，第3環15個區域，第4環45個區域，第5環45個區域，第6環3個區域。每個區域至少有5個鄰域，我們先從從裡向外面排列字母（相當於塗顏色）。第一圈標A，第2圈標B、C、B、C、D，第3圈標A、D、A、D……A、D、B、A、B，第4圈B、C、B、C……B、C、D、C、D、C、D……C、D，第5圈標A、D、A、D……A、D、B、A、B、A……B、A，第6圈3個區域均分了第6個園環，有一個區域與標A、D的區域為鄰，標B；另一個區域與A、B、D為鄰，標C，剩下的一個區域與A、B、C、D都為鄰，只能標E。

我們仔細觀察，如第6圈只是一個區域，就可以標C，如果分成兩個區域，可以分別標上B、C，即112個區域，113個區域可以四色配色。但分成3個區域，即總計114個區域後，四色定理就不成立了。

為充分說明問題，我們還可以從外面向裡面排列字母。參看圖2。

第6圈標A、B、C，第5圈標B、D、B、D、……B、D、C、D、C、D……C、D、C、D，第4圈標C、A、C、A……C、A、B、A、B、A……B、A、B。第3圈標D、B、D、B、D……B、D、C、D、C、E（標E的區域其鄰域有A、B、C、D，因此只能標E。），第2圈標A、C、A、C、B，第1圈標D。

下面再來看第2個反例，參看圖3。這個圖形共有116個區域，也是由6環組成。第1環1個區域，第2環7個區域，第3環35個區域，第4環35個區域，第5環35個區域，第6環3個區域。每個區域至少有5個鄰域。

我們先從裡面到外面排列字母（相當於塗顏色），第1圈標A，第2圈標B、C、B、C、B、C、D，第3圈標A、D、A、D……A、D、B、A、B，第4圈標B、C、B、C……B、C、D、C、D、C、D，第2圈有7個區域，第3圈有35個區域，第4圈有35個區域，第5圈有35個區域，都是奇數，每環至少需要用3個字母來標識，第2圈用B、C、D，第3圈用A、D、B，第4圈用B、C、D，第5圈用A、D、B。第6圈是3個區域，也是奇數，必須用3個字母來標識，還能用B、C、D嗎，不行了，一個區域填B，另一個區域填C，剩下一個其鄰域，填A、B、C、D都有了，只能填E了，如果第6圈只是1個區域，我們就可以填C，如果第6圈是均分成兩個區域，我們可以填B、C，這說明114，115個區域還可以四色配色，但是116個區域就不能四色配色了。

為充分說明問題，我們還可以從外面向裡面排列字母，如圖4所示。

第6圈填A、B、C，第5圈填C、D、C、D……C、D、B、D……B、D、B，第4圈填A、B、A、B……A、B、A、C……A、C，第3圈填C、D、C、D……C、D、B、D、B、D……B、D、B，第2圈依次填上A、B、A、B、A、C、E，填E的區域鄰域標A、B、C、D都有，只能填E，第1圈填D。

本文所舉圖例，符合正規地圖標準：每個角點都是三條邊界匯合。雖然環數較多，還是比較規則，不是刁鑽古怪的圖例。其實，即使是刁鑽古怪的圖例，但只要指出四色定理不成立，也可以採用。

除了可以舉出很多符合四色定理的圖形外，還可以構造出許多四色定理不成立的圖例，即使是象本文中一環扣一環的這種構造，就可以構造出無窮多構形，但說明四色定理不成立，有本文所給出的兩個反例就足夠了！

當然，在未找到更少數目的極小五色正規地圖之前，本文中圖1給出的114個區域的構形暫時就可以作為極小五色正規地圖。以後有可能會找出最少數目的極小五色正規地圖。

下面再給大家提供一個區域數目較少的四色定理不成立的反例。該圖形分成5圈，第1圈1個區域，第2圈7個區域，第3圈49個區域，第4圈49個區域，第5圈均分成3個區域，一共有109個區域，每個區域至少有5個鄰域，先從裡面向外面排列字母，可以看出有一個區域必須標E，如果第5圈只有一個區域，可以標A，如果有兩個區域，可以分別標A、D，可見107個區域、108個區域可以四色配色，但是109個區域就不行了，如圖5所示。

為充分說明問題，我們還可以外面向裡面排列字母，也可看出有一個區域必須標E，如圖6所示。

【附】本文的英文簡要：

The Theorem of Four

Colours is nottrue

Yu Xi Ying

(Guangxi University Naming,Guangxi 53004)

Abstract

This paper gives the factthat the Theorem of Four Colours is not true,and gives the primary proof andtwo examples.

Key Words

The Theorem of Four Colours Prove by using machine

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