積分(1)

05-23

積分(1)

來自專欄物理學原理概述

契機

重新審視一下Riemann積分。我們引入階梯函數，它定義在一個一維實區間 $[a,b]$ 上， $a<x_1<cdots<x_n<b$ 是區間的分劃，階梯函數在每一個小區間里是常函數。事實上，Riemann積分是用階梯函數去估計積分值。對於不能用階梯函數估計的函數，Riemann積分就無法計算，比如這個例子： $mathfrak{D}(x)=left{ egin{array}{lll}1,xinmathbb{R}ackslashmathbb{Q}\0,xinmathbb{Q} end{array} ight.$ ，稱作是Dirichlet函數。但若採用不同的分劃方法，比如，將函數的值域進行分劃。對於單調有界函數，其值域是 $[A,B]$ ， $A<y_1<cdots<y_m<B$ 是分劃；函數在 $[a,b]$ 上取值，而每一個分劃小區間 $Y_k=[y_k,y_{k+1}]$ 所對應的原像的區間 $X_k=[x_k,x_{k+1}]$ 長度是 $x_{k+1}-x_k$ ，這樣就能構造積分。不是單調函數的情況，類似地推廣。對Dirichlet函數在 $[0,1]$ 上的積分，只需要知道無理數和有理數在區間上分別佔多少比重。我們已經知道 $[0,1]$ 上實數的勢大於有理數的勢，從而應該猜測Dirichlet函數在 $[0,1]$ 上積分大於0。現在需要引入一種工具來估計這些集合的「長度」。

測度

引入 $mathbb{R}^n$ 中矩形的概念，它實際上就是區間 $ar{Q}=left{ x|a_ileqslant x_ileqslant b_i ight}$ ，只不過改了個說法。稱矩形的測度是 $mu(ar{Q})=prod_{i=1}^{n}(b_i-a_i)$ 。稱兩個矩形是幾乎不交的，如果它們的內點的集合 $Q=left{ x|a_i< x_i< b_i ight}$ 不相交。矩形的「體積」(測度)是十分簡單就能定義的並且很直觀，遂採用矩形來估計任意集的測度。

命題 任意開集 $Osubsetmathbb{R}^n$ ， $O=igcup_{k=1}^{infty}ar{Q}_k$ ，其中 $ar{Q}_k$ 是至多可數個兩兩幾乎不交的矩形。

命題 任意開集 $Osubsetmathbb{R}^n$ ， $O=igcap_{k=1}^{infty}Q_k$ ，其中 $Q_k$ 是至多可數個兩兩不相交的開矩形。

稱集合是 $F_sigma$ 型的集合，若它是至多可數個閉集的並；稱集合是 $G_delta$ 型的集合，若它是至多可數個開集的交。稱由開集和閉集經過至多可數次交運算和並運算得到的集，是Borel集。 $F_sigma$ 和 $G_delta$ 集都是Borel集。

引進一個新的代數結構：集環，若一個集族 $mathscr{R}$ ， $forall A,Bin mathscr{R}$ 滿足 $(ADelta Binmathscr{R})wedge(Aackslash Binmathscr{R})$ 則稱 $mathscr{R}$ 是集環。其中 $ADelta B=(Acup B)ackslash(Acap B)$ 被稱作對稱差運算。由 $Acup B=(ADelta B)Delta(Acap B)$ 和 $Aackslash B=ADelta (Acap B)$ 可知並和差是封閉的。若 $forall Ain mathscr{R}$ ， $exists Einmathscr{R}$ 使 $Acap E=A$ ，則稱 $E$ 是 $mathscr{R}$ 中的單位。

命題 對任何非空集族 $S$ ，存在唯一的集環 $mathscr{R}(S)$ 使 $S$ 上的任意集環都包含 $mathscr{R}(S)$ 。

稱這個集環 $mathscr{R}(S)$ 是 $S$ 上的極小環。稱集環 $mathscr{R}$ 是 $sigma$ 環，若集族中的任意集合列 $left{ A_k ight}$ ，都滿足 $igcup_{k=1}^{infty}A_kinmathscr{R}$ 。若 $sigma$ 環有單位，則稱它是 $sigma$ 代數。此時由 $igcap_{k=1}^{infty}A_k=Eackslashigcup_{k=1}^{infty}(Eackslash A_k)$ 推得 $igcap_{k=1}^{infty}A_kinmathscr{R}$ 。這樣，Borel集就構成 $sigma$ 代數。對測度的代數結構的研究僅限於此，而研究更直觀的結論。首先著眼於有界集，稍後再把它推廣到無界集上。

下述的集合，若無特別說明則都是有界集。

稱有界集 $forall Uinmathbb{R}^n$ 的外測度是 $m^*(E)=inf(sum_{n=1}^{infty}m({ar{Q}_k}))$ ，其中 $ar{Q}_k$ 是至多可數個兩兩幾乎不交的矩形，且構成 $E$ 的覆蓋。

命題 (1) $Asubset B$ ，則 $m^*(A)leqslant m^*(B)$ ；

(2) $O=igcup_{k=1}^{infty}O_k$ ，則 $m^*(O)leqslant igcup_{k=1}^{infty}m^*(O_k)$ ；

(3) $O=igcup_{k=1}^{infty}ar{Q}_k$ 且 $ar{Q}_k$ 幾乎不交，則 $m^*(O)=igcup_{k=1}^{infty}m^*(ar{Q}_k)$ 。

稱有界集 $Usubsetmathbb{R}^n$ 是Lebesgue可測集或簡稱L可測集、可測集，若 $forall varepsilon>0$ ， $exists Osupset U$ 使 $m^*(Oackslash U)<varepsilon$ 。此時稱可測集的外測度就是它的測度或Lebesgue測度，即 $m(U)=m^*(U)$ 。這個定義的合理性是由下述命題保證的：

命題 $Usubsetmathbb{R}^n$ ，則 $m^*(U)=inf_{forall Osupset U}m^*(O)$ ，其中 $O$ 是開集。

稱一個集合列 $left{ U_k ight}$ 是遞增列，若 $U_ksubset U_{k+1}$ 且 $U=igcup_{k=1}^{infty}U_k$ ，記作 $U_k earrow U$ 。

命題 (1) 可數個可測集的並集、交集是可測集；

(2) 兩個可測集 $U_1,U_2$ 的差集 $U=U_1ackslash U_2$ 是可測集，且 $m(U)=m(U_1)-m(U_2)$ ；

(3) $left{ U_k ight}$ 是可測集合遞增列，且 $U=igcup_{k=1}^{infty}U_k$ 有界，則 $m(U)=lim_{k ightarrow infty}{U_k}$ ；

(4) $U=igcup_{k=1}^{infty}U_k$ 有界， $left{ U_k ight}$ 可測並且兩兩不相交，那麼 $U$ 可測且 $m(U)=sum_{k=1}^{infty}{U_k}$ 。

可測函數

引進一個新的記號： $U(f>a)=left{ xin U|f(x)>a ight}$ 其中 $f: U omathbb{R}$ 。若命題 $P$ 在集合 $Uackslash U_0$ 上成立，且 $U$ 和 $U_0$ 可測， $m(U_0)=0$ ，則稱 $P$ 在 $U$ 上幾乎處處成立。

稱 $f: U omathbb{R}$ 是Lebesgue可測函數，簡稱可測函數，若 $Usubset mathbb{R}^n$ 是可測集，且 $forall ain mathbb{R}$ ， $U(f>a)$ 可測。若 $f$ 和 $g$ 在 $U$ 上幾乎處處相等，即 $m(U(f e g))=0$ ，這顯然是一個等價類，記作 $fsim g$ 。

命題 (1) 閉區間上定義的連續函數可測；

(2) 集合 $U$ 與其特徵函數 $chi_U(x)=left{ egin{array}{lll} 1,xin U \ 0,x otin U end{array} ight.$ 同時可測或不可測；

(3) $f$ 和 $g$ 在 $U$ 上可測，那麼 $lambda f+mu g$ ， $fg$ ， $frac{f}{g}$ （ $g e 0$ ）， $|f|$ 在 $U$ 上可測。

(4) 收斂的可測函數列的極限函數可測。

可測函數列有獨特的收斂方式：若 $forall varepsilon>0$ ， $lim_{k ightarrow infty}{m(U(|f_k-f|geqslantvarepsilon))}=0$ ，則稱 $left{ f_k ight}$ 依測度收斂到幾乎處處有界的函數 $f$ ，其中 $f_k$ 在可測集 $U$ 上幾乎處處有界。如果不加說明而指出函數列是依測度收斂的，那麼上述定義中全部條件都被默認。幾乎處處逐點收斂、一致收斂、依測度收斂之間有這些定理建立聯繫：

定理(Lebesgue) $left{ f_k ight}$ 幾乎處處收斂到 $f$ ，則 $left{ f_k ight}$ 依測度收斂到 $f$ 。同時，若 $fsim g$ ，則 $left{ f_k ight}$ 也依測度收斂到 $g$ ；若 $left{ f_k ight}$ 也依測度收斂到 $g$ ，則 $fsim g$ 。

定理(Riesz) $left{ f_k ight}$ 依測度收斂到 $f$ ，則它有一個子列 $left{ f_{k_{n}} ight}$ 幾乎處處收斂到 $f$ 。

定理(Egorov) 可測集 $U$ 上定義的幾乎處處有限的可測函數列 $left{ f_k ight}$ 幾乎處處收斂到幾乎處處有限的函數 $f$ ，那麼 $forall varepsilon>0$ ， $exists U_varepsilonsubset U$ 滿足 $m(Uackslash U_{varepsilon})leqslantvarepsilon$ 且在 $U_varepsilon$ 上 $f_k ightrightarrows f$ 。

對於上面出現的幾乎處處有界的可測函數，我們想用它估計得到有界可測函數：

命題 $f$ 是定義在可測集 $U$ 上的幾乎處處有限的可測函數，那麼 $forall varepsilon>0$ ，存在有界可測函數 $g$ 使 $m(U(f e g))<varepsilon$ 。

事實上，幾乎處處有界可測函數可以估計出連續函數：

定理(Luzin) $f$ 是定義在可測集 $U$ 上的幾乎處處有限的可測函數，那麼 $forall varepsilon>0$ ，存在連續函數 $varphi$ 使 $m(U(f evarphi))<varepsilon$ 。

這就是說，幾乎處處有界可測函數基本上是連續的。這裡的連續還包括了孤立點處的連續。