Note：旋轉跳躍我閉著眼--黏滯項、角動量、吸積盤

來自專欄 天問天文

「考慮一個靜態黑洞，沒有角動量，黑洞吸積會不會發生？如果加上一個轉動微擾，又會怎樣？」這是昨天在某個物理學術交流群里，@厲岳洲 問我的一個問題。在查閱相關資料並做了一些簡單的數值模擬之後，我意識到這個問題是非常有價值的，所以在專欄里寫一下。

首先我們知道，吸積盤是由高度電離或分子形式的氣體組成的，以黑洞吸積盤的標準薄盤為例，吸積盤是幾何薄且光學厚的。就像我們熟知的太陽系八大行星一樣，盤中的氣體在不同半徑處以不同的角速度繞黑洞旋轉，進而形成穩定的圓軌道，這意味著氣體受到的引力正好被離心力所平衡，即： ，其中 是引力常數， 是黑洞的質量， 是氣體距黑洞奇點的距離， 是氣體的角速度。我們可以看出，越靠近黑洞，角速度變越大，這種較差轉動規律被稱作開普勒轉動。

我們知道，吸積盤不光存在於黑洞中，在原恆星、主序星、白矮星、中子星中都存在吸積盤，而這種吸積盤雖然和太陽系中行星一樣擁有著穩定的軌道，但是與之又不同的是，吸積盤中存在著一種叫黏滯的摩擦作用。在黏滯作用下，吸積盤中的氣體會被加熱並放出強大的輻射，這也被認為是類星體耀眼的光以及黑洞X射線雙星的X射線輻射的來源。

那麼，問題來了，黏滯項和角動量在吸積盤中到底扮演一個什麼樣的角色呢？

在之前的專欄文章Note：優秀的天文學家為什麼需要牛頓引力近似中，我們了解到：

除了視界半徑（ ）之外，黑洞吸積中還有一個很重要的半徑：最內穩定圓軌道半徑（ ）。我們知道，黑洞吸積盤是由圍繞黑洞做圓周運動的氣體組成的，且吸積盤中存在角動量轉移，質量會從盤外側轉移到盤內側。這個過程會一直持續到吸積物質到達吸積盤內邊界。但是由於黑洞自身的時空性質束縛了吸積盤的內邊界，因此當吸積物質靠近黑洞到一定距離時，穩定的圓軌道將不會存在。而正好保持有穩定圓軌道的位置，就是黑洞吸積的最內穩定圓軌道半徑。

而角動量轉移的關鍵，就在於吸積盤中相鄰氣體層之間的黏滯作用。說詳細點就是，通過內、外層氣體之間的黏滯作用，角動量較大的內層會損失角動量，然後向內掉落，而角動量較小的外層會獲得少量角動量。於是，吸積盤中的氣體逐漸向黑洞中心掉落，這便是我們一直在說的吸積過程，在這過程中，質量向內轉移，角動量則向外轉移。

於是，如上文所說，在黑洞附近，引力向內增長的太快，所以在比最內穩定軌道更靠近黑洞的地方，會形成如圖一所示的粒子真空區。當氣體由盤外持續供給時，吸積盤會形成一個穩態。

那麼黏滯項是如何在角動量轉移中扮演重要角色的呢？

我們假設一個位於點質量勢 中的試探粒子。那麼如果粒子相對黑洞中心沒有角動量，也就是如本文開頭那個問題中所說的「考慮一個靜態黑洞，沒有角動量」的情況，在此情況下，粒子將直直向黑洞奇點飛去（除非粒子的徑向速度 ）。而此時，我們給粒子加一個轉動微擾，不論這個微擾有多大，粒子都具有了非零的角動量，此時，粒子將繞著黑洞中心旋轉。

眾所周知，如果有一個給定的比角動量 （ 為開普勒值），當軌道為圓形時，試探粒子的比能量達到最小。而在上文中我們知道，吸積過程是一個角動量向外轉移而質量向內轉移的過程，那麼我們預計最終氣體會形成一個穩定的圓形吸積盤。而在上文中，我們知道，黑洞的引力與離心力平衡時才會形成穩定的圓形吸積盤，那麼有 ，因此圓軌道半徑 。

由此我們可以發現，不考慮黏滯項時，只有角動量守恆的情況下，粒子無法到達黑洞中心或者在形成穩定圓軌道之後釋放引力能，從而也就沒有物質吸積，而會形成類似於太陽系行星軌道一樣的情況。而在我利用Zeus-MP程序所做的數值模擬中，當我不加入黏滯項只考慮角動量守恆時，初始物質在演化過程中是靜止不變的。因此，黏滯項在吸積過程中的作用是毋庸置疑的。

參考文獻：

加藤正二. 黑洞吸積盤[M]. 科學出版社, 2016.

P.S.對於這個問題，我其實還有一些大膽的想法，需要再和別人討論一下。

P.P.S.過幾天和 @Narayan 去鹽Club，本著不能空手去的想法，寫篇專欄吧。